2020年全国高考理科数学试题及答案-全国卷2

1、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）理科数学注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域 内。2 .选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0. 5亳米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整，笔迹清楚3 .请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效： 在草稿纸、试卷上答题无效4 .作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡而清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择

2、题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。】士=（）1+/A. 1 + 2/B. 1-2/C. 2+iD. 2-i2 .设集合4 = 1,2,4, B = x|x2-4x + /n = 0.若408 = 1,则8=（）A. 1,-3B. 1,0C. 1,3D. 1,53 .我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望婉巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盆灯？ ”意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层 中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3部C. 5盏D. 9盏4 .如图，网格纸

3、上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由 一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体枳为（）A. 90万B. 631C. 42万D. 36兀2x + 3y-30A. -15B-9C. 1D. 96 .安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安 排方式共有（）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种7 .甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2 位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.

4、乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩10 .已知直三棱柱ABC A4G中，ZABC = 120 , AB = 2, BC = CJ=1,则异面直线AB1与BQ所成角的余弦值为()A V3r厉,屈DA. D. C. U. 255311 .若x = -2是函数/(外=*2+公-1)/-的极值点，则/(x)的极小值为()12.A. -1B. -2/C.D. 1己知A43C是边长为2的等边三角形,P为平面A8C内一点，则西.(而+正)的13word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。最小值是（）c34D. -1A. -2B.C.23二、

5、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX=.14. 函数/(x) = sin? x +J5cosx-(xe 0,y )的最大值是.42“ 115. 等差数列凡的前项和为S.，出=3，54=10,则2一 =.J S*16. 已知尸是抛物线C： /=8x的焦点，是c上一点，FNI的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则怛N|=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721题为必做题, 每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作

6、答。(-)必考题：共60分。17. (12 分)RABC的内角A、B、C所对的边分别为已知sin(A + C) = 8sir,2(1)求 cos 8：(2)若o + c = 6, AA3c的面积为2,求.18. （12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：旧养航法箱产能kg斯葬玳法艇产砒3（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2） 填写下而列联表，并根据列联表判断是否有99研勺把握认为箱产

7、量与养殖方法有关:箱产量V50kg箱产量50kg旧养殖法新养殖法（3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P (K2k)0. 050k3. 8410.0100. 0016. 63510. 828nad -be)2(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)19. （12 分）如图，四棱锥P -ABC。中，侧而PAO为等比三角形且垂直于底面A8CO,AB = BC = -AD.ABAD = ZABC = 900,七是产。的中点. 2（1）证明：直线CE/平面月15（2）点用在棱PC上，且直线8W与底而A8C。所成角为45 ,求二而角MAB

8、。的余弦值20. （12 分）2设。为坐标原点，动点M在椭圆C： + / = 1,过用做X轴的垂线，垂足2为N,点尸满足标=/5丽.（1）求点P的轨迹方程：（2）设点。在直线大=一3上，且丽而=1.证明：过点尸且垂直于O0的直线/过C的左焦点尸.21. （12 分）已知函数f（）=以2-4一xlnx,且/（x）ZO。（1）求 4 ；（2）证明：/（X）存在唯一的极大值点看,且2/（.%）0/0,/+3 = 2,证明：(1) (a + b)伍$+户)24；(2) a + b2.2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2理科数学参考答案一、选择题:1. D 2. C3. B 4. B5. A6

9、. D7. D 8. B9. A 10. C12. B二、填空题:13. 1.9614. 115.2/116. 6三、解答题:17. (12 分)解:(1)由题设及4 + 5 +。= %得力】8 = 841?0,故 2sin B = 4(l-cos B)上式两边平方，整理得17cos2 3 - 32cos8 + 15 =。解得 cosB=l (舍去)，cosB= 17(2) 11 cosB sin B = 故 5取8(. =54csinB = -yac17又 Smc=2,贝ljac = 7由余弦定理及a+c = 6得b2 =cr +c2 - 2ac cos B = (a + c)2 -2ac(

10、l + cos8)= 36-2x x(l + ) = 4217所以人=218. (12 分)解： (1)记3表示事件“旧养殖法的箱产量低于50依” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg ”.由题意知 P(A) = P(BC) = P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50依的频率为(0.012 + 0.014 + 0.024 + 0.034 + 0.040)x5 = 0.62，故P(8)的估计值为0. 62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为(0.068 + 0.046 + 0.010 + 0.008) x 5 = 0.66 ,故尸(C)的估计值为0. 66因此，事件A的概率估计值为

11、0.62 x 0.66 = 0.4092(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50依的直方图面枳为(0.004 + 0.020 + 0.044) x5 = 0.34 0.5,故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 +0,5-0.340.068%52.35(依)19. (12 分) 解：(1)取A4的中点尸，连接环,8/，因为石是尸。的中点，所以 EF/AD, EF = -AD2由 NBA。= NA3C = 90得 BCV/A。，又 3C = Lo, 2所以EF幺BC,四边形8CE

