合情推理与演绎推理

1、合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理13.3 13.3 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理要点梳理要点梳理1.1.合情推理主要包括合情推理主要包括 和和 . . 合情推理的过程合情推理的过程从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、类比归纳、类比提出猜想提出猜想归纳推理归纳推理类比推理类比推理基础知识基础知识 自主学习自主学习合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理（1 1）归纳推理：由某类事物的）归纳推理：由某类事物的 具有某些具有某些特征，推出该类事物的特征，推出该类事物的 都具有这些特征都具有这些特征的推理，或者由的推理，或者由 概括出概括出 的推理的推

2、理, ,称为归纳推理（简称归纳）称为归纳推理（简称归纳）. .简言之，归纳推理是简言之，归纳推理是由由 到到 、由个别到、由个别到 的推理的推理. .归纳推理的基本模式归纳推理的基本模式: : ， 结论结论: :d dMM，d d也具有某属性也具有某属性. .（2 2）类比推理：由）类比推理：由 具有某些类似特征和具有某些类似特征和其中其中 的某些已知特征，推出的某些已知特征，推出 也也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比），具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比），简言之，类比推理是由简言之，类比推理是由 的推理的推理. .a a、b b、c cMM且且a a、b b、c c具有具有某

3、属性某属性两类对象两类对象一类对象一类对象另一类对象另一类对象特殊到特殊特殊到特殊部分对象部分对象全全部对象部对象个别个别事实事实一般结论一般结论部分部分整体整体一般一般合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 类比推理的基本模式类比推理的基本模式: :A A: :具有属性具有属性a a, ,b b, ,c c, ,d d； B B:_:_ ； 结论结论: :B B具有属性具有属性d d. （a a, ,b b, ,c c, ,d d与与a a,b b,c c,d d相似或相同）相似或相同）2.2.演绎推理：从演绎推理：从 的原理出发，推出某个的原理出发，推出某个 的结论，我们把这种推理称为演绎推

4、理的结论，我们把这种推理称为演绎推理. . 简言之，演绎推理是由简言之，演绎推理是由 到到 的推理的推理. .具有属性具有属性a a,b b,c c一般性一般性特特殊情况下殊情况下一般一般特殊特殊合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理（1 1）“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论根据一般原理根据一般原理, ,对特殊情况做出的判断对特殊情况做出的判断. .（2 2）“三段论三段论”可以表示为可以表示为大前提：大前提：MM是是P P；小前提：小前提：S S是是MM；

5、结论：结论：S S是是P P. .用集合说明：即若集合用集合说明：即若集合MM的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P P，S S是是MM的一个子集，那么的一个子集，那么S S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P P. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理基础自测基础自测1.1.下面几种推理是合情推理的是下面几种推理是合情推理的是( )( ) 由圆的性质类比出球的有关性质；由圆的性质类比出球的有关性质； 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的 内角和是内角和是180180，归纳出所有三角形的内角和都，归纳出所有三角形的内角和都 是是18018

6、0； 张莉某次考试成绩是张莉某次考试成绩是100100分，由此推出全班同分，由此推出全班同 学的成绩都是学的成绩都是100100分；分； 三角形内角和是三角形内角和是180180, ,四边形内角和是四边形内角和是360360, , 五边形内角和是五边形内角和是540540，由此得凸，由此得凸n n边形内角和边形内角和 是（是（n n-2-2）180180. . A. A. B. B. C. C. D. D. 解析解析 是类比推理，是归纳推理，是归纳是类比推理，是归纳推理，是归纳 推理，所以为合情推理推理，所以为合情推理. .C合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.2.下面几种推理过程是演绎推

7、理的是下面几种推理过程是演绎推理的是( )( ) A. A.两条直线平行两条直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补, ,如果如果A A和和B B 是两条平行直线的同旁内角是两条平行直线的同旁内角, ,则则A A+B B=180=180 B. B.某校高三某校高三(1)(1)班有班有5555人人,(2),(2)班有班有5454人人,(3),(3)班有班有 5252人，由此得高三所有班人数超过人，由此得高三所有班人数超过5050人人 C.C.由平面三角形的性质由平面三角形的性质, ,推测空间四边形的性质推测空间四边形的性质 D.D.在数列在数列 a an n 中，中，a a1 1=1=1， （n

