北京工业大学-工程数学-薛毅-作业1

1、数学建模入门1. 贷款问题小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6% /月。他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。（1）在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？（2）在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？（3）如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调整到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？（4）某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年

2、以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款，但条件是：（i）每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2；（ii）因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。解答：首先根据已知条件建立贷款还款的数学模型：假设ai为第i个月的欠款额，r为月利率（本题中初始为0.6%），x为每月的还款额。由题中所描述的等额还款方式（每月还款额相同）可得出还款的迭代方式如下：第i个月的欠款额第（i-1）个月的欠款额*月利率第（i-1）个月的欠款额每月的还款额。期数本金利息还款额归还本金 =还款额 - 当月利息剩余本

3、金1a1a1*0.6%xb1=x-a1*0.6%c1=a1-b12a2=c1a2*0.6%xb2=x-a2*0.6%c2=a2-b23a3=c2a3*0.6%xb3=x-a3*0.6%c3=a3-b3240a240=c239a240*0.6%xb240=x-a240*0.6%c240=a240-b240=0迭代公式a(i) = a(i-1)-b(i-1) =a(i-1)-x-a(i-1)*0.6% = a(i-1)(1+0.6%)-x即：aiai1(1r)x，i1,2, , n（本题中n为240）由以上模型可得出题目解答：（1） 根据建模公式推算，小王夫妇第i个月的欠款额应为：ai ai1(1

4、r)xa0(1r)ix(1r) i1(1r)1a0(1r)ix第n个月还款完，即an0令in，得：xa0r小王夫妇贷款20万则a0200000，银行利率为r0.6%，贷款20年为240个月，则n240所以:x1574.70即：小王夫妇每月应还款1574.70元合计还款总额：1574.70*240=377928.00元合计付利息1574.70*240200000177928.00元（2）满五年后提前还款，则应计算i60时的欠款总额并一次还清。 a60200000*(10.006)601574.71*173034.90元所以小王夫妇在第6年初一次付给银行173034.90元即可将欠款还清（3）五年

5、后利率调整，即为，贷款额为剩余欠款173034.90元，a0173034.90，银行利率为r0.8%，贷款15年为180个月，则n180所以，x1817.33元第六年利率调整后，每月应还款1817.33元。（4）若小王夫妇不请借贷公司还款，由题（1）已知还款总额=377928.0元。若请借贷公司帮助还款，则是提前三年还完，即17年还完贷款。每半个月付款是原来付款的一半，但是需要付两次，每个月还款额不变。每次还款额：1574.699*0.5，总的还款次数：17*12*2408，付给借贷公司佣金：200000*10%所以，通过借贷公司还款的总的还款额：1574.699*0.5*408+200000

6、*10%341238.60元。相比之下，委托借贷公司可以节省377928.00341238.6036689.2元，所以小王夫妇可以考虑委托借贷公司还款。2. 冷却定律与破案按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (To<T)的环境中冷却的速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温 度为32.6,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4,，已知室温在几个小时内均为21.1,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5

7、时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？解答：首先，牛顿冷却定律为温度为T(t)的物体在温度T0的环境中冷却的速度与温度差 T(t)-T0成正比。所以，得出微分方程dT（t)dt=kTt-T0，K为比例常数。任意时刻t，物体的温度为Tt=T0+Cekt，C为常数根据已知条件，记晚上8时20分为t=0时刻，T（0）=32.6，T（1）=31.4，T0=21.1：T0=21.1+Cek*0=32.6Tt=21.1+Cek*1=31.4求解函数得，k=-0.11，C=11.5，即Tt=21.1+11.5*e-0.11*t假定人的正常体温为3

8、7，代入公式得t=-2.95小时, 即遇害时间为8.33-2.95=5.385时23分。张某在5时离开办公室，步行需要5分钟到达案发地点，所以张某不能排除作案嫌疑。3. 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（1）某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一是可经过路径中的同一地点，为什么？解答：令 ：A(t)表示此人第一天上山时t时刻离山脚的路程；B(t)表示此人第二天下山时t时刻离山脚的路程。假设山顶到山下的总路程为S，由已知条件可知：A(8)=0，A(17)= SB(8)= S，B(17)=0令 ：C(t)=

