1.2二重积分的概念和性质ppt课件

1、1、二重积分的概念、二重积分的概念曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积柱体体积柱体体积=底面积底面积 高高特点：平顶特点：平顶.),(yxfz D柱体体积柱体体积=？特点：曲顶特点：曲顶.7-1 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第七章第七章 重积分重积分1. 二重积分的概念二重积分的概念7-1 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质第七章第七章 重积分重积分.D(),(割有界闭区域）的一种分的定义域关于函数yxfz 彼此横截，设想有两组曲线，它们平面上形成了一并在),(yx.个网格;DDDDn21，分成有限个闭子区域这个网格将 它们彼此互不重叠，.DDDn21 D且这样的一组子区域DDDn2

2、1， 就称作D的一种分割的面积，表示用iiD.Di的直径的最大者表示.DDii最大值中任意两点的距离的的直径是指所谓iD解法解法: 类似定积分解决问题的思想类似定积分解决问题的思想:引例引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底：底： xoy 面上的闭区域面上的闭区域 D顶顶: 连续曲面连续曲面侧面：以侧面：以 D 的边界为准线的边界为准线 , 母线平行于母线平行于 z 轴的柱轴的柱面面求其体积.“分割，近似代替, 求和, 取 极限” D),(yxfz 步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的

3、体积，xzyoD),(yxfz i),(iiyx先分割曲顶柱体的底先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniiyxfV曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积是n个小闭区域i的直径中的最大值 2. 求平面薄片的质量求平面薄片的质量 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有

4、小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量xyo),(iiyxi.),(lim10iiniiyxM定义定义 设设 是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 上的函数上的函数,zf x yD若对若对 的任意分割的任意分割 及任意选择的及任意选择的D12,nD DD,1,2,iiix yD in当当 时时, 和数和数01,niiiifx y总有极限总有极限, 则称该极限为则称该极限为 在在 上的二重积分上的二重积分.,f x yD记作记作,Df x y d或或,Dfx y dxdyniiiiyxfI10),(lim可积可积 , ),(yxf则称Dyxfd),(),(yxfI为称在D上的二重积分.

5、称为积分变量yx,积分和Dyxfd),(积分域被积函数积分表达式面积元素记作对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1) 在在二二重重积积分分的的定定义义中中，对对闭闭区区域域的的划划分分是是任任意意的的.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值由二重积分的定义可知由二重积分的定义可知若二重积分若二重积分niiiiDoyxfdyxf1),(),(lim存在存在(2)一个在有界闭区域上连续的二元函数是可积的一个在有界闭区域上

6、连续的二元函数是可积的.则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式故可采用一种便于计算的划分方式 在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，紧靠紧靠D的边界的小区域的面积的边界的小区域的面积 iit其中其中L为为D的围长的围长Ljj )0( , 0),( MLMfjjjjjj则面积元素为则面积元素为dxdyd xyoDy

7、xfVd),(引例1中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例2中平面薄板的质量:Dyxyxfdd),(Dyxyxdd),(故二重积分可写为故二重积分可写为 DDdxdyyxfdyxf),(),(（二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）(1)( , )Dkf x y d( , ).Dkf x y d（ 为常数）为常数）k 2,DDDf x yg x y df x ydg x yd 2. 二重积分的性质二重积分的性质, 1),()3(yxfD上若在DDdd1 为D 的面积, 那么 (4).),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 对区域具有可加性对区域具有可加性)

8、(21DDD (5)若在若在D D上上),(),(yxgyxf 则有则有.),(),( DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),( DDdyxfdyxf (6) （二重积分中值定理）（二重积分中值定理）假设假设 在有界闭区域在有界闭区域 上连续上连续,则在则在 上至上至少存在一点少存在一点 ,使使,f x yDD00,x y00,Df x y df xyS其中其中S是是D的面积的面积证证,),(Myxfm则有D 的面积为S, 设),(min),(maxyxfmyxfMDDMSyxfmSDd),(积分积分.d),(1MyxfSmD由连续函数介值定理, 至少有一点Dyx), ,(00使DyxfSyxfd),(1),(00.),(d),(00SyxfyxfD因而3、小结、小结二重积分的定义二重积分的定义（和式的极限）（和式的极限）二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）二重积分的性质二重积分的性质 （与定积分类似）（与定积分类似） 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，它们的相同之处与不同之处是：它们的相同之处与不同之处是：定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是