8、n22），由此归纳出），由此归纳出 a an n 的通项公式的通项公式 解析解析 两条直线平行，同旁内角互补两条直线平行，同旁内角互补 大前提大前提 A A与与B B是两条平行直线的同旁内角是两条平行直线的同旁内角 小前提小前提 A A+B B=180=180 结论结论)1(2111nnnaaaA合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理3.3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆某同学在电脑上打下了一串黑白圆, ,如图所示如图所示, , ，按这种规律，按这种规律 往下排，那么第往下排，那么第3636个圆的颜色应是个圆的颜色应是( )( ) A. A.白色白色 B.B.黑色黑色 C.C.白色可能性大白色可

9、能性大 D.D.黑色可能性大黑色可能性大 解析解析 由图知，图形是三白二黑的圆周而复始由图知，图形是三白二黑的圆周而复始 相继排列，是一个周期为相继排列，是一个周期为5 5的三白二黑的圆列，的三白二黑的圆列， 因为因为36365=75=7余余1 1，所以第，所以第3636个圆应与第个圆应与第1 1个圆颜个圆颜 色相同，即白色色相同，即白色. .A合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理4.4.给出下列三个类比结论给出下列三个类比结论. . ( (abab) )n n= =a an nb bn n与与( (a a+ +b b) )n n类比类比, ,则有则有( (a a+ +b b) )n n= =

10、a an n+ +b bn n; ; logloga a( (xyxy)=log)=loga ax x+log+loga ay y与与sin(sin(+ +) )类比，则类比，则 有有sin(sin(+ +)=sin )=sin sin sin ; ; ( (a a+ +b b) )2 2= =a a2 2+2+2abab+ +b b2 2与与( (a a+ +b b) )2 2类比，则有类比，则有( (a a+ +b b) )2 2 = =a a2 2+2+2a ab b+ +b b2 2. . 其中结论正确的个数是其中结论正确的个数是( )( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B

11、.1 C.2 D.3 解析解析 正确正确. .B合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理5.5.若数列若数列 a an n 中，中，a a1 1=1,=1,a a2 2=3+5,=3+5,a a3 3=7+9+11,=7+9+11,a a4 4=13+=13+ 15+17+19 15+17+19，则，则a a8 8= = . . 解析解析 由由a a1 1, ,a a2 2, ,a a3 3, ,a a4 4的形式可归纳，的形式可归纳， 1+2+3+4+7=1+2+3+4+7= a a8 8的首项应为第的首项应为第2929个正奇数，即个正奇数，即2 229-1=57.29-1=57. a a8 8

12、=57+59+61+63+65+67+69+71=57+59+61+63+65+67+69+71 ,282)71 (7.5122)7157(8512512合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理题型一题型一 归纳推理归纳推理 在数列在数列 a an n 中中, ,a a1 1=1,=1,a an n+1+1= = n nN N* *, , 猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？ 请说明理由请说明理由. . 根据已知条件和递推关系根据已知条件和递推关系, ,先求出数先求出数 列的前几项列的前几项, ,然后总结归纳其中的规律然后总结归纳其中的规律, ,写出其写

13、出其 通项公式通项公式. . 解解 在在 a an n 中中, ,a a1 1=1,=1,a a2 2= = 所以猜想所以猜想 a an n 的通项公式的通项公式,22nnaa,322211aa,5222,422122334223aaaaaa.12nan思思维维启启迪迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理这个猜想是正确的，证明如下这个猜想是正确的，证明如下: :.12,212121) 1(11,21,111,2111,211221,22, 111111nannaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnn所以通项公式所以为公差的等差数列为首项是以所以数列即

