直线与平面、平面与平面平行的判定(附答案)

1、直线与平面、平面与平面平行的判定学习目标1 .理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义 2会用图形语言、文 字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和 作用3能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关 系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平a?ah9 n 9 a / n行，则该直线与此平面平行ab思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与 平面平行的判定定理可知该结论错误.知识点二平面与平面平行的判定定理语言叙

2、述符号表示图形表不一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a? a, b? a aCl b= A? ap a/ p, bp思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例1如图，空间四边形ABCD中，E、F、DA的中点.求证：(1)EH |平面BCD ；(2)BD | 平面 EFGH.证明 : EH为4ABD的中位线，/.EH I BD.EH?平面 BCD，BD?平面 BCD， /.EH | 平面 BCD.(2；.BD | EH，BD ?平面 EFGH，EH

3、?平面 EFGH，/.BD | 平面 EFGH.跟踪训练1在四面体ABCD中，M，N分别是 ABD和BCD的重心，求证：MN |平面ADC.DC于P, Q两证明如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD点，连接PQ.因为M，N分别是ZkABD和4BCD的重心，所以 BM : MP = BN : NQ = 2 : 1.所以MN | PQ.又因为MN?平面ADC ， PQ ?平面ADC ， 所以MN |平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例2如图所示，在三棱柱ABC- A1B1C1中，点D，E分别是 BC与BiCi的中点.求证：平面 AiEB | 平面 ADCi.证明由棱柱性质知，BiCi |

4、 BC，B1C1 = BC，又D，E分别为BC ，BCi的中点， 所以CiE DB，则四边形CDBE为平行四边形，因此EB | CiD，又CD?平面ADC， EB?平面 ADC， 所以EB |平面ADCi.连接DE ,同理 EB"夹BD，所以四边形EDBBi为平行四边形，则ED娥BiB.因为BiB | A1A , BiB=AiA(棱柱的性质)， 所以ED糠AiA，则四边形EDAAi为平行四边形，所以AiE | AD，又AiE?平面ADC，AD?平面 ADC， 所以AiE |平面ADCi.由 AiE | 平面 ADC 1 > EB | 平面 ADC 1，AiE?平面 AiEB，E

5、B?平面 AiEB，且AiEAEB = E，所以平面AiEB|平面ADCi.跟踪训练2已知ABCD A1B1CD1是棱长为3的正方体，点E在AAi上，点F在CC上， 点G在BBi上，且AE= FC= BiG= 1，H是BiC的中点.求证：(1)E，B，F，Di四点共面；平面AiGH |平面BEDiF.证明: AE= BiG= 1 > /.BG=AiE=2.又 BG| AiE，四边形AiEBG是平行四边形，/.AiG | BE.连接 FG.CiF=BiG， CiF | BiG，四边形CFGB 1是平行四边形，.FG = CiBi= D1A1，FG | C1B1 | D1A1，四边形AiGF

6、D 1是平行四边形，/.AiG | DiF » /.DiF| EB.故E，B，F，四点共面.(2)H是BiG的中点，BH=：又BiG= 1 ,BiG2b1h3'FC 2 又=，且 NFCB=N GBiH = 90BC3. BiHGA CBF，.Z BiGH=N CFB=NFBG，HG | FB.又由知，AiG | BE，且 HGAAiG = G，FBHBE = B，二平面 AiGH | 平面 BEDF.解当Q为CC的中点时，平面DiBQ II平面PAO.理由如下PQ.Q为CC的中点，P为DDi的中点，.PQ|DC| AB=AB，四边形ABQP是平行四边形，/. QB PA.又

7、TO为DB的中点，/.DiB| PO.又.POnPA=P，DiBAQB = B，平面DiBQ 平面PAO.跟踪训练3如图，二棱柱ABC- AHC的底面为正二角形， 是棱CC 1，BBi上的点，EC = 2FB.M是线段AC上的动点， 面AEF ?请说明理由.IG/ : / : / A An解当M为AC中点时，BM |平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE的中点O，连接OF，OM.。，M分别是AE，AC的中点，1/.OM | EC，OM=2EC.连接 rct/，PQ = DC分一二一4a Q / J /AB侧棱AiAL氐面ABC，E，F分别当点M在何位置时，BM 平题型三线面平行、面面平行判