12、E是平行四边形，CEHBF ,又B/u平而F43, CEcZ平面，43，故CE 平面248（2）由已知得84J_AQ,以A为坐标原点，A月的方向为x轴正方向，1初1为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系4-与2,则A(0,0,0), B(l, 0,0),C(l,L0), P(0,l,有),PC = (1,0,-73), AB = (1,0,0)设M(x,y,Z)(0vxvl),则BM = (x -1, y, z), PM =(x,y-l,z-扬因为8M与底而A8CQ所成的角为45 ,而 =(0,0,1)是底而48C3的法向量，所以 I cos = sin 45Izl =&y(x-1)2 + y

13、2 + z2 2即(1)2+)，2_#=0又M在棱PC上，设丽=/1正，则x = 4, y = L z =褥一小入XV，y = 1，A1 +区 2由，解得丁 = 1,（舍去）一2所以M(l 去，号,从而丽/（I孝,1,日）设7 = (%, %，Zo)是平面A3M的法向量，则机=0,J(2-&腐+ 2y0 +而 o)= O, 即 trfAB = 0, I x0 =0,所以可取7 = (0,2),T 日V10于是 cos =I m II n I 5因此二面角M A3 O的余弦值为典20.（12 分）解:(1)设尸（x,y）, M（Xo，y。），则 N(Xq,0)；nP = (x-与,y), nM

14、= Q, %)由 NP = N而得X() = x,yo=y2Y- V-因为M（x0,y。）在。上，所以彳+彳=122因此点P的轨迹方程为x2 + /=2(2)由题意知产（一1,0）设。(一3),P(m,)，则OQ = (3),尸尸=(l m,n),OQPF = 3 + 3m - tn ,OP =(八 )，PQ = (-3 】，/ )由 OQPQ = 1 得 一3? 一+ tn-n2 = 1又由(1)知，+2=2,故3 + 3mtn = O所以而而=0,即加，丽.又过点P存在唯一直线垂直于0。,所以过点P且垂直于OQ的直线/过C的左焦点F.21. （12 分） 解:(1)/(X)的定义域为(0,

15、+8)设 g(x) = ax-a-nx r 则 f(x) = xg(xf(x) 0 等价于 g(x) 0因为g(l) = 0,g(x)N0,故g(D = 0,而 g(x) = a 一 一，=。-1,x得=1若 4 = 1，则 g) = lX当Ovxvl时，g(x) vO,g(x)单调递减：当xl时，ga)0,g(x)单调递增所以x = l是g(x)的极小值点，故g(x)N g(l) = 0综上，a = 1(2)由(1)知/(x) = x?-x-xlnx,/(x) = 2x-2-lnx设/?(x) = 2x 2 lnx,贝iJ/x) = 2 Lx当 x (0-)时，h(x) 0.22所以力(x)

16、在(0,1)单调递减，在(Li)单调递增.22又，)0,Q)v0J#) = 0,所以*)在(0-)有唯一零点/，在L+s)有唯 222一零点 1,且当xe(O,Xo)时，/?(x)0：当x(Xo，l)时，/?(x) 0.因为()=力(幻，所以工=%是/(X)的唯一极大值点由/*0)= o 得 In X。= 2(% -1)，故 /(%)=%(1 .%) 由 /e(0,l)得/(/) 0)因此C2的直角坐标方程为（x - 2尸+ f = 4（x00）（2）设点8的极坐标为（4,6）（4。）,由题设知1041= 2,夕月=4cos a ,于是AQAB面积S = ； IQA l4sin ZAOB冗=4

17、 cos aA sin(t/ ) I=21 sin(2 - g) K2 +技当。=一时，S取得最大值2+612所以AQAB面积的最大值为2 + JJ23.解：(1) (a +)(+ /) = a + ab + a5b + b”=(/ +/)2+抽(/ +/)= 4 + ab(a2 -Z?2)24(2) W(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3= 2 + 3ab(a + b)3(+4,、0QQ)的一条渐近线被圜 a_2)2 +,=4所截得的弦长为2,则c的离心率为【A】 A. 2B.610.已知直三核柱45C-48G中，WC=120。，AB = 2, BC = Cq=T

18、,则异面宜 线期与6G所成角的余弦值为【（】A.B.巫 C. D.g255311.若x = -2是函数力=（炉+衣-1）产的极值点，则力的极小值为【A】A. -1B. -2e-3C. 5e-5- D. 112.已知45C是边长为2的等边三角形，P为平面加。内一点，则莎（而+定）的 最小值是【B】14A. -2B. -c. -D. -123二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分，13一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，X表示抽到的二等品件数，则DX= L96 .14.函数/a）= sin2x + ecosx- （父0,今）的最大值是 I 等差

