山东省烟台市2021届高三第一学期期末学业水平诊断数学试题(含答案解析)

1、高三数学试题(第2页，共5页)20202021学年度第一学期期末学业水平诊断高三数学注意事项：1 .本试题满分150分，考试时间为120分钟.2 .答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.3 .使用答题纸时，必须使用0.5亳米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答 题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、单项选择庵：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求。1 .已知集合?= x|0<x<4, Q = xy = g（x-3）,则已知0=A. x|3<x<4 B. x|3<x<4 c. x|0

2、<x<3 d. x|0<x<32 .已知命题p：VxwR , x + |x|>0,则共为A. 3x0 e R , xo+|xo|<Ob. 3x0 e R , xo+|xo|<OC. VxgR, x+|x|<0D. VxgR, x + |x|<03 .已知等差数列(的前，项和为S“，若g =52, S4=22,则为 =A. 4B. 5C. 6D. 7D.16+3百4 .水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺 性等，常被人们制作成饰品.如图所示，现有棱长为2cm的正方 体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成某饰品，则该

3、饰品的表面积为（单位：cm2）A. 12+45/3B.16+4 石C. 12+3735 .若38s2a = 8sina-5 ,则tana =D. 土乎O A0A. 一毡B,巫C.+也5536.右图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以。为 圆心，以45&m为半径，3为公园入口，道路为东西 方向，道路NC经过点O且向正北方向延伸，C% = 10m, AB = 100m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连, 且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长 度为（单位：m）A-1005/2B. 100V3C. 1505/2D. 150x/37.如图所示，平面向量次,5万的夹角

4、为60°,|方|=2|而1=2,点尸关于点4的对称点为点。，点0关于点8的对称点为点R ,则|丽|为A. x/3B. 2>/3 C. 4 D,无法确定COS X.X > 08 .已知函数/(x) =，若方程/(x)+ /(-%) = 0有个不KXy X S U同的实根，从小到大依次为玉/2，毛，；与，则下列说法例送的是n 1A.玉+W+工3+一+与=0B.当=时，k<一一71C.当 =3且无v0时，tan3= D.当左二一时， =3看2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，

5、有选错的得0分。9 .将函数y = cos(2x +工)的图象向左平移三个单位长度得到函数/(x)图象，则 34A. y = sin(2x+二)是函数/(x)的一个解析式B.直线X =卷是函数/(X)图象的一条对称轴C.函数/(文)是周期为"的奇函数D.函数f(x)的递减区间为区"一号,(左w Z)10 .已知抛物线C: / = 2Px(p > 0)的焦点为尸，过尸且斜率为2x/2的直线交抛物线C 于4、B两点,其中力在第一象限，若卜尸| = 3,则A. p = lB.忸5| = | C,以4/为直径的圆与y轴相切 D.万?丽二-311 .已知。>0, b>

6、;0,下列命题中正确的是A.若。+6 = 2,则Iga+lgbWOB.若。6-。-26 = 0,则。+ 26N9C.若 + 6 = 2,则0+'_一，之且 b ab 2 2D.若一=则。6 + 0+6214 + 6后a+1 b+2 312 .已知函数/(x) = xe + l), g(x) = (x + l)lnx,则A.函数/(x)在R上无极值点B.函数g(x)在(0,丑。)上存在唯一极值点2C.若对任意X>O,不等式/(or) t/(Inf)恒成立，则实数a的最大值为一 en td.若/a)= g(x2)=«，>0)，则771二的最大值为一玉(工2十Ue三、填

7、空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。X2 V213.已知5玛为双曲线C:二一台=1(。>0,6>0)的左、右焦点，过耳作x轴的垂线交 a b。于力、B两点,若43|二2|耳片则C的离心率为14 .已知数列q满足4 =2,勺+凡=(+(加,“£1<),用幻表示不超过x的最大整 数，则数列log2%的前1。项和为.15 .测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布 珠穆朗玛峰的最新高度为8848. 86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法 对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个p点并测量两点间的距离

8、，然后分别测量其中一个点相对另一点以 及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后 / j 计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量某建筑物高度，如图所示，已知该建筑物CP垂直于水平面,水平面上两点48的 淤距离为200m, "4B = 60°, ZPBA = 45°, ZPAC = 30° f 则该建筑物C尸的高度为(单位：m).16 .一个球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截 下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式0其中&为球的半径，h为球缺的高.若一球与一棱长为限的正四面体的各棱均相切，则该