8、定定理的综合应用例3在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DDi的中点，设Q是CC 1 上的点.问：当点Q在什么位置时，平面DiBQ|平面PA。？请说明理由.又 BF | CE , EC = 2FB ' /.OM | BF，OM = BF， ，四边形OMBF为平行四边形，/.BM | OF.又OF?面AEF，BM ?面AEF，.BM |平面AEF.图1方法二如图2，取EC的中点P , 连接 PM PB.*/PM是AACE的中位线， /.PM | AE.EC = 2FB = 2PE , CCi | BBi ，.PE = BF ， PE | BF ' ,

9、.四边形 BPEF 是平行四边 形，. PB| EF.又PM?平面AEF , PB?平面AEF , /.PM | 平面 AEF，PB | 平面 AEF.又 PMAPB = P，：平面 PBM | 平面 AEF.又 BM?面 PBM，.'.BM | 平面 AEF.解题技巧面面平行的判定例4已知在正方体ABCD-A中，M，N分别是A " D "，A " B "的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结 论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN的特点，试着在正方体中找出几条平行

10、于该平面的 直线，然后作出判断，并证明.解如图，与平面AMN平行的平面有以下三种情况:面以图为例进行证明 如图，取B " C "的中点E、连接BD，BE，DE，ME，B ' D可知四边形ABEM是平行四边形，所以 BE | AM .又因为BE?平面BDE ， AM?平面BDE，所以AM |平面BDE.因为MN是 A " B ' D '的中位线，所以 MN | B " D '.因为四边形BDD ' B "是平行四边形，所以 BD | B " D '.所以 MN | BD.又因为BD?平面B

11、DE，MN ?平面BDE，所以MN |平面BDE.又因为AM?平面AMN，MN?平面AMN，且AMAMN = M，所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN |平面BDE.1 .过直线外两点，作与平行的平面，则这样的平面()A.不可能作出B.只能作出一个C.能作出无数个D.上述三种情况都存在2 .经过平面a外两点，作与a平行的平面，则这样的平面可以作()A.1个或2个 B.0个或1个C.1个D.0个3 .若线段AB，BC，CD不共面，M，N，P分别为线段AB，BC，CD的中点，则直线BD与 平面MNP的位置关系是()A.平行B.直线在平面内C.相交D.以上均有可能4 .在正方体EFGH -

12、E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A.平面EFGi与平面EGHi B.平面FHG 1与平面F1H1GC.平面FMH与平面FHEi D.平面E1HG1与平面EHiG5 .梯形ABCD中，AB|CD，AB?平面 叫 CD?平面则直线CD与平面a的位置关系是一、选择题1 .下列说法正确的是0若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； 若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 A.B.(2X3)c.D.2 .平面a与平面p

13、平行的条件可以是()A. a内有无穷多条直线与P平行B.直线a| a, a| p,且直线a不在a与p内C.直线 a? a,直线 b?p,且 b/ a, a/(iD. a内的任何直线都与p平行3 .六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有()A.2对B.3对C. 4对D.5对4 .如果直线a平行于平面a,那么下列命题正确的是()A.平面a内有且只有一条直线与a平行 B.平面a内有无数条直线与a平行C.平面a内不存在与a平行的直线D,平面a内的任意直线与直线a都平行5 .在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE ： EB = AF ： FD =1 ： 4，又H，G分别为BC，CD的

14、中点，则()A.BD |平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B. EF|平面BCD，且四边形EFGH是梯形C. HG |平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH |平面ADC，且四边形EFGH是梯形6 .平面a内有不共线的三点到平面p的距离相等且不为零，则a与。的位置关系为()A.平行B.相交C.平行或相交D,可能重合7 .已知直线I，m，平面a,再下列命题正确的是()A.lp, l?a?apB.lp, md I? a, m?a?apC./ m, I? a, m?p?apD.lp, mp, l?a, m? a, IClm = M?ap二、填空题8 .三棱锥SABC中，6为4 ABC