14、所以因为合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 通过归纳推理得出的结论可能正确通过归纳推理得出的结论可能正确, ,也也可能不正确可能不正确, ,它的正确性需通过严格的证明它的正确性需通过严格的证明, ,猜想猜想所得结论可用演绎推理给出证明所得结论可用演绎推理给出证明, ,虽然由归纳推理虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的所得出的结论未必是正确的, ,但它所具有的由特殊但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于科学的到一般、由具体到抽象的认识过程，对于科学的发明是十分有用的发明是十分有用的. .通过观察实验，对有限的资料通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是

15、数学作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1 1）通过观察个别情况发现某些相同的性质；）通过观察个别情况发现某些相同的性质；（2 2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）般性命题（猜想）. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理知能迁移知能迁移1 1 设设 先分别求先分别求f f(0)+(0)+f f(1),(1), f f(-1)+(-1)+f f(2),(2),f f(-2)+(-2)+f f(3),(3),然后归纳猜想一般性结然后归纳猜想一般

16、性结 论，并给出证明论，并给出证明. . 解解 并注意到在这三个特殊式子中并注意到在这三个特殊式子中, ,自变量之和均等自变量之和均等 于于1.1.归纳猜想得归纳猜想得: :当当x x1 1+ +x x2 2=1=1时时, ,均有均有f f( (x x1 1)+)+f f( (x x2 2) ),331)(xxf331331) 1 ()0(10 ff,33)3()2(,33)2() 1(:,33633213331311ffff同理可得.33合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理证明：设证明：设x x1 1+ +x x2 2=1,=1,.33)3233(3323332)33(332333)33(3

17、33233)33)(33()33()33(331331)()(2121212121212121212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxf合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理题型二题型二 类比推理类比推理 在在RtRtABCABC中，中，ABABACAC，ADADBCBC于于D D， 求证：求证： 那么在四面体那么在四面体A ABCDBCD 中，类比上述结论中，类比上述结论, ,你能得到怎样的猜想？并说明你能得到怎样的猜想？并说明 理由理由. . 首先利用综合法证明结论正确，然后首先利用综合法证明结论正确，然后 依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想依据直角三角形与四面体之间

18、形状的对比猜想 结论，并予以证明结论，并予以证明. .,111222ACABAD合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理解解 如图所示，由射影定理知如图所示，由射影定理知ADAD2 2= =BDBDDCDC，ABAB2 2= =BDBDBCBC，ACAC2 2= =BCBCDCDC，:,.111.111,.11222222222222222222猜想类比所以又BCADACABACABADACABACABACABADACABBCACABBCBCDCBCBDBCDCBDAD四面体四面体A ABCDBCD中，中，ABAB、ACAC、ADAD两两垂直两两垂直, ,图图合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理如

19、图，连接如图，连接BEBE交交CDCD于于F F，连接连接AFAF. .ABABACAC，ABABADAD，ABAB平面平面ACDACD. .而而AFAF平面平面ACDACD，ABABAFAF，在在RtRtABFABF中，中，AEAEBFBF.1111,2222ADACABAEBCDAE则平面.1111111,Rt.1112222222222故猜想正确中在ADACABAE，ADACAFCDAFACDAFABAE图图合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 类比推理是根据两个对象有一部分属类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的

20、一种推理方法推理方法. .例如分式与分数类比、平面几何与立体例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等几何的某些对象类比等. .当然类比时有可能出现当然类比时有可能出现错误，如：在平面内，直线错误，如：在平面内，直线a a、b b、c c，若，若a ab b，b bc c，则则a ac c；在空间内，三个平面；在空间内，三个平面、，若若, ,，但，但与与之间可能平行，也可之间可能平行，也可能相交能相交. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理知能迁移知能迁移2 2 已知已知O O是是ABCABC内任意一点内任意一点, ,连结连结AOAO、 BOBO、COCO并延长交对边于并延长交对

21、边于A A,B B,C C,则则 这是一道平面几何题，其这是一道平面几何题，其 证明常采用证明常采用“面积法面积法”. . 请运用类比思想，对于空间中的四面体请运用类比思想，对于空间中的四面体V VBCDBCD， 存在什么类似的结论？并用体积法证明存在什么类似的结论？并用体积法证明. . 证明证明 在四面体在四面体V VBCDBCD中，任取一点中，任取一点O O, ,连结连结VOVO、 DODO、BOBO、COCO并延长分别交四个面于并延长分别交四个面于E E、F F、G G、 H H点，点，, 1CCCOBBBOAAAO, 1ABCABCABCOABABCOCAABCOBCSSSSSSSSC

