高等数学：3-1 中值定理

1、第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用第一节第一节 中值定理中值定理一、罗尔定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理 导数是研究函数性质的重要工具，仅从导数的导数是研究函数性质的重要工具，仅从导数的概念出发并不能充分体现这种工具的作用，这需要概念出发并不能充分体现这种工具的作用，这需要建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定理统称为理统称为“中值定理中值定理 ” ”, ,它们是导数应用的理论基础它们是导数应用的理论基础. .中值定理是沟通函数及其导数之间的桥梁，是应用中值定理是沟通函

2、数及其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数在区间上整体性的重要工具导数的局部性研究函数在区间上整体性的重要工具. .学习要求：学习要求：1. 1. 深刻理解中值定理，特别是拉格朗日中值定深刻理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义；理的分析意义和几何意义；2. 2. 会证明中值定理，学会构造辅助函数证明问会证明中值定理，学会构造辅助函数证明问题的方法；题的方法；3. 3. 初步具有应用中值定理论证问题的能力初步具有应用中值定理论证问题的能力. . 0)( , )( ),( ).()( )3( ),( )( )2(; , )( )1(: )( )( fbababfafbax

3、fbaxfxfRolle使使得得内内至至少少有有一一点点则则在在内内可可导导；在在开开区区间间上上连连续续在在闭闭区区间间满满足足以以下下条条件件如如果果函函数数定定理理罗罗尔尔几何几何解释解释1 2 abxyo)(xfy ., 水水平平的的在在该该点点处处的的切切线线是是点点上上至至少少有有一一在在曲曲线线弧弧CABC一、罗尔一、罗尔( (RolleRolle) )定理定理证明证明.)1(mM 若若,)(连续连续在在baxf.mM 和最小值和最小值必有最大值必有最大值,)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf ),(a

4、fM 不不妨妨设设.)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在),()( fxf , 0)()( fxf. )(为常函数为常函数即即xf因此，最大值和最小值不可能同时在区间端点取得，因此，最大值和最小值不可能同时在区间端点取得，, 0 x若若; 0)()( xfxf 则有则有, 0 x若若; 0)()( xfxf 则有则有0()( )()lim0 ;xfxffx 0()( )()lim0 ;xfxffx , )(存在存在 f ()().ff . 0)( f只只有有注意注意: :若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足, ,其其结论可能不成立结论可能

5、不成立. . 例例143201230 0,a xa xa xa xx如果方程有一个正根证明方程32012304 320.a xa xa xax 至少有一个小于 的正根 4320123 ( ) f xa xa xa xa x作辅助函数解， 000( )(0)0().f xxxff x满足条件:1 在区间0, 上连续,在区间(0,)可导;20 ( ) 0, ,f xxRolle于是在上满足定理的条件由由 RolleRolle 定理定理, ,/0 (0,) , ( )0 , xf存在即即3201234 320,aaaa3201230 4 320.a xa xa xax 至少有一个小于 的正根 .)(

6、)( ),( , )( , )( ),( )(0 , )( ffbaabfbafbababaxf 使得使得一点一点内至少存在内至少存在证明在证明在可导，且可导，且内内上连续，在上连续，在在在设设分析分析，原式等价于原式等价于0)()( ff即等价于即等价于. 0 )( xxxf因此构造辅助函数因此构造辅助函数),()(xxfx , )(bax 在在并对并对 上使用上使用 RolleRolle 定理定理.例例2 2 证明证明).()( xxfx 令令由题意知，由题意知，, )(bax 在在 ),( 内可导，内可导，上连续，在上连续，在ba又因为又因为),()()()(bbbfabaafa 由由

7、RolleRolle 定理定理, , , 0)( , ),( ba存在存在.)()( ff 即即,)(,)(abfbaf 所以所以, , )( 定定理理的的条条件件上上满满足足在在于于是是Rollebax 二、拉格朗日二、拉格朗日( (LagrangeLagrange) )中值定理中值定理).()( , bfaf 条件少了条件少了与罗尔定理相比与罗尔定理相比).()()( fabafbf 结论亦可写成结论亦可写成注意注意.)()()( )( ),( ),( , )( 成成立立使使等等式式内内至至少少有有一一点点内内可可导导，那那么么在在上上连连续续，在在开开区区间间在在闭闭区区间间如如果果函函

8、数数中中值值定定理理abfafbfbabababaxfLagrange ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释：几何解释：.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧).()(bfaf 件件相相差差条条件件与与罗罗尔尔定定理理的的的的条条注意注意: :Lagrange Lagrange 中值定理精确地表达了函数在一中值定理精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系之间的关系. .,),()(内可导内可导在在在在设设baxf).10() ()()(000 x

9、xxfxfxxf则有则有),(,00baxxx ).10() ( 0 xxxfy也也可可写写成成.的的精精确确表表达达式式增增量量y 拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式. .微分中值定理微分中值定理.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数推论推论IxfIxf).11(2arccosarcsin xxx 证明证明证明证明,1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设 )(xf. 0 .1 , 1,)( xCxf0a

