2011年圆锥曲线

1、 2011年高考试题解析数学（文科）分项版10 圆锥曲线一、选择题:1. （2011年高考山东卷文科9)设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是 (A)(0，2) (B)0，2 (C)(2，+) (D)2，+)【答案】C6.（2011年高考浙江卷文科9)已知椭圆（ab0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则（A） （B） （C） (D) 【答案】 C【解析】：由恰好将线段AB三等分得由又，故选C.7. (2011年高考天津卷文科6)已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且

2、双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,选B.8. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I上存在点P满足：= 4:3:2，则曲线I的离心率等于A. B. C. D. 【答案】A【解析】由：= 4:3:2，可设,若圆锥曲线为椭圆,则,;若圆锥曲线为双曲线,则,故选A.9. （2011年高考四川卷文科11)在抛物线y=x2+ax-5(a0)上取横坐标为

3、x1=-4,x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)10. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 （A） （B） (C) (D) 【答案】C【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C11（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）A4 B3 C2 D1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。12（2011年高考湖北卷文科4)将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛

4、物线焦点的正三角形个数记为n，则A.B.C.D.答案：C解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设 ，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得>0，故有两个正三角形，可知选C.13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，AB是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 (A) (B)1 (C) (D) 答案： C解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m+n+= m+n+=3，故m+n=，故线段AB的中点到y轴的距离为。二、填空题：14. （2011年高考山东卷文科1

5、5)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .16. （2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.17.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、

6、右焦点，点AC，点M的坐标为(2，0)，AM为F1AF2的平分线则|AF2| = .【答案】6【解析】：，由角平分线的性质得又 18（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为A B C D，【答案】B三、解答题：18. （2011年高考山东卷22)（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（）求的最小值；（）若，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.【

7、解析】（）由题意:设直线,由消y得:,设A、B,AB的中点E,则由韦达定理得: =,即,所以中点E的坐标为E,因为O、E、D三点在同一直线上，所以，即，解得，所以=,当且仅当时取等号,即的最小值为2.（）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,

8、所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.19. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值【解析】（1）直线AB的方程是 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：（2） 由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得.21（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点

9、到轴的距离的等等于1（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为由，得设则是上述方程的两个实根，于是 因为，所以的斜率为设则同理可得故当且仅当即时，取最小值1622. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: 过点（0，4），离心率为（）求C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解：（）将（0，4）代入C的方程得 b=4又 得即， 

10、; C的方程为（ ）过点且斜率为的直线方程为，设直线与的交点为，将直线方程代入的方程，得，即，解得， AB的中点坐标， ，即中点为。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。24.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足()证明：点P在C上；（）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】()证明：由，由设，故点P在C上（）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.法二：由已知有

11、则的中垂线为：设、的中点为则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为到直线的距离为即、四点在同一圆上。27. (2011年高考天津卷文科18)（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.（）求椭圆的离心率;()设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.【解析】（）设，（），因为，所以，整理得，即，解得.()由（）知,可得椭圆方程为,直线的方程为,A,B两点坐标满足方程组,消y整理得,解得或,所以A,B两点坐标为,所以由两点间距离公式得|AB|=,于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离,因为,所以,解得,所以椭圆方程为.NMPAx

12、yBC28. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PAPB【解析】（1）因为、,所以MN的中点坐标为(-1,),又因为直线PA平分线段MN，所以k的值为(2)因为k=2,所以直线AP的方程为,由得交点P()、A(),因为PCx轴，所以C（)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为，所以点P到直线AB的距离d

13、=.（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,两式相减得：,.29. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分)如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C1交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO/AN,并说明理由.解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设。设直线分别和C1，C2

14、联立，求得。当时，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知|BC|:AD|= （II）t=0时的l不符合题意，t0时，BO/AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得。因为，又，所以，解得。所以当时，不存在直线l，使得BO/AN；当时，存在直线l使得BO/AN。30.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆上.（方法）与的交点p的（x,y）满足：，从而，代入得，整理得所以与的交点p的（x,y）在椭圆上【解题指导】：两直线的位置关系判定方法：（1）（2）（3）证明两数不等可采用反证法的思路。点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判