江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁)2020届高三数学第二次调研考试(4月)试题

1、2020/埼出5/结束）江苏省七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁）届高三数学第二次调研考试（4月）试题（满分160分，考试时间120分钟）2020. 4参考公式：柱体的体积公式： V柱体= Sh,其中S为柱体的底面积，h为高.1锥体的体积公式： V锥体= Sh,其中S为锥体的底面积，h为高.一、 填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合 A= 1 , 4, B=a5, 7.若AH B= 4,则实数a的值是2 .若复数z满足三=2+i ,其中i是虚数单位，则z的模是 i开始S- 118（第4题）3 .在一块土地上种植某种农作物，连续5年的产量（单位：吨）分别

2、为9.4 , 9.7 , 9.8 ,10.3 , 10.8 ,则该农作物的年平均产量是 吨.4 .如图是一个算法流程图，则输出 S的值是 .5 . “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人 各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头，甲、乙两 人玩一次该游戏，则甲不输的概率是 .6 .在4ABC中，已知 B= 2A, AC= a/3bC,则A的值是.7 .在等差数列an（nCN）中，右a1=a2+a4, a8=3,则 出。的值是.（第8题）8 .如图，在体积为 V的圆柱OQ中，以线段OQ上的点。为顶点，上下底面为底面的两V +V2个

3、圆锥的体积分别为 vi, v则一的值是.229 .在平面直角坐标系 xOy中，双曲线占一y2= 1（a 0, b0）的左顶点为A,右焦点为F, a b过F作x轴的垂线交双曲线于点P, Q.若4APQ为直角三角形，则该双曲线的离心率是10 .在平面直角坐标系 xOy中，点P在直线y=2x上，过点P作圆C: (x 4) 2+y2=8 的一条切线，切点为 T.若PT= PQ则PC的长是.11._ 一 9右 x1,则 2x+xTi41，一，口的最小值是12 .在平面直角坐标系 xOy中，曲线y=ex在点P(x0, ex0)处的切线与x轴相交于点A, 其中e为自然对数的底数.若点 B(x。，0), 4P

4、AB的面积为3,则x0的值是.13 .如图(1)是第七届国际数学教育大会(ICME7)的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图(2),其中 OA= A1A2= A2A3=A7A8= 1,则AAz , AA的值是110g 2x a| , 0 x 4,14 .设函数f(x) = f J 4xb0)的右顶点A在圆C上，右准线与圆 C相切.(1)求椭圆E的方程； ，、1, 一一 ，、1,12(2)设过点A的直线l与圆C相交于另一点 M,与椭圆E相交于另一点 N.当Ag 了AM时，求直线l的方程.18 .（本小题满分16分）某公园有一块边长为 3百米的正三角形ABC空地，拟将它分割成面积相等的三

5、个区域， 用来种植三种花卉. 方案是：先建造一条直道 DE将 ABC分成面积之比为2： 1的两部分（点 D, E分别在边 AB, AC上）；再取 DE的中点 M,建造直道 AM仰图）.设AD= x, DE= yi, AM =y2（单位：百米）.（1）分别求yi, y2关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.19 . ( 本小题满分16 分 )若函数f(x)在X0处有极值，且f(x 0) =X0,则称X0为函数f(x)的F点”. 设函数 f(x) =kx221n x (k R).当k=1时，求函数f(x)的极值；若函数f(x)存在“F点”，求k的值；(

6、2)已知函数g(x) = ax3+bx2+cx(a ,b,cCR,aw0)存在两个不相等的F点xi,x2,且|g(x i) -g(x 2)| Ri,求a的取值范围.20 .(本小题满分16分)在等比数列an中，已知ai=1, a4=1.设数列b n的前n项和为S,且bi = 1, an + bn 81*=2$ i(n nC N).(1)求数列a n的通项公式；,bn -、，(2)求证：数列 b是等差数列； an(3)是否存在等差数列cn,使得对任意nC N,都有Sw aw小？若存在，求出所有符 合题意的等差数列Cn；若不存在，请说明理由.2020届高三模拟考试试卷数学附加题（满分40分，考试时

