2007年高考.山东卷.理科数学试题及解答

1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中, 选择一个符合题目要求的选项。1 若z =cos二is in二(i为虚数单位)，贝U z2二-1的二值可能是JlJlHH(A)( B)(C)( D)6432f i2已知集合M =1,1,N =x 2%*C4,XEZ，则M c N =I2J(A)1-1,门(B)-1(C)(D)1-1,01TlTL5 函数y二sin(2x -) cos(2x -)的最小正周期和最大值分别为(A)二，1(B)二八2(C)2二，1(D)2二八26 给出下列三个等式：f (x

2、y)二f (x) f (y)，f (x y)二f (x) f (y)，f(x y)他。下列函数中不满足其中任何一个等式的是1-f(x)f(y)(A)f(x)=3x(B)f(x)二si nx(C)f(x)=log2x(D)f(x)二ta nx7 命题“对任意的x R，X3-X2 1岂0”的否定是(A)不存在x R，x3x21乞0(B)存在x R，x3x21乞0(C)存在x R，x3- x2 1 0(D)对任意的x R，x3- x2 1 08 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13 秒与 19 秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13 秒且小于 14 秒；第二组

3、，成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒； 第六组， 成绩大于等 于 18 秒且小于 19 秒。右图是按上述分组方法得到的频率分 布直方图。设成绩小于17 秒的学生人数占全班总人数的百分比为x，成绩大于等于 15 秒且小于 17 秒的学生人数为y， 则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为(A)0.9,35( B)0.9,45(C)0.1,35(D)0.1,4514 设a-1,1,-,3I 2(A)1,3( B)-1,1(C)-1,3( D)-1,1,3(2),(4)值为3 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是R 且为奇函数的所有0 13 14 15 16 17 18 19秒12

4、 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或1向右，并且向上、向右移动的概率都是质点 P 移动 5 次后位于点（2,3）的概率为2（B） c；（1）5（C） c；（1）（D）C|C5（-）522 2第U卷（共90分）注意事项：1.用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔直接答在试题卷上2.答卷前将密封线内的项目填写清楚 .得分评卷人二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，答案须填在题中横线上.（13）设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p0）的焦点，A是抛物线上的一点，FA 与x轴正向的夹角为 60 ,则OA为_._9 下列各小题中，p是q的

5、充要条件的是（1）(2)(3)(4)(A)p : m：2或m .6f(-x).p:1;f(x)p:cos：= cos-;p : A- B二A;(1),(2)(B),(3)2q: y =x mx m 3有两个不同的零点。q :y-f( X是函数。q : t a n = tanq：CuBCuA。(C)(3),(D) ，10 阅读右边的程序框图，若输入的n是 100，则输出的变量 S 和 T 的值依次是（A）2500,2500（C）2500,2550(B)2550,2550(D)2550,250011.在直角LABC中，不成立的是2 T -AC(C)CD是斜边AB上的高，则下列等式(B)AB -AC

6、 CD(D)BC -BA BCCD2二屋（2）5(A)(A)、+2y GO,2x + v A 3(14)设D是不等式组 y 一 表示的平面区域，则D中的点P(x,y)到直线x+y=1O距离的最八1大值是_._(15)与直线x+y-2=0 和曲线x2+y2-12x-12y+54=0 都相切的半径最小的圆的标准方程是(16)函数y=loga(x+3)-1(a0,a= 1)的图象恒过定点A,若点A在直线mxmy+1=0 上，其中mn0,则1-2的最小值为m n三、解答题：本大题共6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤得分评卷人(17)(本小题满分 12 分)设数列*an满足

7、a+3a2+32a3+3-1an=, n N*.3(I)求数列a，的通项；得分评卷人(18)(本小题满分 12 分)设b和C分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量(重根按一个计).2(I)求方程x bx 0有实根的概率;(n)求的分布列和数学期望;得分评卷人(19)(本小题满分 12 分)如图，在直四棱柱ABCD中，已知DC二DD1=2AD =2AB ,AD DC,AB/DC.(I)设E是DC的中点，求证：D1E/平面A1BD1;(n)求二面角ABD -G的余弦值.(n)设bn=丄，求数列anbn丿的前 n 项和 S.表示方程x2bx 0实根的个数(川)求在先后两次出现的点数中有5 的条

8、件下，方程x2bx 0有实根的概率.D1AB得分评卷人(20)(本小题满分 12 分)如图， 甲船以每小时 30.2海里的速度向正北方向航行, 匀速直线航行当甲船位于A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距 20 海里当甲船航行 20 分钟到达A处时， 乙船航行到甲船的北偏 西 120方向的 B 处，此时两船相距 102海里，问乙船每小时航行多少海里？得分评卷人(21)(本小题满分 12 分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上， 椭圆离的最大值为 3 ;最小值为 1;(I)求椭圆C的标准方程；(H)若直线l1y=kx+m与椭圆C相交于A B两点(A, B不是左右顶点)

9、，且以 圆C的右顶点求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标 _ 2(22)(本小题满分 14 分)设函数f(x)=x+bln(x+1),其中 0.1(I)当b1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；2(n)求函数f(x)的极值点；11 1(川)证明对任意的正整数n,不等式 ln(1) 亍)都成立.n n n参考答案:DBDAAB ,13 【答案】14.答案】15 【答案】16 答案】CADDCB、21:vp4 - 2. (x-2)2(y-2)2=28。乙船按固定方向I C上的点到焦点距AB为直径的圆过椭得分评卷人17【答案】：(1)印3a232ag- .3nJa-,32n 1 a13a232

