1.2基底维数坐标.ppt课件

1、，满足，满足个向量个向量选出选出中能中能，如果在，如果在设有向量组设有向量组riiisrAA ,:2121定义定义 线线性性无无关关；）向向量量组组（riiiA ,:1210个个向向量量线线性性相相关关中中任任意意）向向量量组组（12 rA的的一一个个极极大大无无关关向向量量组组称称为为向向量量组组那那么么向向量量组组AA0；简称极大无关组简称极大无关组)(称为称为数数极大无关组所含向量个极大无关组所含向量个r只只含含零零向向量量的的向向量量组组;向向量量组组的的秩秩. 0规规定定它它的的秩秩为为;1个个向向量量的的话话）中中有有（如如果果 rA的的秩秩也也记记作作向向量量组组sA ,:21)

2、;,(),(2121ssrR 或或没没有有极极大大无无关关组组， 742520111321 如向量组如向量组,21线线性性无无关关向向量量组组 .,321线性相关线性相关向量组向量组 。秩为秩为且向量组且向量组的极大无关组，的极大无关组，是向量组是向量组故向量组故向量组2,32132121 的行秩。的行秩。的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为矩阵矩阵的列秩，的列秩，的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为定义：矩阵定义：矩阵AA AA证证,)(),(21rARaaaAm ，设设列列线线性性无无关关；知知所所在在的的所所以以rDr0 阶阶子子式式均均为为零零，中中所所有有又又由由1 rA关关组组，的

3、的列列向向量量的的一一个个极极大大无无列列是是所所在在的的因因此此ArDr. r所所以以列列向向量量组组的的秩秩等等于于).(ARA的的行行向向量量组组的的秩秩也也等等于于类类似似可可证证定理定理1 1 . 0 rDr阶阶子子式式并并设设.1个个列列向向量量都都线线性性相相关关中中任任意意知知 rA也等于它的行向量组的秩。也等于它的行向量组的秩。 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，矩阵的秩等于它的列向量组的秩， .极极大大无无关关组组行行即即是是行行向向量量组组的的一一个个所所在在的的极极大大无无关关组组，列列即即是是列列向向量量组组的的一一个个所所在在的的则则，的的一一个个最最高高阶阶非非零零子

4、子式式是是矩矩阵阵若若rDrDAD rrr但但所所含含向向量量个个数数相相同同；）极极大大无无关关组组不不唯唯一一（,1结论结论 说明说明 .2关关组组是是等等价价的的）向向量量组组与与它它的的极极大大无无（如阶梯形矩阵如阶梯形矩阵 00000310003011040101是是线线性性无无关关的的，向向量量组组维维单单位位坐坐标标向向量量构构成成的的因因为为neeeEn,: 21解解.的的秩秩一一个个极极大大无无关关组组及及的的，求求作作维维向向量量构构成成的的向向量量组组记记全全体体nnnRRRn 例例1 1个向量都线性相关，个向量都线性相关，中的任意中的任意知知的推论的推论节定理节定理又根

5、据又根据1)2(41 . 3 nR n.nRRE nn的的秩秩等等于于的的一一个个极极大大无无关关组组，且且是是因因此此向向量量组组线线性性无无关关的的向向量量组组s ,21定理定理2 2 .),(21sRs 充充要要条条件件是是推论推论1 1 线线性性相相关关的的向向量量组组s ,21.),(21sRs 充充要要条条件件是是推论推论2 2 线线性性无无关关的的维维向向量量组组个个nnn ,21).,(, 0|21sAA 其其中中充充要要条条件件是是定理定理3 3 说明说明: 关关组组的的方方法法求求向向量量组组的的秩秩与与极极大大无无初初等等变变换换给给我我们们提提供供了了利利用用矩矩阵阵定

6、定理理3 矩阵的初等行变换不改变矩阵的初等行变换不改变(部分或全部部分或全部)列列 向量之间的线性关系；向量之间的线性关系； 矩阵的初等列变换不改矩阵的初等列变换不改 变变(部分或全部部分或全部)行向量之间的线性关系。行向量之间的线性关系。 5442,7211,9221,6611,341254321：设向量组设向量组A 例2例2的的秩秩；求求的的一一个个极极大大无无关关组组，并并求求向向量量组组AA 97963422644121121112A记记 解解阶阶梯梯形形矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行对对AA ， 00000310000111041211初初等等行行变变换换 ，知知3

