普朗克黑体辐射公式推导

1、普朗克黑体辐射公式的推导 所谓的黑体是指能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。黑体辐射：由这样的空腔小孔发出的辐射就称为黑体辐射。辐射热平衡状态: 处于某一温度 T 下的腔壁，单位面积所发射出的辐射能量和它所吸收的辐射能量相等时，辐射达到热平衡状态。实验发现： 热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度 T 有关而与黑体的形状和材料无关。实验得到：1. Wien 公式 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式： Wien 公式在短波部分与实验还相符合，长波部分则明显不一致。2. Rayleigh-Jeans 公式Ra

2、yleigh-Jeans 公式在低频区和实验相符，但是在高频区公式与实验不符，并且，既单位体积的能量发散，而实验测得的黑体辐射的能量密度是，该式叫做Stefan-Bolzmann公式，叫做Stefan-Bolzmann常数。3. Planck 黑体辐射定律1900年月日Planck 提出如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子处于平衡，那么辐射的能量分布与腔壁原子的能量分布就应有一种对应。作为辐射原子的模型，Planck 假定：（1） 原子的性能和谐振子一样，以给定的频率 v 振荡；（2）黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射

3、能量。得到：该式称为 Planck 辐射定律h为普朗克常数，h=4，普朗克的推导过程：把空窖内的电磁波分解为各个频率的简振振动，简振模的形式最后为，每一个简振模在力学上等价于一个自由度，记频率在内的自由度数为，则（0，v）范围内的总自由度数G(v)与g(v)的关系为。借助几何方法求出，取微分得令代表体积为V的空窖内热平衡辐射的总内能，代表单位体积,频率间隔在内的能量，于是，代表单位体积内频率间隔在内的振动自由度数。应用经典统计的能量均分定理得到平均能量为与振子的频率无关，代入可以得到，这就是瑞利-金斯公式，在低频区和实验符合，高频区严重偏离。普朗克热辐射理论采用的也是波的观点，依旧认为他正确，

4、但是能量均分定理不适用，原因在于麦克斯韦波尔滋蔓分布不对，问题出在振子能量取连续值上。Planck 假定：黑体只能以 E = hv 为能量单位不连续的发射和吸收辐射能量，而不是象经典理论所要求的那样可以连续的发射和吸收辐射能量,对于频率为v的振子，其能量只能取一个最小能量单元的整数倍即，他认为振子的平均分布仍遵从麦克斯韦玻尔兹曼分布，即代表频率为v对的振子处于能级的平均数，于是振子的平均能量为，即其中代表频率为v的振子的配分函数，可以得到。由此可以知道振子的平均能量与其频率有关，能量均分定理不成立。把上式代入得到：这就是普朗克辐射公式。此时辐射场的内能为,5，对 Planck 辐射定律的讨论：（1）当 v 很大（短波）时，因为 exp(hv /kT)-1 exp(hv /kT)，于是Planck 定律 化为 Wien 公式。变为2） 当 v 很小（长波）时，因为 exp(