22、CCOBBBOAAAO合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理. 1,;:,3131, 111BCDVBCDVBCDVVBDOVCDOVBCOBCDOVBDCVBDOVCDBVCDOVBCDVBCOBCDVBCDOBCDBCDVVVVVVVCHOHBGOGDFOFVEOEVVCHOHVVBGOGVVDFOFVVhShShhVEOEBCDVBCDOCHOHBGOGDFOFVEOE同理有中与在四面体则合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理题型三题型三 演绎推理演绎推理 （1212分）（分）（1 1）证明函数）证明函数f f( (x x)=-)=-x x2 2+2+2x x在在 （-，1 1上是增函数；上

23、是增函数； （2 2）判断函数）判断函数f f（x x）在区间）在区间-5-5，-2-2上的单上的单 调性，并加以说明调性，并加以说明. . （1 1）证明本题的大前提是增函数的）证明本题的大前提是增函数的 定义，即增函数定义，即增函数f f( (x x) )满足满足: :在给定区间内任取自在给定区间内任取自 变量的两个值变量的两个值x x1 1, ,x x2 2，且，且x x1 1 x x2 2, ,f f( (x x1 1)f f( (x x2 2),),小前提小前提 是函数是函数f f（x x）=-=-x x2 2+2+2x x，x x（-，1 1，结论是，结论是 满足增函数定义满足增函

24、数定义. . （2 2）关键是看）关键是看-5-5，-2-2与与f f（x x）的增区间或减）的增区间或减 区间的关系区间的关系. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理解解 （1 1）方法一方法一 任取任取x x1 1, ,x x2 2（-，1 1, ,x x1 1 x x2 2, ,则则f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)=()=(x x2 2- -x x1 1)()(x x2 2+ +x x1 1-2), 2-2), 2分分x x1 1 x x2 21,1,x x2 2+ +x x1 1-20,-20,f f( (x x1 1)-)-f f( (x x2 2)0,)

25、0,f f( (x x1 1)f f( (x x2 2), 4), 4分分于是，根据于是，根据“三段论三段论”可知，可知，f f( (x x)=-)=-x x2 2+2+2x x在（在（-，1 1上是增函数上是增函数. 8. 8分分方法二方法二 f f(x x)=-2)=-2x x+2=-2(+2=-2(x x-1), 2-1), 2分分当当x x(-,1)(-,1)时，时，x x-10,-2(-10,-1)0,f f(x x)0)0在在x x(-,1)(-,1)上恒成立上恒成立. 6. 6分分故故f f( (x x) )在在(-(-，1 1上是增函数上是增函数. 8. 8分分合情推理与演绎推

26、理合情推理与演绎推理(2)(2)f f( (x x) )在（在（-，1 1上是增函数，上是增函数， 9 9分分而而-5-5，-2-2是区间（是区间（-，1 1的子区间，的子区间， 1111分分f f（x x）在）在-5-5，-2-2上是增函数上是增函数. 12. 12分分 三段论推理的依据用集合论的观点来讲三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合就是：若集合MM的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P P，S S是是MM的的子集，那么子集，那么S S中所有元素都具有性质中所有元素都具有性质P P. .三段论推理三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提中包含三个判断：第一个判断称为

27、大前提, ,它提供它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提了一个一般的原理；第二个判断叫小前提, ,它指出它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来了一个特殊情况；这两个判断联合起来, ,揭示了一揭示了一般原理和特殊情况的内在联系般原理和特殊情况的内在联系, ,从而产生了第三个从而产生了第三个判断：结论判断：结论. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理知能迁移知能迁移3 3 已知函数已知函数 （x xR R），）， （1 1）判定函数）判定函数f f（x x）的奇偶性；）的奇偶性； （2 2）判定函数）判定函数f f（x x）在）在R R上的单调性，并证明上的单调性，并证明. . 解解 （1

