线性系统理论复习题纲

1、线性系统理论基础复习提纲线性系统理论基础稳定性分析结构分析运动分析模型的标准化方框图转化为状态空间模型传递函数转化为状态空间模型一 微分方程转化为状态空间模型从物理规律列写状态空间模线性系统的稳定性判据 李亚普诺夫稳定性定义和定理能控和能观标准型结构分解对偶系统与对偶原理匕匕厶冃控与能观性输出响应状态响应零初态状态响应零输入状态响应第1章线性系统的状态空间描述1、基本概念状态（向量）状态空间状态轨迹状态空间模型（表示）状态方程、输出方程系统矩阵、控制矩阵、前馈矩阵、输出矩阵状态结构（方框）图线性系统时不变（定常）系统、时变系统 连续时间系统、离散时间系统 状态线性变换矩阵的特征值、矩阵的特征向

2、量 对角线标准型、约当标准型 模态标准型 正则型矩阵 范德蒙矩阵传递函数矩阵2、知识要点% 知识点 1：根据物理规律建立状态空间模型简单机械系统 简单电气系统参考例题：例 2.1.1 ，例 2.1.2 （ P8 ）% 知识点 2：微分方程模型转化为状态空间模型微分方程中不含输入导数项x1y给定 y(n) an 1y(n 1) L a1y& a0 y则有x2y&bu ，选取状态向量MM(n 1)xnyx2给定 y(n) an1y(n 1) L(m) (m 1)a1y& a0y bmubm 1uLb1u& b0u ， m n ,将其转化为x&101x10x&

3、amp;2MOx2M状态方程：22uM01M0x&na0a1 Lan 1xnbx1输出方程：xn例 2.1.3 （ 注意：方框图在没有要求时可以不画出 ） 微分方程中包含输入函数导数项，且 m n有 则 %y&y%x1y%(n) an 1y%(n 1) L a1y&% a0y% ux2n(m1)(m 1) 1 0 ，选取状态向量 2y bm y%( m) bm 1y%(m 1) L b1y&% b0y%Mxny%(n 1)&o1o&MOM状态方程uMo1o&ao6 Lan 11X1输出方程yb°,bi,L ,时0禺30 Mn m

4、 1Xn例 2.1.4微分方程中包含输入函数导数项，且 n m若 y(n) an iy(n 1) L 曰& a°y bnu(n)bn iu(n 1) Lbii& bou，让 % y bnu，则转化为如下微分方程的形式%n)an1%n1)La1%)ao%(bn1an1bn)u(n 1) L (d 印0)&(boa°bn)u。例 2.1.5知识点3:传递函数转化成状态空间模型(实现问题) 考虑G(s)»sm bnsanm 1n1Sa°注意：若G(s)bnSnn1sn 1an 1sbn一bs bo，则可以将其写成La£ aoG

5、(s)bnn 1(bn 1 bnan-1)sL (4 gajs (bon 11an 1sLbna°)bnG(s)从而只需对G(s)进行状态空间实现。方法1:转化为微分方程方法G(s)mm 1sbm 1sLdsbon 1,an 1S Lasa°asa°(n) y 等价于微分方程yanbmU(m)1y(n1)L a1& aoy bm 1u"m 1)Lb|l& bou方法2 :并联法(部分分式分解法)(1)若G(s)的极点全部为单根，则有k1k2.knG(s)2LnsP1s P2sPn其中ki为对应于极点pi的留数kj limG(s) (s p

6、i)，则状态空间模型为XP1x11XX2P2x21,X2u， y k1 k2knMOM MxnPnXn1Xn参看：例2.1.6(2) 若G(s)的极点为单个重根，则有G(s)k1k2(s p)n(sP)kns P其中ki为对应于极点则状态空间模型为& p 1x10p O x2&P Xn1didsi 1G(s)(syk1 k2P)n, iLkn1,2, nXX2MXn参看：例2.1.7G2(s)丄，Gds)只含有单个重根。(3) 若G(s)的极点既有单根又有重根，则可以将其分解为G(s) G1(s) G2(s) LGs)，其中G1(s)包含所有单根,方法3 :串联法(零极点分解法

7、)自己总结。%(知识点4:基于基本模块的方框图的转化第1步：将各环节通过等效变换，使得整个系统由基本单元通过串联、并联和反馈三种形式组成整个控制系统。第2步：将每个基本单元的输出作为一个独立的状态变量x，积分器的输入端就是状态变量的一阶导数&。第3步：根据调整过的方块图中各信号的关系，写出每个状态变量的一阶微分方程，从而写出系统的 状态方程。根据需要指定输出变量，从方块图写出系统的输出方程。例 2.1.8 (P .22)%知识点5 :通过状态变换化状态空间模型为对角线标准型已知系统X& Ax Bu, y Cx Du1 ）求矩阵的 互不相同的 特征根i,i 1,2丄，n：即求特征