10、比 .3n 2anj(n _ 2),3小n n -13 an :331an=尹(n-2).1”2).1*验证n =1时也满足上式，ann(n N ).3(II)Sn0 = n 3n，23n= 1 3 2 33 3 - .n 33& =1 322 333 34.n 3n 12-2Sn=3 33 nn：；1+ 3 +3 -n 3n 1n旷,1-3才1一丄3n 1.3443一3n18 答案】：(I)基本事件总数为6 6 =36 ,_若使方程有实根，则厶二b2-4c _0，即b_2.c。c当当当当当当=1时，b =2,3,4,5,6；=2时，b =3,4,5,6；=3时,b =4,5,6；=4

11、时，b =4,5,6；=5时，b =5,6；=6时，b =5,6,ccccc目标事件个数为5 4 3 3 2 2 =19,219因此方程x2bx c = 0有实根的概率为 一36(II)由题意知，匸-0,1,2，贝U芦17芦2厂P( =0),P( =1), P( =2)363618故的分布列为012P17丄17361836芦芦17丄1丄17的数学期望E =0121.361836(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件 M , “方程ax2bx 0有实根” 为事件 N，则117P(M)，P(MN厂3636P(M) 1119【答案】：连结BE，则四边形DABE为正方形，.BE二AD二ADi，

12、且BELADADI,.四边形 AUEB为平行四边形， DIELAB.I；D1 平面 ABD, ABU平面 ABD,.UEL 平面 ABD.(II)以 D 为原点，DA, DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设DJ， 则D(0刖)，A(1,0,0), B(1,1,0),G(0,2,2), A(1,0,2).二DA =(1,0,2), DB =(1,1,0).设门=(x, y, z)为平面ABD的一个法向量，x 2y =0由n _ DA,n _ DB得，x + y =0-1Ly取zj1，则n =(-2, -2,1).设m = (xy,z1)为平面GBD的一个法向量，

13、2%2乙=0由m_DC,m_DB得，由于该二面角A -BD -G为锐角,所以所求的二面角 A -BD -G 的余弦值为 20【答案】 解如图，连结A1B2，A.B12，AA2030、2=10、2，A1A2B2是等边三角形，B1A1B2=105 -60 =45，在A1B2B1中，由余弦定理得B1B；2=A1B12A1B2-2A1B1A1B2cos45BD =10、2.a c=3,a-c=1，a=2,c=1,b =3为*=0取乙=1,则m1,1）.-3_ _ _仝60因此乙船的速度的大小为 -20答：乙船每小时航行30 2海里.60 =30、2.21【答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为x y2

14、=1（a b 0）cos : m, n cos : m, n m n n= 202（10込）2-2 2022 2x y “1.43y = kx m(ll)设A(Xi，yJ,B(X2, y?)，由x2y2得1432 2 2(3 4k )x 8mkx 4(m -3) =0,=64m2k2-16(3 4k2)(m2-3) 0,3 4k -m20.28mk4(m -3)x1x22, xix2厂.3 4k23 4k22 2223(m -4k2)y-iy (kx1m) (kx2m) = k mx2mk(x.|x2) m2-3 + 4k以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD- -1,-

15、1,yiy2%x2-2(% x2) 4=0 ,3(m2-4k2) . 4(m2-3) . 16mk .34k23 4k23 4k2，227m 16mk 4k = 0,解得2 k22g = -2k, m2，且满足3 4k - m 0.7当m = -2k时，丨：y =k(x -2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k22当m时，l:y=k(x )，直线过定点(,0).2综上可知，直线丨过定点，定点坐标为(一,0).722【答案】(I)(I)函数f(x) = x2bln(x 1)的定义域为-1,牡辽.1 1灾人行右产弓b.11当b -时，g(x)minb 0，22g(x) =2x22x b 0在

16、-1,：上恒成立.f(x)0,1即当b时，函数f (x)在定义域-1,七 上单调递增。2(II )分以下几种情形讨论：1f (x) =2x2x22x bx +1令g(x) =2x22x b，则g(x)在；，址|上递增，在-1-12上递减,y1y2X1- 2 X2- 2(1)由(I)知当b时函数f (x)无极值点.21/x+R(2) 当b时，f (X)二22-x訂11i 时,2x三1时21 b时，函数21(3) 当b时，2,f (x)0,f (x) 0,f (x)在-1,上无极值点。当b： ： ：0时，x1为-1,:-1- 1_2bf (x) =0得两个不同解x1二211-2b , -1 .2_1 _ 1 _2b ,-1，2X -1,：,此时f (x)在-1,：上有唯一的极小值点X21当0 :：b时，X1,X2三i1,亠i,2f(x)在-1,x1, x2,：都大于 0 ,f(x)在(N,x2)上小于1 J1 2b此时f (x)有一个极大值点x1和一个极小值点0，_1 7 _2bX2一2-112b综上可知，b：0 时，f(x)在-1, ：上有唯一的极小值点