28、 1）对）对x xR R有有- -x xR R， 所以所以f f（x x）是奇函数）是奇函数. . （2 2）f f( (x x) )在在R R上单调递增，证明如下：上单调递增，证明如下： 任取任取x x1 1, ,x x2 2R R，并且，并且x x1 1 x x2 2, ,1212)(xxxf),(121221211212)(xfxfxxxxxx并且12121212)()(221121xxxxxfxf合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理.) 12)(12()22(2) 12)(12() 12)(12() 12)(12(2121211221xxxxxxxxxxx x1 1 x x2 2,2,

29、2x x1 122x x2 20,0,即即2 2x x1 1-2-2x x2 20,0,又又2 2x x1 1+10,2+10,2x x2 2+10.+10.f f( (x x1 1)f f( (x x2 2).).f f( (x x) )在在R R上为单调递增函数上为单调递增函数. . 0) 12)(12()22(22121xxxx合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法与技巧方法与技巧1.1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理合情推理主要包括归纳推理和类比推理. .数学研数学研 究中究中, ,在得到一个新结论前在得到一个新结论前, ,合情推理能帮助猜合情

30、推理能帮助猜 测和发现结论测和发现结论, ,在证明一个数学结论之前在证明一个数学结论之前, ,合情合情 推理常常能为证明提供思路与方向推理常常能为证明提供思路与方向. .2.2.合情推理的过程概括为合情推理的过程概括为: :从具体问题出发从具体问题出发观察、分析、比较、联想观察、分析、比较、联想归纳、类比归纳、类比提出猜想提出猜想合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理3.3.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊 情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推 理，常用的一般模式是三段论理，常用的一般模式是三段论. .数

31、学问题的证明数学问题的证明 主要通过演绎推理来进行主要通过演绎推理来进行. .4.4.合情推理仅是合情推理仅是“合乎情理合乎情理”的推理，它得到的的推理，它得到的 结论不一定正确结论不一定正确. .但合情推理常常帮助我们猜测但合情推理常常帮助我们猜测 和发现新的规律和发现新的规律, ,为我们提供证明的思路和方法为我们提供证明的思路和方法. . 而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理 形式都正确的前提下）形式都正确的前提下）. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理失误与防范失误与防范1.1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发合情推理是从已知的结论

32、推测未知的结论，发 现与猜想的结论都要经过进一步严格证明现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. .2.2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证 明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，明和推理数学问题，注意推理过程的严密性， 书写格式的规范性书写格式的规范性. .3.3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜 想或拓展依据想或拓展依据. .合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理一、选择题一、选择题1.1.下面使用类比推理恰当的是下面使用类比推理恰当的是 ( )( ) A.“ A.“若若a a3=3=b b33，

33、则，则a a= =b b”类推出类推出“若若a a00 = =b b00，则，则a a= =b b” B.“( B.“(a a+ +b b) )c c= =acac+ +bcbc”类推出类推出“ ”“ ” C.“(C.“(a a+ +b b) )c c= =acac+ +bcbc”类推出类推出“ “ ( (c c0)”0)” D.“ D.“（abab）n n= =a an nb bn n”类推出类推出“（a a+ +b b）n n= =a an n+ +b bn n” 解析解析 由类比推理的特点可知由类比推理的特点可知. .cbcacbacbcacbaC定时检测定时检测合情推理与演绎推理合情推

34、理与演绎推理2.2.（20092009湖北文，湖北文，1010）古希腊人常用小石头在古希腊人常用小石头在 沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：沙滩上摆成各种形状来研究数，比如： 他们研究过图（他们研究过图（1 1）中的）中的1 1，3 3，6 6，1010，由，由 于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理类似的，称图（类似的，称图（2 2）中的）中的1 1，4 4，9 9，1616，这样的这样的数为正方形数数为正方形数. .下列数中既是三角形数又是正方形数的是下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) ( ) A