8、多项式I A 0的根2） 求每个特征根 /寸应的特征向量vi :即求解线性方程组（iI A）vi 03） 以特征向量v为列向量构成矩阵 Pv1 L vn ，构造线性变换x Px4）计算对角线标准型的各系数矩阵11 2A P 1APOnB P 1BC CP5）写出系统的对角线标准型表达式x* Ax Bu, y Cx Du参看：例2.2.2特殊情况：如果系统矩阵 A为正则型0 1AM0OL1an 1a。且特征值i, i1,L,n互不相同，则变换矩阵P为范得蒙矩阵11L112LnP2122L2nMMLMn 1n 1Ln 112n例 2.2.3，习题9(1) P.49知识点6:通过线性变换化状态空间模

9、型为约当标准型1） 计算特征根 r假设1, 2, L , i为全部互不相同的特征根，其重数分别为g, m2, L ,mi2） 构造线性变换x Px的矩阵P :对每个特征根i计算秩ran k（A iI） n i，则从 （A iI ）Pij 0可以求出i个线性无关的特征向量 Pij, j 1, L, i，对每一个特征向量 p/，求解如下 线性方程求出其广义特征向量 p1 p¥, pjj2,L , pjj :（Ail）pj 0(Ail)Pi；Pi1(AiI)Pij3Pi2»亠M（其中kj(AiI)Pjjpi(kj 1)变换矩阵的构造如下：对应于i的i个约当块的分块矩阵为对应于i的

10、分块矩阵为R R1 L变换矩阵为R R P2 L R 。3）计算约当标准型的系数矩阵AA R 1ARA2OAB R 1BC CR表示相应于特征向量 |Pij的广义特征向量个数）R jpi1 Pi! LPik j , j 1丄,i ；R i ,i 1,L ,l ；Bu, y Cx Du4 ）写出系统的约当标准型表达式 X Ax参看：例2.2.4， 例2.2.5知识点6：通过线性变换化状态空间模型为模态标准型二阶系统情况：矩阵 A的特征值为共轭复数对1）计算矩阵A的特征值1,2j2）计算特征根 1j 特征向量v13）构造变换矩阵R4）计算模态标准型的系数矩阵1A R AR_ 1B R BC CR5

11、） 写出系统的模态标准型表达式& Ax Bu, y Cx Du参看：例2.2.7知识点7:由状态空间表达式求传递函数矩阵已知系统的状态空间表达式& Ax Buy Cx Du则系统传递函数矩阵为G(s) C(sI - A) 1B D其中逆矩阵的计算sI - Aadj sI - A det sI - A参看：例2.3.1知识点8:应用Matlab常用的三种模型状态空间模型：Gss=ss(A,B,C,D)传递函数模型：Gtf=tf( num,de n)零极点模型：Gzp=zpk(z,p,k)基于方框图的状态空间模型建立并联：A B C D=parallel(A1,B1,C1,D1,A

12、2,B2,C2,D2)G=G1+G2串联：A B C D=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)G=G1*G2反馈：A B C D= feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2) G=feedback(G1,G2,sig n)转化为状态空间模型传递函数转化为状态空间模型：A, B, C, D = tf2ss (num, den)零极点模型转化为状态空间模型：A, B, C, D = zp2ss (z, p, k)线性变换SYS = ss2ss(SYS,P)对角或约当标准型CSYS = canon(sys, modal ')转化为传递函数模型

13、ss2tf, ss2zp, tf2zp, zp2tf第2章线性系统的运动分析1、需要理解的概念矩阵指数函数状态转移矩阵零输入(状态)响应零初态(状态)响应状态响应叠加原理输出响应连续时间线性系统的离散化1采样器保持器2、需要掌握的方法%知识点1:矩阵指数函数eAt的计算方法化矩阵A为对角矩阵或约当矩阵 J的方法1)按照化对角标准型或约当标准型的过程构造矩阵P2）计算 eAtPeJtP 1注意：记住几类特殊矩阵(对角分块矩阵、对角矩阵、约当块、二阶反对称矩阵等)的矩阵指数函数。参看： 例3.1.3 例3.1.4拉普拉斯反变换法1) 计算逆矩阵(Sl-A)2) 求拉普拉斯反变换eAt L 1(sl

14、 - A) 1参看：例3.1.2%知识点2 :求线性定常系统的状态响应和输出响应已知系统的状态方程 & Ax Bu、初始状态x(0)和输入控制量u(t):At1) 系统的零输入响应为e x(0)2) 系统的零状态响应为teA(t乜口( )d03) 系统的状态响应为x(t) eAt x(0)：eA(t)Bu( )d5)系统的输出响应为y(t) Cx(t) Du(t) C eAtx(0)；eA(t)Bu( )d Du(t)参看：例3.2.1知识点3：线性定常连续时间系统的离散化1) 对给定的采样周期T计算离散化后的状态转移矩阵G eAT2) 计算离散化后的控制矩阵T AtH ( 0 e d

