线性代数试题与答案解析详解

1、«线性代数A »试题(A卷)试卷类别：闭卷考试科目：线性代数姓名：考试时间：120分钟 考试时间：学号：题号一一三四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题3分，共30分)1 .设A经过初等行变换变为 B,则().(下面的r(A), r(B)分别表示矩阵 A,B的秩)。(A)r(A)r(B);(B)r(A) r(B);(C)r(A)r(B)；(D)无法判定r(A)与r(B)之间的关系。2 .设A为n (n 2)阶方阵且|A| 0,则()。(A) A中有一一行元素全为零；(B)A有两行(列)元素对应成比例；(C) A中必有一行为其余行的线性组合；(D) A的任一行为其余行的

2、线性组合。3 .设A, B是n阶矩阵(n 2), AB O,则下列结论一定正确的是：()(A) A O或 B O;(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 .下列不是n维向量组1, 2,., s线性无关的充分必要条件是()(A)存在一组不全为零的数 k,k2, ks使得k 1 k2 2ks s O;(B)不存在一组不全为零的数 k1,k2，, ks使得k1 1k2 2ks s O(C)1, 2,.的秩等于s；(D)1,2,.中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5.设n阶矩阵(n3)(A)1；(B)6.四阶行列式a10b4a2

3、b30(A) a©2a3a4a30b1b2b3b4;b10a4若矩阵A的秩为n 1，则a必为(C)(D)的值等于(B)a©2a3a4bb2b3b4；(C)(a© bb)(a3a4 b3b4)；(D)(a2a3 b2b3)(a1a4 bh).7.设A为四阶矩阵且|A|b，则A的伴随矩阵一*A的行列式为(A) b;(B)b2；(C).3b ;(D)b48.设A为n阶矩阵满足A23AInO，I n为n阶单位矩阵，则A(A) In；(B) A3In；(C) A 3In；(D)3A In9.设A, B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是(A) A与B的秩相同;(B) A与

4、B的特征值相同;(C) A与B的特征矩阵相同;(D) A与B的行列式相同;1 3 2 9 3)。如果 |A| 1 ,则|B|O10.设A为n阶矩阵,则A以0为特征值是A0的()。(A) 充分非必要条件;(B)必要非充分条件;(C) 既非充分又非必要条件;(D)充分必要条件;二.填空题(每小题3分,共18分)计算行列式2.3.4.二次型已知1则向量f (X1,X2, X3)(0,0,1)，X1X2X2X3X3X1对应的对称矩阵为(事3,0),(1,1,1旌这组基下的坐标为3 (孝，¥,0)是欧氏空间？3的一组标准正交基,7415.已知矩阵A 471的特征值为13(二重)，2 12,则x

5、3均为3维列向量，记矩阵 A1, 2, 3 , B ( 123, 12 24 3三.2(8 分)A113120 , B032131 0 , 1AXB,求 X。四.（10分）设向量组1(1,1,2,3)T,2(1,1,1,4,3(1,3,3,5)T,4(4, 2,5,6) T ,5(3, 1, 5, 7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。X1X2Px32五.（12分）讨论线T方程组x1 px2*31解的情况，并在有无穷多解时求其解 。px1 x2*31124六.(14分)设A(2)、求正交矩阵T ,22 2 , (1)、求出A的所有特征值和特征向量;4 21使得

6、T 1AT为对角矩阵。七.(8分)对任意的矩阵 A,证明：(1) A AT为对称矩阵,A AT为反对称矩阵;(2) A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数A»参考答案(A卷)、单项选择题(每小题3分，共30分)12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18分）4、1,72,0 ；5解：因为矩阵 A的行列式不为零，则0_1 2口 212021212，0A可逆，因此X1A B.为了求A1B,可利用下列初等行变换的方法:271427 141010106分）27所以XA 1B14（8分）四.解:对向量组1011143111431132102262213

7、550113131567022621,2 ,3 ,4,5作如下的初等行变换可得:3, 4, 5）11143102121,2,3, 4,个极大线性无关组为5 分）1,2， 故1,2 , 3 , 4 , 5 一 28 分）2 12，413 2，52110 分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换:(1)与增广矩阵的秩均为(2)解.(3)方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为故原方程组与下列方程组同解21p1230p11p32p002 pp24 2p1pp101 0,且(2(21pp)(pp)(p( 4分)1)1)2p0时 , 即 p1,且 p2时 ,

8、系数矩阵3, 此时方程组有唯一解.p1时, 系 数 矩阵 的秩为1, 增 广矩p2时 , 此时方程组有无穷多组解秩为5 分）2, 此时 方程 组无6 分）8分）XiX31X2X31令X30,可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1, 1,0)T;它对应的齐次线性方程组XiX2X3X300,_的基础解系含有一个兀素，令X31,可得1(wT为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为ko o k 1,这里k0,K为任意常数（12 分）1 1) 由于 A 的特征多项式1I I A| 242 4一一一2一22（3）（6）21故A的特征值为 13 (二重特征值)，3

9、6。3分）42 4 X113 时，由（1I A）X O,即： 212 x242 4 X3基础解系为1 1,2,0T, 2 1,0,1T ,故属于特征值13的所有特征向量为k1 1 k2 2, k1,k2不全为零的任意常数。(6分)52 4 X13 6 时，由（3I A）X O ,即： 282 x2425 x300得基0础解系为3 2,1,2T ,故属于特征值26的所有特征向量为k3 3, k3为非零的任意常数。(2)(8 分)1,2,0T,3单位化得:2.5八,054.51512分)是一个正交矩阵，且七.证明：（1）因为（A为对称矩阵。（2分）同理，因为（AAT）TA AT为反对称矩阵。2,5 .515 , 34 5 552 5 -15-柜1ATAT)TAT2-3工 323AT(AT)TAT,(1