35、.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378解析解析 设图（设图（1 1）中数列）中数列1,3,6,10,1,3,6,10,的通项公式的通项公式为为a an n, ,其解法如下其解法如下：a a2 2- -a a1 1=2,=2,a a3 3- -a a2 2=3,=3,a a4 4- -a a3 3=4,=4,a an n- -a an n-1-1= =n n. .故故a an n- -a a1 1=2+3+4+=2+3+4+n n, ,而图（而图（2 2）中数列的通项公式为）中数列的通项公式为b bn n= =n n2

36、2, ,因此所给的因此所给的选项中只有选项中只有1 2251 225满足满足.2) 1( nnan.2251352504923549baC合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理3.3.给出下面类比推理命题给出下面类比推理命题( (其中其中Q Q为有理数集为有理数集, ,R R为实数为实数 集集, ,C C为复数集为复数集):): “若若a a, ,b bR R, ,则则a a- -b b=0=0a a= =b b”类比推出类比推出“若若 a a, ,b bC C，则，则a a- -b b=0=0a a= =b b”； “若若a a, ,b b, ,c c, ,d dR R, ,则复数则复数a a

37、+ +b bi=i=c c+ +d di ia a= =c c, ,b b= =d d” ” 类比推出类比推出“若若a a, ,b b, ,c c, ,d dQ Q，则，则a a+ +b b = =c c+ +d d a a= =c c, ,b b= =d d”;”; 若若“a a, ,b bR R，则，则a a- -b b00a a b b”类比推出类比推出“若若 a a, ,b bC C，则，则a a- -b b00a a b b”.”.其中类比结论正确的个其中类比结论正确的个 数是数是( )( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A.0 B.1 C.2 D.3 解析解析 正确，错误正确，

38、错误. .因为两个复数如果不全因为两个复数如果不全 是实数，不能比较大小是实数，不能比较大小. .22C合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理4.4.（20092009山东理，山东理，1010）定义在定义在R R上的函数上的函数f f( (x x) )满足满足 则则f f(2 009)(2 009)的值的值 为为( )( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 A.-1 B.0 C.1 D.2 解析解析 当当x x0 0时，时，f f( (x x)=)=f f( (x x-1)-1)-f f( (x x-2),-2), f f( (x x+1)=+1)=f f( (x x)-)-f f( (x x

39、-1).-1). f f( (x x+1)=-+1)=-f f( (x x-2)-2)，即，即f f( (x x+3)=-+3)=-f f( (x x) ) f f( (x x+6)=+6)=f f( (x x).). 即当即当x x0 0时，函数时，函数f f( (x x) )的周期是的周期是6.6. 又又f f(2 009)=(2 009)=f f(334(3346+5)=6+5)=f f(5),(5), 由已知得由已知得f f(-1)=log(-1)=log2 22=12=1，f f(0)=0,(0)=0,f f(1)=(1)=f f(0)-(0)-f f(-1)=(-1)= -1, -

40、1,f f(2)=(2)=f f(1)-(1)-f f(0)=-1,(0)=-1,f f(3)=(3)=f f(2)-(2)-f f(1)=-1-(-1)=0,(1)=-1-(-1)=0, f f(4)=(4)=f f(3)-(3)-f f(2)=0-(-1)=1,(2)=0-(-1)=1,f f(5)=(5)=f f(4)-(4)-f f(3)=1.(3)=1., 0),2() 1(, 0),1 (log)(2xxfxfxxxfC合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理5.5.定义定义A A* *B B，B B* *C C，C C* *D D，D D* *A A的运算分别对应下图的运算分别对应下

41、图 中的中的(1)(1)、(2)(2)、(3)(3)、(4)(4)，那么下图中的，那么下图中的(A)(A)、(B)(B) 所对应的运算结果可能是所对应的运算结果可能是 ( )( ) A. A.B B* *D D, ,A A* *D D B.B.B B* *D D, ,A A* *C C C. C.B B* *C C, ,A A* *D D D.D.C C* *D D, ,A A* *D D合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理解析解析 由（由（1 1）（）（2 2）（）（3 3）（）（4 4）图得）图得A A表示表示| |，B B表表示，示，C C表示表示，D D表示，故图（表示，故图（A A）