9、球的半径为, 该球被此正四面体的一个侧面所截得的球缺(小于半球)的体积为.(本题第 一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。高三数学试题(第3页，共5页)17. （10 分）在石。cos2上=6sin/, ®a = hcosC + V3csinB, （3）（2a-cX2-b2 +c2） = 22abecosC这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知A4BC内角4AC的对边分别是4瓦。，6 = 2, ，求ac的最大值.注：加果选嶂多个条件分别解冬，校第一个解答计分.18. （12 分）13己知数列%是各项均

10、为正数的等比数列，其前项和为S，q=l, S3y（1）求数列4的通项公式；（2）令4=（2 + 1）（，求数列"的前项和7；.19. （12 分）如图，在四棱锥P-4BCZ）中，底面4BCD为正方形，尸£>1底面48CD, 为线 段PC的中点，PD = AD, N为线段3c上的动点.（1）证明：平面M?VZ）_L平面PBC；（2）当点N在线段3c的何位置时，平面与平面P4B所成锐二面角的大小为30°?指出点N的位置，并说明理由.20. （12 分）在研制飞机的自动着陆系统时，需要研究飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机 的着陆点为原点。，飞机降落曲线大致

11、为二衣3+笈2,其中x （单位：m）表示飞m ）表示飞机距离着陆点的竖直高度.假设飞机距离着陆点的水平距离，y （单位， 机开始降落时的竖直高度为4500m , 距离着陆点的水平距离为F，飞机在 整个降落过程中始终在同一个竖直平 面内飞行，且飞机开始降落时的降落 曲线与水平方向的直线相切.高三数学试1（1）用9分别表示a和b ：（2）若飞机开始降落时的水平速度150m/s,且在整个降落过程中水平速度保持不变， 另外，基于安全考虑，飞机在降落过程中的竖直加速度（即V关于降落时间Z （单 位：s）的导函数V。）的导数）的绝时值不超过Im/s2,求飞机开始降落时距离着陆点 的水平距离5的最小值.21

12、. （12 分）x2 y21已知椭圆。：/ +方=1（。>6>0）的离心率为,，耳为椭圆。的左、右焦点，过耳斜率不为零的直线4交椭圆于P,0两点，然尸。的周长为8.（1）求椭圆C的方程：（2）设4为椭圆C的右顶点，直线4尸,/。分别交直线，2：x = T于MN两点，试判 断以MN为直径的圆是否恒过椭圆长轴上一个定点，并说明理由.22. （12 分）已知函数/a）= eX-ar-l（awR, e为自然对数的底数）.（1）若/（x）在定义域内有唯一零点，求a的取值范围；（2）若在电+8）上恒成立，求a的取值范围.高三数学试题（第7页，共5页）2020-2021学年度第一学期期末学业水平

13、诊断高三数学参考答案及评分标准一、单项选择题 B BCA DABD二、多项选择题9. BD 1(). BCD 11. ACD 12. AD三、填空题13. >/2 + I 1*1. 2915. IOO(x/3-I) 16. - "</T212四、解答双17. ft?： 2；：iD：HlE2)JKJ>/5sin4sin3 = sin"sin/t. 2分o即氐in 21分化前行cosg = f ,囚为所以3二£,8 = £5分222 63nI/ 1八乂 cos 8 = 一 ,7 分2ac 2所以以"c2 =ac + 4> 2

14、ac，当LL仅当。=c时收等号， 9分ac<4,即的瓜大值为410分若选：由已知KJsinA =sin8cosc+JJsinCsinB,2 分sin(B + C) = sin “cosC + V5sinCsin B .sin £?cosC + cosBsinC = sinBcosC+V3sinCsin£?.1 分化向用8s6 = J5sin8.即tanB=巫因为8G(0/r).所以B =三. 3分 36. n (r+c2-lr 6ill cos B = 7分2ac 2可行=内附+4 2 2心，当IL仅当 =c时取等号，9分故“c 4 8+46 ,即明的G大值为8+4.