10、rccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx211x )11(2x 例例3 3.)1ln(1,0 xxxxx 时时证明当证明当证明证明),1ln()(xxf 设设, , 0 )(中中值值定定理理的的条条件件上上满满足足在在Lagrangexxf),0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111 , 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例4 4三、柯西三、柯西( (CauchyCauchy) )中值定理中值定理柯西（柯西（CauchyCauc

11、hy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)(xF 在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf 成立成立. . 柯西定理是拉格朗日中值定理在参数方程况下柯西定理是拉格朗日中值定理在参数方程况下的特殊形式的特殊形式. .几何解释几何解释: :)(1 FXoY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBC)(2 FD)(xFNM.),(),( ABfFCAB弦

12、弦该点处的切线平行于该点处的切线平行于在在一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 ,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf ).()()( fabafbf 所以拉格朗日中指定理是柯西中值定理所以拉格朗日中指定理是柯西中值定理 的特殊情况的特殊情况. .).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数证明证明 结论可变形为结论可变形为 01)0()1(ff. )()( 2 xxf,)(2xxg 设设,1 , 0)()

13、,(条件条件上满足柯西中值定理的上满足柯西中值定理的在在则则xgxf有有内至少存在一点内至少存在一点在在, )1 , 0( ， 2)(01)0()1(fff ).0()1(2)( fff 即即 2)(f 也可以这样证明：也可以这样证明：),0()1()()(2ffxxfx 令令. 1 , 0)(论论上使用罗尔定理证得结上使用罗尔定理证得结在在对对x 例例5 5参考四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；之间的关系；注意定

14、理成立的条件；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤. .拉格朗日拉格朗日Lagrange, Joseph LouisLagrange, Joseph Louis（1736-18131736-1813） 法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于法国数学家、力学家及天文学家。拉格朗日于17361736年年1 1月月2525日在意大利西北部的都灵出生。少年时日在意大利西北部的都灵出生。少年时读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析读了哈雷介绍牛顿有关微积分之短文，因而对分析学产生兴趣。他亦常与欧拉有书信往来，于探讨数学产生兴趣。他亦常与

15、欧拉有书信往来，于探讨数学难题等周问题之过程中，当时只有学难题等周问题之过程中，当时只有1818岁的他岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 奠奠定变分法之理论基础。后入都灵大学。定变分法之理论基础。后入都灵大学。17551755年，年，1919岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不岁的他就已当上都灵皇家炮兵学校的数学教授。不久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与久便成为柏林科学院通讯院院士。两年后，他参与创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会创立都灵科学协会之工作，并于协会出版的科技会刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方

16、程、弦刊上发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当振动及最小作用原理等论文。这些着作使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。时欧洲公认的第一流数学家。到了到了17641764年，他凭万有引力解释月球天平动问题获年，他凭万有引力解释月球天平动问题获得法国巴黎科学院奖金。得法国巴黎科学院奖金。17661766年，又因成功地以微年，又因成功地以微分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复分方程理论和近似解法研究科学院所提出的一个复杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题杂的六体问题木星的四个卫星的运动问题 而再而再度获奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林度获

17、奖。同年，德国普鲁士王腓特烈邀请他到柏林科学院工作时说：欧洲最大的王之宫廷内应有科学院工作时说：欧洲最大的王之宫廷内应有欧洲最大的数学家，于是他应邀到柏林科学院欧洲最大的数学家，于是他应邀到柏林科学院工作，并在那里居住达工作，并在那里居住达2020年。其间他写了继牛顿后年。其间他写了继牛顿后又一重要经典力学著作又一重要经典力学著作分析力学分析力学17881788。书。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力内以变分原理及分析的方法，把完整和谐的力 学体学体系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：系建立起来，使力学分析化。他于序言中更宣称：力学已成分析的一个分支。力学已成分析的一个分支。1

18、7861786年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六年普鲁士王腓特烈逝世后，他应法王路易十六之邀，于之邀，于17871787年定居巴黎。其间出任法国米制委年定居巴黎。其间出任法国米制委 员员会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工会主任，并先后于巴黎高等师范学院及巴黎综合工科学校任数学教授。最后于科学校任数学教授。最后于18131813年年4 4月月1010日在当日在当 地地逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还逝世。拉格朗日不但于方程论方面贡献重大，且还推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院推动了代数学之发展。他在生前提交给柏林科学院的两的两 篇著名论文：篇著名论文：关于解

19、数值方程关于解数值方程17671767及及关于方程的代数解法的研究关于方程的代数解法的研究17711771中，考察中，考察了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程了二、三及四次方程的一种普遍性解法，即把方程化作低一次之方程辅助方程或预解式以求解。化作低一次之方程辅助方程或预解式以求解。但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件但这并不适用于五次方程。在他有关方程求解条件的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为的研究中早已蕴含了群论思想的萌芽，这使他成为伽罗瓦建立群论之先导。伽罗瓦建立群论之先导。柯西柯西 Augustin Louis Cauchy Augustin Louis Cauchy (1789-1857)(1789-1857) 法国数学家。（法国数学家。（17891789、8 8、212118571857、5 5、2323）他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。他出身于高级官员家庭，从小受过良好的教育。18161816年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院年取得教授职位，同年，被任命为法国科学院院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院士。此外，他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。院的教授席位。 1830 1830年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效年，波旁王朝被推翻，柯西拒绝宣誓效忠新的国王，因此失去所有的