9、A(t)- B(t)； 则C(8)=-S，C(17)= S；由于C(t)为连续函数，由零点定理推出结论：在t=8,17中间，至少存在一点 t 使C(t)= A(t)- B(t)=0；即A(t)= B(t),可证明这人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。（2）甲乙两战之间有汽车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时刻不一定相同。甲乙两站之间有一中间站丙，某人每天在随机时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车。结果发现100天中约有90天到达甲站，大约10天到达乙站。问开往甲乙两站的汽车经过两站的时刻表是如何安排的？解答：根据题中描述可知，坐乙站发的车的概率为甲站的九倍。可以理解为从

10、乙站发车到甲站经过丙站的时刻要比另一个早1分钟，即从甲站出发到达丙处的第i辆车，总比从乙站出发到达丙处的第i辆车提前9分钟。所以经过丙站的时刻表可安排为：甲站发来的车：6：00，6：10，6：20乙站发来的车：6：09，6：19，6：29（3）张先生家住在A市，在B市工作，每天下班后他乘城际火车于18：00抵达A市火车站，他妻子驾车至火车站接他回家。一日他提前下班，乘早一班火车于17：30抵达A市火车站，随即步行回家，他妻子像往常一样驾车前来，在半路相遇将他接回家。到家时张先生发现比往常提前了10分钟，问张先生步行了多长时间？解答：假设张先生步行的距离为S，则妻子比往常少开了张先生所走距离的往

11、返距离2S，因为提前了10分钟到家，所以妻子开车行驶2S距离的时间为10分钟。妻子往常是在18:00整在火车站接张先生，今日在距离火车站S距离的地方遇到张先生，这个距离需要开车5分钟,所以妻子遇到张先生的时间为17:55分。张先生17:30下车，17:55分遇到妻子，所以张先生走了55-30=25分钟。（4）一男孩一女孩分别在距家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以每小时4公里和每小时2公里的速度步行回家。一小狗以每小时6公里的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程。如果男孩和女孩上学时，小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到

12、达学校时小狗在何处？解答：男孩和女孩从学校到家的时间都是0.5小时，当他们到家时小狗也到家，所以小狗往返跑的时间也是0.5小时，由于小狗的速度是每小时6公里，因此小狗所走的路程为3公里。设S为初始状态时小狗与家的位移, Si表示小狗最终的位移。i表示小狗与人的相遇次数ti为第i次小狗与人相遇时所经历的总时间；v1、v2、v3分别表示小狗、男孩、女孩的运动速率，Si表示小狗第i次与孩子相遇时小狗的位移。初始时刻小狗与女孩相向而行；i=1之后变为小狗击男孩；i=2之后小狗再追女孩，如此往返。所以，i为奇数时小狗与女孩相遇；i为偶数时小狗与男孩相遇。S=Si-v0*ti-12,i为奇数-Si-v0*

13、ti-22*v0-v1v0+v1，i为偶数当i为无穷多次时，可知S=0，对任意的Si，S0。即当S=0时，小狗的最终位置Si可以为-1,2中的任意数。 由上面分析可知，在男孩和女孩上学时小狗从家(S=0)往返奔波于他们之间的情况下孩子到学校时小狗的最终位置不确定。4. 加分实验（公平投票问题）某部门推出一专项基金目的在于培养优秀人才，根据评比结果确定资助的额度。许多单位的优秀者都申请了该基金，于是该基金的委员会聘请了数名专家，按照如下规则进行评比。1.为了公平性，评委对本单位选手不给分；2.每位评委对每位参与申请的人（除本单位选手外）都必须打分，且不打相同的分；3.评委打分方法为给参加申请的人排序，根据优劣分别记1分、2分、以此类推。4.评判结束后，求出各选手的平均分，按平均分从低到高排序，依次确定本次评比的名次，即平均分最低者获得资助最高，依次类推。本次基金申请中，甲所在单位有一名评委，这位评委将不参加对选手甲的评判，其他选手没有类似情况，评审结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。问选手甲的抱怨是否有道理？若不公平，能否做出修正来解决选手甲的抱怨？解答：令评审个数为n，根据评分规则，在一般情况下评委给出的评分分别为a1，a2，a3an,所以该选手的平均得分为X1=a1+a