数学高中必修第一册《5.4三角函数的图象与性质》获奖导学案

1、第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图像7学习目标1 . 了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握2 .正、余弦函数图象的简单应用.3 .正、余弦函数图象的区别与联系.五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法.重点难点重点：理解并掌握用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象的方法。难点：理解作余弦函数的图象的方法。知识梳理教材整理1正弦曲线和余弦曲线1 .可以利用单位圆中的 线彳y=sin x, xC0,2 nW图象.2 . y= sin x, xC 0,2 nR图象向 、平行移动(每次2兀个单位长度)，就可以得到正弦函数y=sin x, xC R 的图象.3 .正弦函数 y= sin x,

2、 xC R的图象和余弦函数y= cos x, xC R的图象分别叫做 和教材整理2正弦曲线和余弦曲线五点法”作图 1.五点法”作图的一般步骤是学习过程提出问题下面先研究函数？?= ? R的图象，从画函数？?= ? ?侯0, 2月的图象开始.在 0, 2田上任取一个值？，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值？?？出点T (?,?问题探究如图5.4.1 ,在直角坐标系中画出以原点。为圆心的单位圆，。与x轴正半轴的交点为 A(l,0).在单位圆上，将点 A绕着点。旋转？?弧度至点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标？=?油此，以？?为横坐标，？?为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T (?, ?若把

3、x轴上从0到2兀这一段分成1 2等份，使？?的值分别为0,.6? .3? ?2 K它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点 T (?, ?方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图5.4.2).事实上，利用信息技术，可使？?在区间0,2向上取到足够多的值而画出足够多的点T (?,? ?将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数？?= ?C 0,2兄的图象.根据函数？?= ?至0,2句的图象，你能想象函数 ？?= ? R的图象吗？由诱导公式一可知，函数？?= ?C 2 kq 2 (k+1)兀,kCZ且kwo的图象与?= ?e 0,2万的图象形状完全一致.

4、因此将函数？?= ?e 0,2 4的图象不断向左、向右平移(每次移动2兀个单位长度)，就可以得到正弦函数？?= ? R的图象(图5.4.4).正弦函数的图象叫做 正弦曲线(sinecueve),是一条 波浪起伏”的连续光滑曲线.-sin xE R1图 5.4-4思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察图5.4.3,在函数？?= ? 0,2耳的图象上，以下五个点：?3?(0,0),(万，1) , (?, 0)(5,-1) ,(2? 0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数 ？?= ?e 0,2句的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用

5、光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种近似的五点(画图)法”是非常实用的.由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数.下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象.思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？ 对于函数？?= ?的诱导公式?n?+ ?)得，?= ?n (?+ J ,?庄 R .而函数？?= sin (?+ 2? ,?e R的图象可以通过正弦函数 ？?= ? R的图象向左平移 乔单位?.长度而得到.所以，将正弦函数的图象向左平移2个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5

6、.4.5所示.你能说明理由吗？余弦函数？?= ?采R的图象叫做余弦曲线(cosinecurve).它是与正弦曲线具有相同形状的波浪起伏”的连续光滑曲线.类似于用五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间 TT,也上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表 5.4.1,然后画出？?= ?C 兀，田的简图例1、用 五点法”作出下列函数的简图.（1）y=1 + sin x, xC 0,2 n;（2）y=-cos x, xC 0,2 兀.【精彩点拨】 在0,2再找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可.在直角坐标系中描出五点，然后用光1t曲线顺次连接起来，就得到 y=1+sin x, xC 0,2趟图象.你能

7、利用函数y= sin x, xC 0,2趟图象，通过图象变换得到 y=1 + sin x, xC 0,2题图象吗？同样地，利用函数 y=cosx, x 0,2兀图象，通过怎样的图象变换就能得到函数y=-cosx, x 0,2兀的图象？方法与规律1 .五点法”是作三角函数图象的常用方法，五点”即函数图象最高点、最低点与x轴的交点.2 .列表、描点、连线是五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点.达标桧测1.以下对于正弦函数 y = sin x的图象描述不正确的是（）A.在xC2kTt, 2k兀+ 2兀kC Z上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x轴对称C.介于直线y=

8、1和y= - 1之间D.与y轴仅有一个交点2.用 五点法”作函数y=cos 2x, xC R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（）A. 0, 2,国祭2兀 B. 0, j2乎，兀兀 兀 兀 2兀C. 0, % 25 3% 4 兀 D. 0, 6，万,2,兀, 一 3 .点M 2, m在函数y= sin x的图象上，则 m等于（）A. 0 B. 1C. - 1 D. 24 .函数y=cos x与函数y= cos x的图象（）A.关于直线x=1对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称5 .方程x2cos x=0的实数解的个数是 .6 ,用 五点法”画出y=cos 7- x , x

9、0,2题简图.课堂小结1 .正、余弦函数的图象每相隔 2兀个单位重复出现，因此，只要记住它们在0, 2兀内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线 .2 .作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用五点法”作图是常用的方法.一、知识梳理正弦；左；右；正弦曲线；余弦曲线；列表；描点；连线二、学习过程例1【解析】(1)列表：1 + sin x_12101y=sia a.jc UL z nJ图 3. 1-6(2)列表:x0兀2兀32兀2兀cos x10101-cos x-1010-1描点连线，如图v=-cos .v. reFO. 2n三、达标检测1 .【解析】观察y=sin x的图象可知A, C, D正确，且关于原点中心对称，故选 B.【答案】2 .【解析】令2x=0, 2兀，方4口 2兀,彳导x=0, 4,学,k,故选B.【答案】 B3 .【解析】由题息一m= sin 2，一 m= 1, m= - 1.【答案】 C4 .【解析】作出函数y=cos x与函数y=cos x的简图(略)，易知它们关于x轴对称，故选 C.【答案】 C5 .【解析】作函数y= cos x与y=x2的图象，如图所示