15、t)B3) 写出系统的离散状态方程x(k 1) Gx(k) Hu(k)y(k) Cx(k) Du(k)参看：例3.5.3第3章线性系统的结构分析1、需要理解的概念状态能控性状态能达性状态能观性系统结构分解对偶系统对偶原理系统实现系统最小实现能控标准型1/11型能观测标准型1/11型2、需要掌握的方法%知识点1：判断时不变系统的状态能控性对角标准型或约当标准型系统的状态能控性判别参看：例4.1.4一般线性系统的能控性判别1） 写系统的能控性矩阵 Uc B AB LAn1B2）计算能控性矩阵的秩，判别能控性。参看：例4.1.3%知识点2 :线性定常连续系统的能观测性判别对角标准型或约当标准型系统的

16、状态能观性判别参看：例423般线性系统的能观性判别1）写系统的能观测性判别矩阵CCAMCAn-12）计算能观测性矩阵的秩，判别系统状态能观测性。参看：例4.2.2知识点3：对偶系统和对偶原理给出一个系统模型，& Ax Bu1 :y Cx其对偶系统的表达式为Abtct知识点4:线性系统的能控子空间分解对角或约当标准型的能控子空间分解般线性系统的能控子空间分解1）能控性判断2）构造非奇异变换矩阵 Tc其中，pi,i 1,2丄，r是系统能控性矩阵 Uc中r个线性无关的列向量,r rankU c ，另外r 个列向量q,i 1,2丄，n r适当选择（一般取标准基向量）使得 讥非奇异3）求通过线性

17、变换 x Tc%的矩阵A% Tc 1ATcA%11A%12A%22B% Tc 1BB%104）写出系统进行能控子空间分解后的状态空间表达式参看：例 4.4.1知识点 5：线性系统的能观测子空间分解对角或约当标准型的能观子空间分解一般线性系统的能观子空间分解1）能观测性判断2）构造非奇异变换矩阵1p1p2MToqrq2Mqn rr 个行向量其中，pi，i 1,2, L ,r是系统能观测性矩阵 V中r个线性无关的行向量，r ran kV。，另nq,i 1,2,L ,n r适当选择（一般取标准基向量）使得T。1非奇异3 ）求通过线性变换 x T°X后的矩阵%1A%110A% T。at。 A

18、%A21 A22%1B%B% T。 1BBB%2C% CT。C% 04）写出系统进行能观测子空间分解后的状态空间表达式参看：例 4.4.2%知识点6:线性系统的能控能观测子空间分解对角或约当标准型的能控能观子空间分解参看：例444P124般线性系统的能控能观子空间分解系统A,B,C 作能控子空间分解,xcXcXcB1 u 0C2XcXc不能控子系统cA4,0, C2进行能观测子空间分解能控子系统c A, BnC进行能观测子空间分解综合上述三次变换的结果，得到系统同时进行能控子空间和能观测子空间结构分解Xc。0A4Xco%u0XcoC%xco xco参看：例443%知识点7 :单变量系统的能控标

19、准型假设线性定常系统& Ax buy cx是状态完全能控的。能控标准型1型取变换矩阵Tc1AbAn-1b，能控标准型的系数矩阵为a1Mao-1Ac1 T；1 ATd1 an 1bciTc-iibMicci cTcicb cAb LcAn-1ba：为特征多项式|sl A|an 1sn1L ais a°的系数。参看：例4.5.1 -化结构框图P127能控标准型 2 型取变换矩阵Tc2An-1bAn-2ban 1Ma1an i i则能控标准 2 型的系数矩阵为Ac2-iTc-2i ATc 2bc2Tc-21bcc2cTc2a：为特征多项式|sla0A|a1nan isanais氏的

20、系数参看：例 4.5.2知识点 8：单变量系统的能观测标准型 假设线性定常系统x& Ax bu y cx是状态完全能观测。 能观测标准型 1 型 取变换矩阵cAM cAn-i则能观测标准型 1 型的系数矩阵为01To1ATo1MOa0 a1 Lan 1bo1To-11bcbcAbMcAn 1bco1 cTo1 1 0 L 0能观测标准型 2 型 取变换矩阵为1an-1La1cAn-1T 11OMcAn-2To2Oan-1M1c则能观测标准型 2 型的系数矩阵为0 L 0a01 1a1Ao 2 To2 ATo2o 2 o2 o2 O M1an 1bo2 To-12bco2 cTo2 0