7、)( AR;3个个向向量量组组含含故故向向量量组组的的极极大大无无关关 三三列列，的的非非零零首首元元在在阶阶梯梯形形矩矩阵阵三三个个非非零零行行421、.,421无无关关组组为为列列向向量量组组的的一一个个极极大大故故aaa线性无关线性无关，故，故知知421421,3),(aaaaaaR ),421aaa（事实上事实上 763264111112 000100110111初等行变换初等行变换 大大无无关关组组。也也为为列列向向量量组组的的一一个个极极注注：,431aaa),(),(,21212121tstsRR 线线性性表表示示，那那么么能能由由向向量量组组设设向向量量组组定理定理3 3 推论

8、推论1 1 等价向量组有相同的秩，但反之不真。等价向量组有相同的秩，但反之不真。 ;,)1(21线线性性无无关关r .,2)(21线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由rV 那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个基，就称为向量的一个基， r, 21V 称为向量空间称为向量空间 的维数，并称的维数，并称 为为 维向量空间维向量空间, ,记作记作 dimV=r dimV=r 。 VrVr定义定义3 3 设设 是向量空间，假设是向量空间，假设 个向量个向量 ，且满足，且满足r,21 VVr , R,xVrrr 12211 （1只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为0维向量

9、维向量空间，因此它没有基空间，因此它没有基说明说明 （4若向量组若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，那么个基，那么 可表示为可表示为r, 21VV （2若把向量空间若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的极大无关组就是向量组的极大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.VVV （3如果如果V是向量空间，是向量空间，V的任何的任何r个线性无关个线性无关的向量都是的向量都是V的一个基的一个基 ,221212122),(321 aaaA.,3321的的一一个个基基是是验验证证Raaa设矩阵设矩阵 例4例4.,3213321线线性性无无关关只只要要证证

10、的的一一个个基基是是要要证证aaaRaaa 分析：分析： 解：解：, 0221212122| A.,321线线性性无无关关所所以以aaa那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标如何改变呢？标如何改变呢？问题：在问题：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的nVVn,2121的的两两组组基基是是与与设设nnnR 它们是等价向量组

11、，故它们是等价向量组，故 Pnn),(),(2121 其中其中P是是n阶矩阵，阶矩阵，nn ,2121到到称称为为由由的过渡矩阵，的过渡矩阵， 由上式可知由上式可知P可逆。可逆。 下下的的与与在在基基设设向向量量nn ,2121,坐坐标标分分别别为为 nnyyyYxxxX2121,(1)则由则由 nnxxx 2211 ,2121 nnxxx nnyyy 2211 ,2121 nnyyy nnyyyP2121 nnyyy2121 由坐标的唯一性得：由坐标的唯一性得： nnyyyPxxx2121即即得得(1)式式(2)式分别称为基变换公式和坐标变换公式。式分别称为基变换公式和坐标变换公式。 (2)

12、,1XPYPYX 或或.,52,100110011)1 , 1 , 1(,)0 , 1 , 1(,)0 , 0 , 1(,3213213213213的表达式的表达式下下在基在基并求并求所得到的新基所得到的新基通过过渡矩阵通过过渡矩阵求由基求由基中中在在 例6例6 A RTTT例例5 见见P121例例3 解解由题设有由题设有设欲求的新基为设欲求的新基为,321 ),(100110011),(),(),(32211321321321 A.)1 , 0 , 0(,)0 , 1 , 0(,)0 , 0 , 1(321所所求求的的新新基基是是所所以以TTT 521),(52321321 52110011

13、001152111321Axxx 则则,),(321321 xxx ,532521100110111 .532321 故故基基的的子子空空间间的的维维数数和和一一组组求求例例7 73R 0|3213321xxxRxxxW教材教材P123 5344,9565,112331022121bba a 已知已知例8例8);,(),()1(2121bbLaaL证证明明的一个基及维数。的一个基及维数。求求),()2(2121bbaaL 证明证明 5913351146204532),(2121bbaa 0000000023103511 初等行变换初等行变换 , 2),(2121bbaaR,2121线线性性无无关关线线性性无无关关，