7、间30分钟）21 .【选做题】在A, B, C三小题中只能选做两题，每小题 10分，共20分.若多做,则按作答的前两题计分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选彳42:矩阵与变换）已知矩阵A=01的逆矩阵A； 02.若曲线C: x + y2=1在矩阵A对应的变a0b04换作用下得到另一曲线 Q,求曲线。的方程.B.（选彳44:坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知曲线C的方程为p = r(r 0)，直线 l 的方程为 p cos( 0 + ) =。2.设直线l与曲线C相交于A, B两点，且AB= 2M,求r的值.C.（选彳45:不等式选讲）已知实数x, v, z满足1 + x

8、2+ 1 + y+1 + z2=2,求证:1 +x2+【必做题】 第22, 23题，每小题10分，共20分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤.22 .小丽在同一城市开的 2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假1的概率都是2,且是否休假互不影响.若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺维持营业，否则该店就停业.(1)求发生调剂现象的概率；(2)设营业店铺数为X,求X的分布列和数学期望.f* 一、， X： I/J白心*23 .我们称n(n C N)兀有序头数组(X1, X2,，xn)为n维向重，-i 为该向重的氾 数.已知n维向量a=(X1,

9、X2,，Xn),其中Xi C 1, 0, 1, i=1, 2,，n.记范数为 奇数的n维向量a的个数为4,这A个向量的范数之和为 3.(1)求A2和B的值；(2)当n为偶数时，求 人，&(用n表示).2020届高三模拟考试试卷（七市联考）数学参考答案及评分标准1.92.5 3. t67. -15 8. 1 9. 2310.13 11. 812. In 613.427Y 14. ( 81)15.解：（1）因为向量a= (cossin,兀sin ( a + -4) ,所以(b a) a = a - b -a2(2分）兀=cos a cos( a + ) + sin兀V2= cos

10、( -4) - 1= 2 - 1.(6兀s sin ( a + -4) (cos2 a + sin 2 a )(4 分)分）(2)因为c=(1 , 1),所以兀b + c= (cos ( a + ) + 1 ,兀sin ( a + 4) + 1).兀因为(b+c) / a,所以cos ( a + ) + 1sin a sin兀t(a + ) + 1cos a = 0.(9 分)于是sin acos a = sin ( a兀+ - )cos4兀c - cos( a + -4)sin从而 2sin (兀4 ) = sin兀 |-ti-r7t1八下即 sin(a-T)=-.(12 分)因为 0Voe

11、 V 所以一 T a T0).2因为右顶点 A(a, 0)在圆C上，右准线x=a与圆C： (x 3)2 + y2= 1相切, c(a 3) 2+02=1,所以a2解得a=2,于是b2=a2-c2=3,-3 =1,c=1.所以椭圆E的方程为x+y=1.(4分)43(2)(解法 1)设 N(xn, yN) , M(xm, yM),显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x2).y=k （x-2）,由方程组x2 y2_1，16k2- 12消去 y,得（4k2+3）x216k2x+16k212=0.所以x2= 4k2+3 ,解得8k2-6xN=4k.（6 分）y = k （x 2） ,2222由

12、方程组（X3） 2+y21消去 V，得（k2+1）x2（4k2+6）x + 4k2+8=0,4k2+ 8所以xm - 2=卜2+ 12k2+4,解得xM=珑+ 1 .（8分)1212因为 AN=/M 所以 2 xn= y（xM- 2）, （10 分）12122t. r,即E = 1；谡解得k=1.（12分） 所以直线l的方程为x y 2=0或x+y 2=0.(14分)(解法2)设N(xn, yN), M(xm, yM),当直线l与x轴重合时，不符题意.设直线l的方程为x=ty+2(tw0).由方程组x= ty +222x y4+ 3= 1消去 x,得（3t 2+4）y2+12ty =0,所以1

13、2t 八yN= 3t 2 + 4.（6 分）x = ty + 2,222t由方程组；2 消去x,得（t 2+1）y22ty =0,所以yM= -7-.（8分）（x-3） +y=1,t + 11212因为 AN= yAM,所以 yN= - -yM.（10 分）12t3t 2+412 2t7.丁7，解得 t = 1.（12 分） 所以直线l的方程为x y 2=0或x+y 2=0.(14分)218.解：（1）因为 S*A ADE= Sa ABC, ABC是边长为3的等边三角形，又 AA x, 3所以1AD. AEE- sin 2（1X32Xsin 三）,所以 A已6.（2 分）233 23x0 AD

