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文档简介
1、2012中考数学压轴题及答案40例(6)21.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8)抛物线yax 2bx过A、C两点(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E 过点E作EFAD于点F,交抛物线于点G当t为何值时,线段EG最长? 连接EQ,在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值解:(1)点A的坐标为(4,8)1分将A(4,8)、C(8,
2、0)两点坐标分别代入yax 2bx,得 解得a,b4抛物线的解析式为yx 24x3分(2)在RtAPE和RtABC中,tanPAE,即PEAPt,PB8t点E的坐标为(4t,8t)2点G的纵坐标为(4t)24(4t)t 285分EGt 28(8t)t 2t0,当4时,线段EG最长为27分共有三个时刻8分t1,t2,t34011分22.如图,抛物线yx 22x3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PFDE交抛物线于点F,设点P的横坐标
3、为mxyDCAOB用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?设BCF的面积为S,求S与m的函数关系式解:(1)A(1,0),B(3,0),C(0,3)2分抛物线的对称轴是:x13分(2)设直线BC的解析式为:ykxb将B(3,0),C(0,3)分别代入得:xyDCAOBFMPE 解得直线BC的解析式为yx3当x1时,y132,E(1,2)当xm时,ym3,P(m,m3)4分将x1代入yx 22x3,得y4,D(1,4)将xm代入yx 22x3,得ym 22m3F(m,m 22m3)5分线段DE422,线段PFm 22m3(m3)m 23m6分PFDE,当P
4、FDE时,四边形PEDF为平行四边形由m 23m2,解得:m12,m21(不合题意,舍去)当m2时,四边形PEDF为平行四边形7分设直线PF与x轴交于点M由B(3,0),O(0,0),可得:OBOMMB3则SSBPF SCPF8分PFBMPFOMPFOB(m 23m)3m 2m(0m3)即S与m的函数关系式为:Sm 2m(0m3)9分23.如图,在矩形OABC中,已知A、C两点的坐标分别为A(4,0)、C(0,2),D为OA的中点设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点O重合)(1)试证明:无论点P运动到何处,PC总与PD相等;(2)当点P运动到与点B的距离最小时,试确定过O、P、D三点的抛物
5、线的解析式;(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点,当点P运动到何处时,PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和PDE的周长;(4)设点N是矩形OABC的对称中心,是否存在点P,使CPN90?若存在,请直接写出点P的坐标解:(1)点D是OA的中点,OD2,ODOC又OP是COD的角平分线,POCPOD45POCPOD,PCPD;3分(2)如图,过点B作AOC的平分线的垂线,垂足为P,点P即为所求易知点F的坐标为(2,2),故BF2,作PMBFPBF是等腰直角三角形,PMBF1点P的坐标为(3,3)抛物线经过原点可设抛物线的解析式为yax 2bx又抛物线经过点P(3,3)和点D(2,0) 解得过
6、O、P、D三点的抛物线的解析式为yx 22x;7分(3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于AOC的平分线的对称点即为C点连接EC,它与AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PEPDEC,而两点之间线段最短),此时PED的周长最小抛物线yx 22x的顶点E的坐标(1,1),C点的坐标(0,2)设CE所在直线的解析式为ykxb则 解得CE所在直线的解析式为y3x2联立,解得,故点P的坐标为(,)PED的周长即是CEDE;11分(4)存在点P,使CPN90,其坐标为(,)或(2,2)14分24.如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重
7、合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD2,AB3(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0t3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示)当t时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由解:(1)因所求抛物线的顶点M的坐标为(2,4)可设其对应的函数关系式为ya(x 2)241分又抛物线经过坐标原点O(0,0),a(02)2402
8、分解得a13分所求函数关系式为y(x 2)24,即yx 24x4分(2)点P不在直线ME上,理由如下:5分根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)设直线ME的解析式为ykxb,将M(2,4),E(4,0)代入,得 解得直线ME的解析式为y2x86分当t时,OAAP,P(,)7分点P的坐标不满足直线ME的解析式y2x8当t时,点P不在直线ME上8分S存在最大值,理由如下:9分点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上,OAAPtP(t,t),N(t,t 24t),ANt 24t(03)PNANAPt 24ttt 23tt(3t)010分()当PN0,即t0或t3时,以点P,N,C,D为顶点的多边