15、的重心，E在棱SA上，且AE = 2ES，贝【J EG 与平面SBC的关系为 .9 .如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，BM |平面DE ；CN |平面AF ；平面BDM |平面AFN ；平面 BDE | 平面 NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是.10 .右图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，点M，N，Q分别在PA，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出 下面五个结论：平面EFGH |平面ABCD ；PA |平面BDG ；EF |平面PBC ；FH |平面BDG ；EF |平面BDG ； 其中正确结论的序号是 三、解答题11 .如图

16、，在已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，BD，PD 上，且 PM ： MA = BN ： ND = PQ ： QD.求证：平面 MNQ II平面PBC.12 .如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AB的中点，点N在侧面AA1D1D上运动，点N满足什么条件时，MN |平面BBiD iD?当堂检测答案1 .答案D解析设直线外两点为A、B，若直线AB | I，则过A、B可作无数个平面与I平行；若直线AB 与I异面，则只能作一个平面与I平行；若直线AB与I相交，则过A、B没有平面与I平行.2 .答案B解析当经过两点的直线与平面a平行时，可作出一个平面P使P a.当经过两

17、点的直线与平面a相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的 平面都与平面a相交，不能作出与平面a平行的平面.故满足条件的平面有。个或1个.3 .答案A解析连接NP，因为N、P分别是BC、CD的中点，M是AB的中点，AB、BC、CD不共 面，所以直线BD不在平面MNP上.，直线BD与平面MNP平行.4 .答案A解析 如图，*/ EG | E1G1，EG?平面 EFG 1，E1G1?平面 EiFGi，/.EG | 平面 EiFGi又 GiF | HiE，同理可证HiE |平面EFGi， 又 HiEAEG= E，平面EiFGi |平面EGHi.5 .答案CD a解析因为AB | CD，A

18、B?平面a, CD ?平面a,由线面平行的判定定理可得 CD/7 a.课时精练答案、选择题1 .答案D解析 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，在平面ABCD内，在AB上任取一点E，过点E作EF | AD，交CD于点F，则由线面平行的判定定 理，知EF，BC都平行于平面ADD 1A1 用同样的方法可以在平面ABCD内作出无数条直线都与平面ADD 1A1平行，但是平面ABCD与平面ADD A不平行,因 此都错；正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以 这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；是平面与面平行的判定定理，正确.2 .答案D解

19、析对于A项，当a与p相交时，a内也有无数条直线都与交线平故A错误；对于B行， 项，当a平行于a与p的交线时，也能满足，但此时a与p相交，故B错误；对于C项， 当a和b都与a与。的交线平行时，也能满足，但此时a与3相交，故C错误；对于D 项，a内的任何直线都与P平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面，故D正 确.3 .答案C解析侧面中有3对，对面相互平行，上下两底面也相互平行.4 .答案B解析如图,直线 BiCi | 平面 ABCD , B1C1 | BC , B1C1 | AD , B1C1 | EF （E F 为中点）等, 平面ABCD内平行于BC的所有直线均与BQ平行.但AB与

20、B©不平行.5 .答案B解析易证EF |平面BCD.1由 AE : EB = AF : FD，知 EF | BD，且 EF=/BD.又因为H，G分别为BC，CD的中点，1所以 HG | BD，且 HG= 2BD.综上可知，EF| HG，EF#HG，所以四边形EFGH是梯形，且EF |平面BCD.6 .答案C解析若三点分布于平面。的同侧，则a与P平行,若三点分布于平面。的两侧，则a与。相交.7 .答案D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB | CD则AB |平面DC，AB?平面AC，但是平面AC与平面DCi不平行， 所以A错误；取BBi的中点E，CCi的中点F，则可证

21、EF |平面AC，B1C1 |平面AC.EF?平面BC，BiCi?平面BC，但是平面AC与平面BCi不平行,所以B 错误；可证AD | BiG，AD?平面AC，B1C1?平面BC，又平面AC与平面BC不平行，所 以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.、填空题8 .答案平行解析如图，延长AG交BC于F，连接SF，则由G为 ABC的重心 知AG : GF = 2，又 AE ： ES = 2， /.EGSF，又 SF?平面 SBC，EG?平面SBC， /.EG | 平面 SBC.9 .答案 OX2X3X3)解析以ABCD为下底面还原正方体,如图：则易判定四个命题都是正确的.10 .答案解析把图形还原为一