21、0 L 1a为特征多项式|sl A| sn an iSn 1 Laisa°的系数。参看：例 4.5.3% 知识点 9：单变量系统的最小实现对于一个严格真有理分式传递函数 G（s）1） 写出系统的能控（或能观测）标准型实现 A, b, c ，检查其能观测性（或能控性） ，若系统是既能 控又能观测的，则 A,b,c 即为系统的最小实现。否则作下一步；2）对上述标准型实现 A,b,c 进行能观或能控子空间结构分解：如果是能控标准型实现，则作能观 测子空间分解；如果是能观测标准型实现，则作能控子空间分解。子空间分解后得到的能控能观测 子系统 co 即为系统的一个最小实现。第 4 章 李雅普诺

22、夫稳定性分析1、需要理解的概念平衡状态向量（矩阵）的范数李雅普诺夫稳定李雅普诺夫渐近稳定李雅普诺夫大氾围渐近稳疋李雅普诺夫不稳定李雅谱诺夫函数二次型李雅谱诺夫函数李雅谱诺夫函数的正定 /半正定/负定/半负 定/不定实对称矩阵的正定 /半正定/负定/半 负定/不定行列式的顺序主子式李雅谱诺夫方程2、需要掌握的方法%知识点1 ：求连续系统的平衡状态和平衡状态的李亚普诺夫稳定性判断1） 系统X f （x）的平衡状态为方程 f（xe） 0的解Xe Rn。特别，线性时不变系统 X Ax的平衡 状态由线性方程组 Axe 0求出。2） 系统X f （x）在平衡状态Xe Rn的李亚普诺夫稳定性判断：构造正定的

23、李亚普诺夫函数V（x）， 判断是否V&（x）半负定。参看：例5.2.3知识点2:间接法判断线性定常连续系统的稳定性考虑线性系统X Ax1）如果A的特征根都在闭的左半复平面内，且在虚轴上的特征根对应的约当块为一阶的，则线性系统在每一个平衡点是Lyapunov稳定的；2） 如果A的特征根都在开的左半复平面内，则线性系统的平衡点（只有一个，即0）是Lyapunov全局渐近稳定的；3）如果A有一个特征根在开的右半复平面内，则线性系统在每一个平衡点是Lyapunov不稳定的。%知识点3:直接法判断线性定常连续系统的稳定性1 ）确定系统的平衡状态 Xe2） 取Q I，求解关于实对称矩阵 P的李亚普

24、诺夫方程 ATP PA Q3）根据P的定号性判断系统在平衡状态处的稳定性。参看：例5.3.1第5章线性系统综合基础1、需要理解的概念状态反馈输出反馈固有极点希望极点主导极点极点配置问题镇定问题二次型性能指标线性二次型最优控制问题有限时间状态调节冋题无限时间状态调节问题无限时间输出调节冋题状态观测器设计问题全维/降维状态观测器2、需要掌握的方法%知识点1：单变量系统基于状态反馈的极点配置给定系统的数学模型X Ax buy cx和希望极点：丄，二，求使闭环系统的极点为期望极点的状态反馈控制u kx v。方法1 ：单变量系统的直接计算方法1 )设 kk1 Lkn，计算闭环特征多项式I I (A bk

25、)|2) 计算期望的闭环特征多项式( JL (n)3) 让| I (A bk)| ()L ()，比较闭环特征多项式和期望闭环特征多项式的系数得到关于未知量k的方程组，从中求出 kk, Lkn& (A bk)x bv4) 闭环系统为y cx参考：例6.2.1 (在不是状态空间模型时先进行状态空间实现)方法2 :化成能控标准型的方法1) 计算开环特征多项式 和期望的闭环特征多项式2) 计算向量k -(补充内容)()(det( I)A)；)Ln 1n)1 o1 1 I1 0,3)计算状态变换矩阵An 1bAb b4) 求逆矩阵Q P ；5) 求反馈增益矩阵kkQ,则闭环系统为x (A bk)

26、x bvy cx知识点2:单变量系统的基于状态反馈的镇定控制给定单变量系统& Ax buy cx求使闭环系统渐近稳定的状态反馈控制u kx v 。步骤：1) 对系统A, b进行能控性结构分解-iA A2bcA T 1ATJ2 ，b Tbc0 Ac02) 对能控子系统Ac,bC进行极点配置，使其特征根位于 左半复平面内。设所求增益矩阵为 k,.3) 则 kkc 0 T 1参看：例 6.3.1%知识点3:线性二次型最优控制：无限时间状态调节器问题 给定线性定常系统模型X Ax Bu,x(O) x0, t 0,)和二次型性能指标1JxT(t)Qx(t) uT(t)Ru(t) dt确定最优控制律u Kx使性能指标J达到最小。步骤：1 )检验条件Q 0,R0，和能控性2) 由代数黎卡提方程求解对称矩