9、形是三角形,此三角形的高为ADSDCAD32311分()当PN0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形PNCD,ADCDS(CDPN)AD(3t 23t)2t 23t3(t)2(0t3)当t时,S最大12分综上所述,当t时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积S有最大值,最大值为13分说明:()中的关系式,当t0和t3时也适合25.如图1,已知抛物线yax 22ax3与x轴交于A、B两点,其顶点为C,过点A的直线交抛物线于另一点D(2,3),且tanBAD1(1)求抛物线的解析式;(2)连结CD,求证:ADCD;(3)如图2,P是线段AD上的动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点E,求线
10、段PE长度的最大值;(4)点Q是抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使以A,D,F,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)如图1,过点D作DHx轴于H,则OH2,DH3tanBAD1,AHDH3,AO3211分A(1,0)2分把A(1,0)代入yax 22ax3,得a2a30a13分抛物线的解析式为yx 22x34分(2)yx 22x3(x1)24C(1,4)5分连结AC,则AD 23 23 218,CD 2(21)2(34)22,AC 2(11)24 220AD 2CD 2AC 2,ACD是直角三角形,且ADC907分ADCD8分(3)设直
11、线AD的解析式为ykxb,把A(1,0),D(2,3)代入求得直线BC的解析式为yx19分设点P的横坐标为x,则P(x,x1),E(x,x 22x3)点P在点E的上方EP(x1)(x 22x3)x 2x2(x)210分当x时,线段PE长度的最大值12分(4)存在,点F的坐标分别为F1(3,0),F2(1,0),F3(,0),F4(,0)16分关于点F坐标的求解过程(原题不作要求,本人添加,仅供参考)如图3若四边形ADQ1F1为平行四边形,则AF1DQ1,DQ1AF1点Q1的纵坐标为3,代入yx 22x3,得x 22x33,x10,x22D(2,3),Q1(0,3),DQ12,AF12F1(3,
12、0)若四边形AF2DQ2为平行四边形,同理可得F2(1,0)若四边形AQ3F3D为平行四边形,则AQ3DF3点Q3的纵坐标为3,代入yx 22x3,得x 22x33,x3,x41(),OF32()F3(,0)若四边形AQ4F4D为平行四边形,则OF4()()()F4(,0)26.已知二次函数yax 2bxc(a0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,2),直线xm(m2)与x轴交于点D(1)求二次函数的解析式;(2)在直线xm(m2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);(3)在(2)成立的条件
13、下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由解:(1)二次函数yax 2bxc的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,2) 解得二次函数的解析式yx 23x22分(2)当EDBAOC时,有或AO1,CO2,BDm2当时,得,ED点E在第四象限,E1(m,)4分当时,得,ED2m4点E在第四象限,E2(m,42m)6分(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EFAB1,点F的横坐标为m1当点E1的坐标为(m,)时,点F1的坐标为(m1,)点F1在抛物线的图象上,(m1)23(m1)22
14、m 211m140,解得m1,m22(不合题意,舍去)F1(,)SABEF 19分当点E2的坐标为(m,42m)时,点F2的坐标为(m1,42m)点F2在抛物线的图象上,42m(m1)23(m1)2m 27m100,解得m15,m22(不合题意,舍去)F2(4,6)SABEF 16612分注:其它解法可参照评分标准给分27.已知:t1,t2是方程t 22t240,的两个实数根,且t1t2,抛物线yx 2bxc的图象经过点A(t1,0),B(0,t2)(1)求这个抛物线的解析式;(2)设点P(x,y)是抛物线上一动点,且位于第三象限,四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形,求OPAQ的面积S与之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;(3)在(2)的条件下,当OPAQ的面积为24时,是否存在这样的点P,使OPAQ为正方形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,说明理由解:(1)由t 22t240,解得t16,t241分t1t2,A(6,0),B(0,4)2分抛物线yx 2bxc的图象经过点A,B两点 解得这个抛物线的解析式为yx 2x44分(2)点P(x,y)在抛物线上,且位于第三象限,y0,即y0又S2SAPO2| OA| y | OA| y |6| y |S6y6分6(x 2x4)4(x 27x6)4(x)2257分令y0,则x 2x40,解得x16,x21抛物线与x轴的交点
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