15、10分山已知得(2ac)2accosB = 2(ibcccsC HP (2“-c)cos = cosC ,又(2sin4-sin Oco? R = sin "cosC,高三教学参考答军（第:页.以6页）所以 2sin Acos £? = sin BcosC+cqs AsinC = sin(8 + C) = sin A.JVrttcosB = l.因为8w(0,;r).所以B = 2.5 分23门 cr+c-lr 1一八ill cos B = ,7 分lac 2得a? + d = ac + 4 2 Ixic 当且仅当Q = C时取等号9分10分故如44.叩nc的最大值为4.1

16、8 .解，（I）设数列（的公比为仆是 S3 =q(l+ “+/) = l + g + /=-解得g = l或4=-±, 33因为q>0,所以q = g.所以4 =1F79/j + l由可2f2/-1 2/j + I高三数学参考答案（第2页.共6页）92） 筋 + 1两式相战可得,彳7；=3+弓+5+磊）-筌 JJ9分10分所以4=6-#.19 .解：(1)因为尸DJL底面A8CD. BCdABCD.所以PD«L8c.又 CD i BC . PDrCD = D.所以8C J.平面/CD. 1分又DM u平面PCD.所以。MJLBC,2分因为在APDC中，PD=AD.AI

17、为PC的中点, 所以。M J./C,3分又尸cnsc=c.12分所以。平面08c.4分又DM u平面DMN ，所以平面MND1 TM PBC ：（2）设PQ = 1,以/）为坐标膜点,分别以丽瓦.丽方向为x,y,二轴的正方向,建立空间 K角坐标系 D-xyz ，设 NGU.O)，则 AP = (T。1).46=(0.1,0).丽= (41,0)而=(0). 2 2次切=c-n ,）为平而力小的个法向血则仃4mAP = 0 _,即，mAIi = 0,令玉=1,可得J= (1.0/),8分苗三数学参考答案(第4页.共6页)设 =（,/，q）为平而MND的一个法向加.则行nDN = 0 一，叩，n，

18、DM =01 I 八在十金=0令出一1，可得=（1.-九4）10分因为平面MND与平面丛8夹角为30 .所以3=亘“分即"产一二4解得&J1 + 2X 2212分故N为线段AC的中点.20. IY； (1) i/(.v) = av+/zvW /'(AT) = 3(ix2 + 2bx.山的意可力I./(a; ) = 4500/'(q)= 0ax +叱=45()03a+ 2/zy = 0M一叫1% 汇,“ zz .900() 1 13500， ，八，(2) ill (I)可知,/(x) =j-V +-v% 设飞机降落时间为八则工二3-150，,.、9000.“、&

19、#167; 13500,、 s 1则 M，)=-(.vn -l50z) + ；(a*() -I50f)*j 0t ,M)x。I3U，/、 607500000、八v Q) =5(150厂一卬)，7 分%),(,) = (vW = 6075MOOO(3()0/_ ro)ieQ_§ 分+ c超一 沙 607500000 u 607500000 f,八八当，=0或一时, ),")取最大值；,故;01.10分150花A-可铀出N 4500痴.11分所以飞机开始下战时跑黑着陆点水平掘道的最小伙为4500病米.12分21.解：(1)由题由4“ = 8. « = 2因为£

20、; =1，所以c = l. 2分a 2而，="+/,所以力=>/5，3分 、故描同的方程为：三十三=11分43(2)由(11Xji£(-L0),设/，的方程为！ n = /v-1代入=十二=1劭43(3/2 +4)y26/)f-9 = 0>5 分设?(司，力3。(三，/)，则£分W +431 +4因为8=%-1 所以直线AP的方程为：v =Q-2). %-3:分£分所以 二)%一3v同理可得N(-4,一啖),ns-3 若以为直径的圆过K抽上定点，.则A7NH = 0.设(所.0)(-2SiS2),则丽=(川 + 4.-), 丽=+m-3%-3

21、于是(什4)'+3竽门=0对任意实数序(成必 10分(3-3)(%-3)J?rW(/H + 4)2 +36)心=0.广31打-3/61 + 力)+ 9而小£3+9所以(" + 4f=9.解制， =一| 或? U=7 ,因为一2S，M2,四f以阳=一1II 5>故MN为H径的阴过长仙上的定点(-1,0).12分22.解：(1)I 分当。40时./'3)>0. /")在R上小调速研， 2分又/(T) =1-l + a<O./(l) = e-一1>。，由零点存作定理知，函数/(.，)任R而 c唯一零点,符合题3分当 >0时.令/'(X)= 0得n = Ina ,当 NW(Yo,lna)J'(.t) v0,/(n)单调递M n w (lnn,+oo),/'(z) >0J(x)单调递增.所以 fWmt = /(ln«) = e,ru, -nln«-l =4 分设 K(a) = a - In a - 1(a > 0).则 &'() = I - (In a +1) = - In a ,当 0 &