14、= x3,由x 得 2 x 3.0VAE= 6 -在4ADE中，因为点 M为DE的中点，所以 AM= 2（A D+AE）. （8分） 所以 AM= 1（AD2+危+ 2AD- AE） =；（x2+3!+6）.所以，直道AM的长度y2关于x的函数关系式为丫2=、3 十 号+|, xC 2 , 3 . （10 分） 4x2（2）由（1）得，两条直道的长度之和为DE+ AM= ydy2=x2+36 6 + xx2 9 3 7+x2+2即=乖+乎（当且仅当x = x29旦4 = x2,x = d6时取=）.（14 分）答：当AD=乖百米时，两条直道的长度之和取得最小值（46+弩）百米（16 分）19.

15、解：(1) 当 k=1 时，f(x) =x2 2ln x (k R),所以 f (x) = 2 (xT)(x+1)(x 0) .令 f (x) = 0,彳导 x= 1.(2 分) x所以函数f(x)列表如下：x(0, 1)1(1 , +)f (x)一0十f(x)极小值尸在x = 1处取得极小值，极小值为 1,无极大值.(4分) 设xo是函数f(x)的一个“F点”(xo0).因为f (x)=2 (kx21)x(x 0),所以xo是函数f (x)的零点.x0=i1.x0+2ln x 01 = 0.(6 分)所以 k 0.由 f (x o) = 0,得 kx0= 1, 由 f(x 0) = x0,得

16、 kx0 2ln x 0=x0,即 设 4 (x) = x+ 2ln x 1,则 4 (x) = 1 +10, 所以函数(j)(x)=x+2ln x - 1在(0 , + )上单调递增，注意到 4(1) = 0, 所以方程x0+2ln x 01=0存在唯一实数根1,所以& =、=1,得k=1.根据知，k=1时，x= 1是函数f(x)的极小值点，所以1是函数f(x)的F点”.综上，实数k的值为1.(9分)(2) 因为 g(x) = ax3+bx2+cx(a , b, cC R a0), 所以 g (x) = 3ax2 + 2bx+c(a w0).因为函数g(x)存在不相等的两个“F点 x 1和x

17、2,3ax2 + 2bx+c=0,所以x1, x2是关于x的方程 3+ b 2+ _的两个相异实数根.由 ax3+bx2+cx= x 得 x= 0,ax2+bx+c1 = 0.(11 分)当x=0是函数g(x) 一个2b“F点”时，c=0且x = 不,3a所以a(一嘉刊号)-1 = 0,即 9a = 2b2.2b福1又 |g(x 1) -g(x 2)| = |x 1-x2| = 所以 4b29a2,所以 9a22( 一9a).又 aw0,所以2Wav 0.(13 分)当x= 0不是函数g(x) 一个F点”时,3ax2+2bx+ c = 0,则x1, x2是关于x的方程ax2+bx+c _0的两

18、个相异实数根.2bT=b,又aw0,所以c5=cf解得 3c=2所以 ax2=2,所以 |g(x 1) g(X2)|12a综上，实数a的取值范围是2, 0) . (16分) 20.(1) 解：设等比数列an的公比为q,因为&=1, a4 = 1,所以q3=1,解得q = ! 882 1 一所以数列an的通项公式为an=(2)nT.(3分)(2)证明：由 得，当 n2, nCN*时，(2) “一 + bn= 2S1 , 所以(J) n+ 5 + 1 = - 2Sn ,11 n一，得 bn+1-2bn=(2) , (5 分)所以bn+1bnnn_1(2)(2)rr bn+ 1 bn即彳an=1，*

19、nC N.因为 b1 = 1,由得 b2= 0,所以立一2= 0( 1) = 1,所以包- - = 1, n N*. a2 a1an+1 an-,bn所以数列 b是以一1为首项，1为公差为等差数列.(8分)aniI/口 bn ， n 2c1 . n1、n(3) 斛：由(2)倚 0=n 2 ,所以 bn= 2nT，Sn= 12(a n + 1 + bn+ 1)= 1 2( 27i+ -2) = 12nI.假设存在等差数列Cn,其通项cn=dn + c,使得X任意nCN*,都有S.Cn0,或d0,则当 n-, nC N(时，Cn= dn+ c1 Tn-i = an,这与 CnWan矛盾. d2(i

