清华大学大学物理转动定律转动惯量

1、主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量 问：问：在质点问题中，我们将物体所受的力均作在质点问题中，我们将物体所受的力均作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用于同一点，并仅考虑力的大小和方向所产生的作用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理用；在刚体问题中，我们是否也可以如此处理？力力的作用点的位置对物体的运动有影响吗的作用点的位置对物体的运动有影响吗？0,0iiMF圆盘静止不动圆盘静止不动0,0iiMF圆盘绕圆心转动圆盘绕圆心转动FFFF

2、力矩力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量Pz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动平面内且在转动平面内, 为由点为由点O 到力的作用点到力的作用点 P 的径的径矢矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M主讲主讲 王新练王新练大学物

3、理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsinz rFMzFF 1）若力若力 不在转动平面内，可把力分解为不在转动平面内，可把力分解为平行于和垂直于转轴方向的两个分量平行于和垂直于转轴方向的两个分量 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力矩为对转轴的力矩为零，故力对转轴的力矩零，故力对转轴的力矩zF主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南

4、城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量3） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM 结论结论：刚体内各质点间的：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零作用力对转轴的合内力矩为零.0ijMM主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量z二二 转动定律转动定律mramFiitt)(2)(iiirmMiiiiir

5、amFrMtt)(imirOitFra t22)()(iiiiirmrmMM 转动定律转动定律JM 2iirmJ 转动惯量转动惯量主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量 转动惯量物理转动惯量物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度. 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量mrrmJiiid22质量元质量元:md 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正成正比比 ，与刚体的，与刚体的转动惯

6、量转动惯量成反比成反比 . 转动定律转动定律JM 2iirmJ 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置形状及转轴的位置.注意注意主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量lO Ordr 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的处的质量元质量元 rrmddrrmrJddd22 讨论：讨论： 一质量为一质量为 m 、长为、长为 l 的均匀细长棒，与棒的均匀细长棒，与棒垂直

7、的轴的位置不同，转动惯量的变化垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化 .rd2l2lO O20231dmlrrJl转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒22/02121d2mlrrJl转轴过中心垂直于棒转轴过中心垂直于棒主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理

8、系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量解：解：1） 分析受力分析受力 例例1 1 如图如图, , 有一半径为有一半径为 R R 质量为质量为 的匀质圆盘的匀质圆盘, , 可绕通过盘心可绕通过盘心 O O 垂直盘面的水平轴转动垂直盘面的水平轴转动. . 转轴与圆盘之转轴与圆盘之间的摩擦略去不计间的摩擦略去不计. . 圆盘上绕有轻而细的绳索圆盘上绕有轻而细的绳索, , 绳的一绳的一端固定在圆盘上端固定在圆盘上, , 另一端系质量为另一端系质量为 m m 的物体的物体. . 试求物体试求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度下

9、落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. . mRommy yRoTmPTm2）选取坐标选取坐标 注意：注意：转动和平转动和平动的坐标取向要一致动的坐标取向要一致.主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量) 2(2mmmgay) 2/(mmmgmT) 2(2RmmmgRommy yRoTmPTm3）列方程（用文字式）列方程（用文字式）ymaTmg牛顿第二定律（质点）牛顿第二定律（质点）JRT转动定律（刚体）转动定律（刚体）2/2RmJ 转动惯量转动

10、惯量 先先文字计算求解，文字计算求解，后后代入数据求值代入数据求值.Ray约束条件约束条件TT主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量 例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘, 以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动. .若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗称刹车片俗称刹车片) )挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘, ,故而有正压故而有正压力力N N

11、均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上, , 从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢. .设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出. .试试问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动? ? 解解: 在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元, 面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩大小大小rlRNrFrfddd20rl drdfFd刹车片刹车片主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物

12、理转动定律转动惯量面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩rlRNrFrfddd2圆环所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩22202d2ddddRrNrlRrNrFrMrf圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩NRRrNrMMR32d2d022圆盘角加速度圆盘角加速度MRNJM43NmRt0043停止转动需时停止转动需时0rl drdfFdR主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量 例例3 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与

13、一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动. 由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21ml2loPNF主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数

14、理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分代入初始条件积分 得得)cos1 (3lgJmglsin21ml2loPNF主讲主讲 王新练王新练大学物理教程（第二版）大学物理教程（第二版）河南城建学院数理系河南城建学院数理系4 2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量清华大学大学物理转动定律转动惯量CgmfFCaNxy* * 例例4 如图一斜面长如图一斜面长 l = 1.5m, 与水平面的夹角与水平面的夹角 = 5o. 有两个物体分别静止地位于斜面的顶端有两个物体分别静止地位于斜面的顶端, 然后由顶端沿然后由顶端沿斜面向下滚动斜面向下滚动, 一个物体是质量一个物体是质量 m1 = 0.65kg、半径为、半径为R1 的实心圆柱体的实心圆柱体, 另一物体是质量为另一物体是质量为 m2 = 0.13 kg 、半径、半径 R2 = R1 = R 的薄壁圆柱筒的薄壁圆柱筒. 它们分别由斜面顶端滚到斜它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间面底部各经历多长时间? 解解: 物体由斜面物体由斜面顶端滚下顶端滚下, 可视为质可视为质心的平动和相对质心心的平动和相对质心的滚动两种运动合成的