1.2二重积分的计算方法ppt课件

1、6.1.2 6.1.2 二重积分的计算法二重积分的计算法一一 问题的提出问题的提出二二 直角坐标计算二重积分利用直角坐标计算二重积分利用三三 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分四四 小结小结 Ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . 按定义按定义:二重积分是一个特定乘积和式极限二重积分是一个特定乘积和式极限 然而，用定义来计算二重积分，一般情况然而，用定义来计算二重积分，一般情况下是非常麻烦的下是非常麻烦的. 那么，有没有简便的计算方法呢那么，有没有简便的计算方法呢?这就是我这就是我们今天所要研究的课题。下面介绍们今天所要研究的课题。下面介绍:一、问题的提出二、利用直角

2、坐标计算二重积分 二重积分仅与被积函数及积分域有关,为此, 先介绍： 1、积分域 D:如果积分区域为：如果积分区域为：, bxa ).()(21xyx X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型区域的特点：型区域的特点：a a、平行于、平行于y y轴且穿过轴且穿过区域的直线与区域边界的交点不多于两个；区域的直线与区域边界的交点不多于两个； b b、).()(21xx（1X-型域（2Y-型域：型域：,dycY型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D Y Y型区域的特点：型区域的特点：a a、穿过区域且平行、穿过区域且平行于于x x轴的直线与

3、区域边界的交点不多于两轴的直线与区域边界的交点不多于两个。个。b b、).()(21yy).()(21yxyaxbzyx)(xA),( yxfz)(1xy)(2xy 2、X-型域下二重积分型域下二重积分的计算的计算: 由几何意义，假设由几何意义，假设 此为平行截面面积为已知的立体的体积此为平行截面面积为已知的立体的体积.截面为曲截面为曲边梯形面积为：边梯形面积为：DVdxdyyxf),(曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积)0),(yxf那那么么yZ)(x1)(x2),(yxfz )()(),()(xxdyyxfxA21 DbaA(x)dxf(x,y)dxdy所以：所以：dxdy.yf(xba(x)(

4、x)21 dy.yf(xdxba(x)(x)21 注注: 假设假设 (x,y)0 仍然适用。仍然适用。注意注意: 1: 1上式说明上式说明: : 二重积分可化为二次二重积分可化为二次定积分计算定积分计算; ;2 2积分次序积分次序: X-: X-型域型域 先先Y Y后后X;X;3 3积分限确定法积分限确定法: : 投影定限法。投影定限法。为方便，上式也常记为：为方便，上式也常记为：3、Y-型域下二重积分的计算：型域下二重积分的计算： 同理：同理：Y型域下型域下 )()(21),()(yydxyxfyB 于是于是 Ddcyydyyxfdyxf ),(),()()(21面积为：面积为：为曲边梯形，

5、为曲边梯形，常数截立体，其截面也常数截立体，其截面也用y用y 知的立体体积.知的立体体积.亦为平行截面面积为已亦为平行截面面积为已 1积分次序积分次序: Y-型域型域 ,先先x后后Y;dxyxfdyDdcyy),(:)()(21 也也可可记记为为注意注意: 注意：二重积分转化为二次定积分时，注意：二重积分转化为二次定积分时，关键在于正确确定积分限关键在于正确确定积分限,一定要做到熟练、一定要做到熟练、准确。准确。4 4、利用直系计算二重积分的步骤、利用直系计算二重积分的步骤（1画出积分区域的图形画出积分区域的图形,求出边界曲线交点坐标；求出边界曲线交点坐标；（3确定积分限，化为二次定积分；确定

6、积分限，化为二次定积分；（2根据积分域类型根据积分域类型, 确定积分次序；确定积分次序；（4计算两次定积分，即可得出结果计算两次定积分，即可得出结果.5 若区域为组合若区域为组合域，如图则：域，如图则：3D2D1D.321 DDDD0 6、如果积分区域既是、如果积分区域既是X型，型， 又是又是Y型型, 则有则有 Dbaxxdxfdydyxf)()(21),( dcyydyfdx)()(21 例例 1 1 求求 Ddxdyyx)(2，其其中中D是是由由抛抛物物线线2xy 和和2yx 所所围围平平面面闭闭区区域域.解：解：两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1(,)0 ,0(22 yxxy2xy

7、2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx)( 1022dxxxxxx)(21)(42102 .140332xy 2yx Y型型yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 所所围围成成的的闭闭区区域域。及及是是由由抛抛物物线线其其中中计计算算2,2 xyxyDxydD 例例2解：解： （如图将（如图将D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy)(yx后后先先 xxd

8、yyxfdx32120),(. 解：解：积分区域如图积分区域如图xyo231yx 3yx2 yxy20,10 yxy 30 ,31xyxx 321,20原式原式axy2 解：解：= ayaaaydxyxfdy02222),( 原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a解解 dxexy不能用初等函数表示不能用初等函数表示先先改改变变积积分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 例例6 6解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其其中中计计算

9、算 1D2D3D先去掉绝对值符号，如图先去掉绝对值符号，如图 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择（在积分中要正确选择 积分次序）积分次序）.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型X型型7.小结三 利用极坐标系计算二重积分 当一些二重积分的积分区域当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标较简

10、单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。其计算问题。等等例例 22222222222)cos(,)sin(,2222ayxayxayxyxdxdyyxdxdyyxdxdyeAoDiirr iirrriiiiiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos()sin,cos(lim),(lim),(00 DiiiiiiiiiiiiDrdrdrrfrrrrffdxdyyxf 1 直系与极系下的二重积分关系如图）iiiiirrr 2221)(21i（1面积元素变换为极

11、系下：面积元素变换为极系下：（2二重积分转换公式：二重积分转换公式：.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf （3注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行的二重积分需要进行“三换三换”： rdrddxdyDDryrxrxysincos2 极系下的二重积分化为二次积分的的上上下下限限关关键键是是定定出出 , r的的上上下下限限：定定 用两条过极点的射线夹平面区域，用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限由两射线的倾角得到其上下限的的上上下下限限：定定r任意作过极点的半射线与平面区域相交，任意作过极点

12、的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。二重积分仍然需要化为二次积分来计算。.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(（1区域如图区域如图1, ).()(21 r具体地如图）具体地如图）图图1（2区域如图区域如图2, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1r图图2AoD.)

13、sin,cos()(0 rdrrrfd（3区域如图区域如图3, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos()(r图图3 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd（4区域如图区域如图4).(0 rDoA,2 0)(r图图4例例 1 1 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为 R 的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解在在极极坐坐标标系系下下D：Rr 0， 20. dxdyeDyx 22 Rrrdred0202 ).1(2Re 20)1(212deR1 yx122 yx解解如如图图：在在极

14、极坐坐标标系系下下 sincosryrx圆圆方方程程为为 1 r, 直直线线方方程程为为 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd20 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(

15、42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a计算二重积分应该注意以下几点：计算二重积分应该注意以下几点： 先要考虑积分区域的形状，看其先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，边界曲线用直系方程表示简单还是极系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标