高二空间向量知识点归纳总结

1、知识要点1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示+同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不变性2. 空间向量的运算：定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)OB = 0A 亠 AB = a 亠 b ； BA = OA - OB = a - b ； OP = a(t.运算律：加法交换律：a b a加法结合律：(a b) a (b c)数乘分配律：(a b)二 a _ xb 运算法那么：三角形法那么、平行四边形法那么a平行于b，记作a/ b3. 共线向量:(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直

2、线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,(2)共线向量定理：空间任意两个向量 a、b ( b工0), a b存在实数入，使a =入b(3)三点共线：A、B、C三点共线 <=> AB 二'AC <=> OC = xOA yOB，其中 x y = 1亠a(4)与a共线的单位向量为 一|a|4. 共面向量 ：(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。片耳4(2)共面向量定理：如果两个向量 a, b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 x, y使。p=xa yb - (3)四点共面：假设 A B、C P

3、 四点共面 <=>AP =xAB ' yAC <=> OP = xOA - yOB ' zOC，其中 x y 15. 空间向量根本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x, y, z，使FF-9-F-*-P-!-*9-f ->p=xa yb zc o假设三向量a,b,c不共面，我们 a,b, c把叫做空间的一个基底，a, b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设0,代B,C是不共面的四点，那么对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x, y, Z，使OP 二 xOA y

4、OB zOC。6. 空间向量的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 0 -xyz中，对空间任一点 A，存在唯一的有序实数组 (x, y, z)，使0A二xi ' yi zk，有序实数组(x, y, z)叫作向量 A在空间直角坐标系 O - xyz中的坐标，记作 A( x, y,z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。注：点A (x,y,z )关于x轴的的对称点为(x,-y,-z), 关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即点关于什么轴/平面对称，什么坐标i, j, k表示。空间中任一向量(2)假设空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正

5、交基底，用+*a 二 xi yj zk =(x, y, z)(3)空间向量的直角坐标运算律： * 假设 a=(ai,a2,a3)，b=(d,b2,b3)，那么 a b=(ai bia?bza? b?)， F+a _b=(aq bi, a 2 -b?, a3- b3)， . a= (. ai,a?, a3)( -R)，f ffa b 二aib azbzasb? , a b：= ai 二 a,a2 二 bz ,a3 = b? (R)a _b = aibia2b2a3b3 =0假设 A(xi, yi,zi)，B(X2，y2，Z2)，那么 AB x“ y? yi,互乙)。一个向量在直角坐标系中的坐标等

6、于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。中点坐标公式：假设A(X1,y1,zJ，B(X2,y2,Z2)，当p为ab中点时，pQ 生上y2,Zi乞) MBC 中，A(Xi，yi,Zi)，B(X2, y2,Z2)，C(X3,y3,Z3)，三角形重心 P 坐标为 P(xxx3 yi * y2 *y3 可 +z2 +Z3(4)模长公式：假设 a = (a1,a2,a3')，2 2 2b2b3f； 222-1aibia2b2a3b3那么 |a匸 a a = aia：aa ，| b| =(5)夹角公式:cos a b孑 322 . a32 ?12 b22 b32aabc中AB AC -

7、 0 <=>A为锐角AB * AC : 0 <=>A为钝角，钝角(6)两点间的距离公式：假设 A(x1, y1,z1)， B(x2, y2,z2)，那么 | AB| =：(X2 -xj2 (y2 - yj2 (Z2 - z,)2，7. 空间向量的数量积:(1 )空间向量的夹角及其表示：两非零向量a,b，在空间任取一点0，作OA =a,OB = b，那么.AOB叫做向量a与b的夹角，记作 a, b ；且规定0 - * a, b -，显然有：a, b =： b, a ；假设：:a,b，那么称a与b2互相垂直，记作：a b。(2)向量的模：设 OA =a，那么有向线段(3 )

8、向量的数量积：向量OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：| a |。a,b , u |ab | co sa b ,叫做a,b的数量积，记作a b，即a b =|a | b | cosa b。(4)空间向量数量积的性质： a b 2ab=0a 二a(5)空间向量数量积运算律： ('a) b (a b) =a ( b)。aa (交换律)。a (b c) =a b a c (分配律)。不满足乘法结合律：(a b) c a (b c).空间向量与立体几何1 线线平行：二 两线的方向向量平行1- 1线面平行：二 线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行：二两面的法向量平行2. 线线垂直共面与异面：二两线的方向向量垂直2- 1线面垂直：二线与面的法向量平行2- 2面面垂直：二两面的法向量垂直3. 线线夹角二共面与异面0°,90°：二 两线的方向向量n 1,门2的夹角或夹角的补角，cos =|cos： m ,n23- 1线面夹角二0°,90°:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，假设为锐角角即可，假设为钝角，那么取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sinv -|cos： AP,n |3- 2面面夹角二面角0°,180°：假设两面的法向量一进一出，那么二面角等于两法向量n 1,n2的夹角；法向量同进