19、数列4的前项和为S, %=3, 54 =10,则注1=用一卜Sk + 116 .已知产是抛物线C： /=8x的焦点，”是C上一点，的延长线交y轴干点N. 若M为/W的中点，则|印多6 .三、暨胃题k斐烧塔喈螃字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必 一鬻 J个舞警都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答。17 .（12分）48C的内角4, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin(/ + O = 8si/g2求8sB ;(2)若a + c = 6, 数C的面积为2,求b.解：(1)由题设及 4 + B + C = 7t 得 sin5=8sin2-1,故 sin5 = 4(

20、1 - cos j?).上式两边平方，整理得17cosJ j5-32cosF + 15 = 0 ,解得 cos5=l (舍去)，cos5 = .由 8s”输得 sinS 哈，故%0c fcsinBac 又 , n.1717217 乂 43 =?,则2,2由余弦定理及 a +C = 6 得反=标_ 2accos5 = (a +c)2 2ac(l+Cos5)= 36-2xnx(1 + !1)=4文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了箱产量/kg旧养殖法(1)设两种养殖方法的箱产量相互独

21、立,箱产量/kg】8(12分)新养殖法记Z表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计4的概率：(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖 方法有关；箱产景 50 kg箱产量2 50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量:的中位数的估计值(精确 到 0.01) .P(K2 2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附:n(ad -be)2(a+ b)c + d)(a 4 c)(b + d)解：记8表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养疽法的箱产 量

22、不低于50kg” .由题意如尸(4)=尸(3O = P(B)P(C).旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为(0.012 + 0.014 + 0.024 + 0.034 + 0.040) x 5 = 0.62.故?(B)的估讨值为0 62 新笄殖法的箱产量不低于5kg的频率为(0 068 + 0.046 + 0.010 + 0.008) x5 = 0.66 ,故P(C)的估计值为066r4 Ti i ，z*- d 7j u。因此，事件4的概率估计值为0.62x0.66 = 0.409 2.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50 kg _箱产量乏50 kg 一38一旧养殖法62新养殖法

23、66200x(62x66-34x38尸、 5 705100x100 x 96x104由于15.705 6.635,故有99%的把握认为籍产量与养殖方法有关,(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为(0.004 + 0.020 + 0.044)x5 = 0.34 0.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 + ”-。34 52.35 (kg).0.068619. (12 分)如图，四棱维P-XSCO中，侧面为等边三角形且垂直于底面.CO, AB = BC = -ADt 2AD = ABC = 900，E 是尸。的中点.(1)证明：直线CE 平面痴：(2)点

24、M在棱FC上,且直线劭/与底面都8所成角为45。，求二面角M-公-O的余弦值.留：(1)取尸彳的中点尸，连结F, BF .因为E是尸。的中点，所以EF AD , 吟 3 由血=WC = 90。得 5C/7M,又 BC=：AD,所以 EFaBC,四8平面病，故边形即是平行四边形，CE / BF,又平面产磔， 平面A3.2)由已知得M_L4D,以及为坐标原点， 益的方向为x轴正方向，|万|为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系4-小，则 4(0,0,0), 8(1,0,0)，C(l,l,0),尸(045), 定= (1,0,3，方=。,0,0).设M(x,y,z)(0x,z),而= (x,y-l

25、,z-6).文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。因为8M与底面期8所成的角为45。，而,=（0,0,1）是底面CD的法向量，所以| cosBM,力1= sin 45。，=立，7（x-l）2 +/ +Z22即 a-a+y2-，=o.又“在棱穴?上，设两=a无，则x = A, ”1, z = V3-V32.2匹, 2 由，解得b=i,V6（舍去），p = l,瓜7 二 一一所以M（l-争当，从而国=Q邛,玲.Z = - -2 21 设加=（今,加2。）是平面熊M的法向量，则m A/ = 0,即 f（2-V2）x0+20+V6z0 =0,m-AB=0, k

26、 =。，所以可取nt=（0,r&2）,于是8s（e,=三匕二胆 Im IIn I,因此二面角M-AB-D的余弦值为嘤20. （12 分）,2设0为坐标原点，动点”在椭圆心行+式=1上，过河作x轴的垂线，垂足为“， 点P满足瓶=（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且历丽=】证明：过点P且垂直于。的直线，过C的左焦点尸._解：（1）设p（3），GM 则g：o），杼=（/， *&%）由而=及祠得用=4yk与yx2 y2因为m（9%）在c上，所以T+T=1-因此点p的轨迹方程为（2）由题意知尸（一】，）OQ =（一），OP = （m,n），x2+y = 2.设。（-3），P（科砂，则pp - （一I 一 -力），0Q PF = 3 + 3m Tn 冠二 （-3-m/-）由存,而=1得_3吁疝+加-OF,又由知苏+U2,故3 + 3m-m = 0.所以丽丽=0,即而_L而.又过点P存在唯一直线垂直干0，所以过点尸且 垂直于00的直线/过C的左焦点F.2L (12 分)已知函数/(x)=ax2-ax-xlnx,且，(幼)0.(1)求。；(2)证明：