积分对称性定理

1、关于积分对称性定理1、定积分：设 f ( x) 在a,a 上连续，则a0,x 为 X 的奇函-a x dxa-a2 f x dx,0数, X 为 X 的偶2、二重积分：若函数f(x,y)在平面闭区域D上连续，则(1)如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇(或偶)函数，即f(x, y) f(x, y)(或f(x, y) f (x, y) ) ，则二重积分0,f x,y 为 y 的奇函数f x, y dxdy 2 f x, y dxdy, f x,y 为 y 的偶函数D1其中：Di为D满足y 0上半平面区域。(2)如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇(或偶)函数，即 f x,

2、 y f x, y ( 或 f x, y f x, y ) ，则二重积分0,f x, y 为 x 的奇函数 ,f x,ydxdy 2 f x,ydxdy, f x, y 为) 的偶函数 .D2其中：D2为D满足x 0的右半平面区域。如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇(或偶)函数，即卩f ( x, y) f (x,y) ( 或 f ( x, y) f(x,y) ) 则二重积分0, f x,y 为 x,y 的奇函数f x,ydx y2 f xydxy ， f x,y 为 Xy 的偶函数DD2其中：Di为D在y 0上半平面的部分区域。(4)如果积分区域D关于直线y x对称,则二重积

3、分f x, ydxdy f y,x dxdy . ( 二重积分的轮换对称性 )DD(5)如果积分区域D关于直线y x对称,则有f(x y)dxdy5D D0,2 f(x,y)dxdy利用上述性质定理化简二重积分计算时，应注意的是 (1)( 2)( 3)中应同时具有积分域D 对称及被积函数 fx,y 具有奇偶性两个特当 f( y, x) f(x,y) 时 当仁 y, x) f(x,y) 时性。3、三重积分：(1) 若 f X, y,z 为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于 xoy 坐标面对称， 1 为 位于 xoy 坐标面上侧 z 0 的部分区域，贝卩0,f x, y, z为z的奇函数f 儿

4、 y, zcxdydz 2 f x,y,zdxdydz, f x,y,z 为 z 的偶函数1注：f (x, y,z)是z的奇函数:f(x, y z) f (x,y,z)f (x, y,z)是z的偶函数:f(x,y z) f(x, y,z)同样，对于空间闭区域 质。4、曲线积分(第一类)关于 xoz, yoz坐标面对称也有类似的性(1)若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且f x, y在L上为连续函数，Li为L位于y轴右侧的弧段，则0,f x, y为x的奇函数，l f x, y ds 2 f x, y ds, f x, y 为 x 的偶函数.(2) 若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且f x,y在

5、L上为连续函 数，Li为L位于x轴上侧的弧段，则0, f x, y为y的奇函数Lf x,yds 2 f x,yds, f x,y 为 y 的偶函数Li(3) 若L关于直线y x对称，则f(x,y)ds f(y,x)ds其中(3)式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。5、第二类曲线积分(1) 设分段光滑的平面曲线 L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分L!与在下半部分的L2方向相反，则0,P x, y是关于y的偶函数L P X, y dX 2 P x, y dx, P x, y是关于y的奇函数L(2) 设分段光滑的平面曲线 L关于y轴对称，且L在y轴的右半部分L与在左 半部分的L2方向相反则0,P

6、x,y是关于x勺偶函数,l P x, y dx 2 p x, y dx, P x, y是关于x勺奇函数.Li对于积分lQ x,y dy 也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形6、第一类曲面积分：若曲面关于xoy坐标面对称，f x,y,z为上的连续函数，i为位于xoy上侧z 0的部分曲面，贝U0,f x, y,z为Z的奇函数x, y, zdS 2 f x, y, z dS, f x, y,z 为 z 的偶函数1曲面关于yoz,xoz坐标平面对称也有类似的性质。7、第二类曲面积分的对称性设函数P(x, y)z),Q(x)y,z) , R(x, y,z)在分片光滑的曲面上连续，(1)设分片光

7、滑的曲面关于xoy坐标面对称，且 在xoy上半空间的部分曲面i取上侧，在xoy下半空间的部分曲面2取定下侧，则0,R x,y,z关于是偶函数R x, y,z dxdy 2 R x,y,z dxdy, R x,y,z 关于是奇函数1设分片光滑的曲面 关于yoz坐标面对称，且 在yoz前半空间的部分曲面i取前侧，在yoz后半空间的部分曲面2取后侧，则0,P x, y, z关于x是偶函数Px, y, zdxcly 2 P x, y, z cAdz,P x, y, z 关于 x 是奇函数(3) 设分片光滑的曲面 关于xoz坐标面对称，且 在xoz右半空间的部分曲面1取右侧，在xoz左半空间的部分曲面2取左侧，则(4