42、（）（B B）表示）表示B B* *D D和和A A* *C C. .答案答案 B B合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理6.6.设设 又记又记f f1 1( (x x)=)=f f( (x x),),f fk k+1+1( (x x)=)=f f( (f fk k( (x x),), k k=1,2,=1,2,则则f f2 0092 009( (x x) )等于等于 ( )( ) A. B. A. B.x x C. D. C. D. 解析解析 ,11)(xxxfx111xxxx11,1111111)11()(2xxxxxxxfxf计算.11)(,11)(,11)()(,111111)(,11

43、1111)1()(0092141543xxxfkxxxfxxxfxfxxxxxxfxxxxxfxfk从而归纳得*ND合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理二、填空题二、填空题7.7.考察下列一组不等式：考察下列一组不等式： 2 23 3+5+53 3222 25+255+252 2, , 2 24 4+5+54 4223 35+255+253 3, , 2 25 5+5+55 5223 3552 2+2+22 2553 3,.,. 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的 特

44、例，则推广的不等式可以是特例，则推广的不等式可以是 . . 注：填注：填2 2m m+ +n n+5+5m m+ +n n22m m5 5n n+2+2n n5 5m m( (m m, ,n n为正整数为正整数) )也对也对. .a am+nm+n+b+bm+nm+naam mb bn n+ +a an nb bm m( (a a, ,b0b0, ,a ab b, ,m m, ,n n0)(0)(或或a a, ,b b0,0,a ab b, ,m m, ,n n为正整数为正整数) )合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理8.8.（20092009江苏，江苏，8 8）在平面上，若两个正三角形在平面

45、上，若两个正三角形 的边长比为的边长比为1212，则它们的面积比为，则它们的面积比为1414，类，类 似地，在空间中似地，在空间中, ,若两个正四面体的棱长比为若两个正四面体的棱长比为 12,12,则它们的体积比为则它们的体积比为 . . 解析解析 两个正三角形是相似的三角形，两个正三角形是相似的三角形，它它 们的面积之比是相似比的平方们的面积之比是相似比的平方. .同理，两个正四同理，两个正四 面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的 立方，所以它们的体积比为立方，所以它们的体积比为18.18.1818合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理9.9.现有一

46、个关于平面图形的命题：现有一个关于平面图形的命题： 如图所示，同一个平面内有两个如图所示，同一个平面内有两个 边长都是边长都是a a的正方形的正方形, ,其中一个的其中一个的 某顶点在另一个的中心某顶点在另一个的中心, ,则这两个正方形重叠部分的则这两个正方形重叠部分的 面积恒为面积恒为 . .类比到空间类比到空间, ,有两个棱长均为有两个棱长均为a a的正方的正方 体，其中一个的某顶点在另一个的中心体，其中一个的某顶点在另一个的中心, ,则这两个正则这两个正 方体重叠部分的体积恒为方体重叠部分的体积恒为 . . 解析解析 在已知的平面图形中，中心在已知的平面图形中，中心O O 到两边的距离相

47、等（如右图），即到两边的距离相等（如右图），即 OMOM= =ONON. .42a合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理四边形四边形OPAROPAR是圆内接四边形，所以是圆内接四边形，所以RtRtOPNOPNRtRtORMORM，因此因此S S四边形四边形OPAROPAR= =S S正方形正方形OMANOMAN= .= .同样地，类比到空间，如下图同样地，类比到空间，如下图. .两个棱长均为两个棱长均为a a的正方体重叠部分的体积为的正方体重叠部分的体积为 . .241a381a83a答案答案合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理三、解答题三、解答题10.10.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比, , 试由试由“平行四边形对边相等平行四边形对边相等”得出平行六面体的得出平行六面体的 相关性质相关性质. . 解解 如图所示，如图所示， 由平行四边形的性质可知由平行四边形的性质可知ABAB= =DCDC，ADAD= =BCBC， 于是类比平行四边形的性质于是类比平行四边形的性质, , 在平行六面体在平行六面体ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，合情推理与演绎推理合