20、i)若 d nCN* 时，Cn=dn + cv1. d而 $+_&=_ n2n 1+ 2ny = P12nl. 0, S1 =$ S1 = - 1.故 cn= dn+cv 1 W S n ,这与 SnWcn 矛盾.所以d= 0.(12分)其次证明：当 x7 时，f(x) =(x1)ln 2 2ln x 0.因为f (x) = In 2 -1ln 2 -10,所以f(x)在7,十8)上单调递增，x7所以当 x7 时，f(x) f(7) = 6ln 2 2ln 7 =ln 49。.所以当 n7, nCN*时，2n 1n2.(14 分)再次证明c= 0.(iii)若 c v 0 时，则当 n7, n

21、, neN, Sn = n-1 c,这与矛盾.c2 n(iv)若c0时，同(i)可得矛盾.所以c=0.1 n1 n-1当 cn=0 时，因为 Sn= 2n-1 W0, an = (2)0,所以对任意ne N*,都有SnWcnWan.所以cn=0, nCN*.综上，存在唯一的等差数列cn,其通项公式为 cn=0, nC N*满足题设.(16分)2020届高三模拟考试试卷（七市联考）数学附加题参考答案及评分标准21. A.解:因为AA 1=E,0所以a2ab= 1, 所以2a= 1解得1a 2所以b= 1.A=.(4.x设P（x , y）为曲线C上任一点,则22-+y2=1.又设P（x , y）在

22、矩阵A变换作用下得到点Q(x, y)代入x1+yV,xy，= xx v=y=2y=x,2= 1,得 y2+x2= 1,所以曲线 G的方程为x2+ y2= 1.（10B.解：以极点为坐标原点，极轴为分）x轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy,于是曲线C: P = r（r 0）的直角坐标方程为 x2 + y2=r2表示以原点为圆心，半径为 r的圆.（3分）由直线l的方程P cos（ 0 +宁）=*,化简得P I 所以直线l的直角坐标方程为 x-y-2 = 0.（6分） 记圆心到直线l的距离为d,则d = |2 = q2.cos 0cos7tpsinsin714又 r2=d2 +2,即 r2=2+7=

23、9,所以r = 3.(10分）C.证明：因为所以222x y z1 + x2+ 1 + y2+ 1 + z2- 2，211.x.iT7+1T7+1T7 =1 近+1 1.(5 分)由柯西不等式得222x y z(1+ x2+ 1 + y2+ 1 + z2)( 1 + x- 1 + y2+ 1 + z12)封(2 + 2 + -2),1 + x 1 + y 1 + zx y z 2所以(/7+ 47+iTZ)wN所以/7+4啦.（10分）22.解：（1）记2家小店分别为 A B, A店有i人休假记为事件 A（i =01,2), B 店有i人休假记为事件 B（i =0, 1, 2）,发生调剂现象的

24、概率为P则 p（Ao）= p（Bo）= c（2）2=4，P(Ai)=P(Bi)=d(2)2 = 2，P(A2)= P(B2)=c2(2)2=4.所以 P= P(AoB2) + P(A2Bo) =：X；+：X： = !4 4 4 4 8一，,，一，一1答：发生调剂现象的概率为主(4分)8(2)依题意，X的所有可能取值为0, 1, 2,则1 11P(X= 0) = p(A2R) =4X4= ,P(X= 1) = P(A1B) + P(A2B1) =1X1 + 1X1=1.4 2 2 4 411 11P(X = 2) = 1 P(X = 0) P(X= 1) = 1 而4= *8 分)所以X的分布列为X012P111116416111113所以 E(X)=2X +1X4 + 0X16=-8.(10 分)23.解：(1)范数为奇数的二元有序实数对有(1 , 0) , (0 , 1) , (0 , 1) , (1 , 0),它们的范数依次为 1, 1, 1, 1,故4=4, R=4.(3分)(