微分中值定理及其应用

1、第六章微分中值定理及其应用§ 1拉格朗日定理和函数的单调性(第124-125页)1 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使f ( ) 0:(1) f(x).1xsi nx0(2) f(x) |x|1x1 xx322 证明：3(1)方程x 3x c 0 (这里c为常数)在区间0,1内不可能有两个不同的实根;(2)方程xnpx q 0 (n为正整数)当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根.3证明：若函数f和g均在区间I上可导，且f (x) g (x) , x I，则在区间I上f和g只相常数，即f(x) g(x) c (c为某一常数)4.证明(1)若函数f在a, b上可

2、导，且f (x) m，则f (b) f (a) m(b a)；(2)若函数f在a, b上可导，且| f (x) | M，则| f (b) f (a)| M(b a);(3)对任意实数 x1, x2，都有 | sin x1 sin x2 | | x25.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:/八 b a , b b a »亠小(1)ln，其中 0b a a h2(2) 口 arctanh h，其中6 确定下列函数的单调区间:2(1) f(x) 3x x ；(2)f(x)2x2In x ；(3) f (x) 2x x2 ；(4)f(x)x217应用函数的单调性证明下列不等式:3(1) ta

3、nx x,x (0,)2x(2) sin x x, x (0,)；2x2x2(3) xln(1 x) x, x 0.22(1 x)8以S(x)记由(a, f(a), (b, f(b), (x, f(x)三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.9 设f为a, b上二阶可导函数，f(a) f(b) 0，并存在一点c (a, b)使得f (c) 0 证明至少存在一点(a, b)，使得f ( )0 .10 设函数f在(a, b)内可导，f单调证明f在(a, b)内连续.11设p(x)为多项式， 为p(x) 0的r重实根证明 必定是p (x)0的r 1重实根.12 证明：

4、设f为n阶可导函数，若方程 f(x) 0有n 1个相异的实根，则方程f(n)(x) 0至少有一个实根.13 .设a , b 0 .证明方程x3 ax b不存在正根.tanxx小14 .证明：，x 0, xsin x215 .证明：若函数 f , g在区间a,b上可导，且f (x) g (x), f (a) g(a)，则在(a, b)内 有 f(x) g(x).§ 2柯西中值定理和不定式极限 (第132-133页)231 .试问函数f(x) x , g(x) x在区间-1, 1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什 么？2. 设函数f在a, b上可导，证明：存在 (a,b)，使得2

5、 f(b)f(a) (b2 a2)f ().3. 设函数f在点a处具有连续的二阶导数.证明：叫Hh4 .设02 .证明存在(,)使得sinsincot)，使得coscos5.求下列不定式极限14(1)x.e 1 limx 0 sin x(2)1 2sinx limx cos3x6(3)limln(1 X)x ；x 0 cosx 1(4)limx 0 xtan x x . sin x(5)tanx 6 limsecx 52(6)xmo(7)(8)lxm1(9)xm0(1)x ；(10) lim sin xln x ；x 0(11)ximo1_2sin x1tan x 卩(12) limx 0 x

6、6 .设函数f在点a的某个邻域内具有二阶导数.证明：对充分小的h，存在，01，使得f(a h) f(a h) 2f(a)h2f (a h) f (a2h)7 .求下列不定式极限：ln cos(x 1).x1 sin -2(1)(2) lim (2arctanx)|nx ；x(3)limx 0sin xx ；(4) lim (tan x)x 4tan2x ；(5)ln(1 x)(1x)0cot x(7)lim(1x 01x)x e;(8)1lim (arctan x)ln xx 28设f(0)0 , f在原点的某邻域内连续，且f (0)0 证明:9 证明定理6.6 中 limx10 .证明:f(

7、x) x3ef (x)lim x 1.x 0f (x)0， Jim g(x)0情形时的洛比达法则.x2为有界函数.§ 3泰勒公式（第141-142页）1.求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式(1)f(x)(2)f(x)(3)f(x)tanx到含有x5的项.arctan x至U含有 x5的项;2 .按例4的方法求下列极限(1) limx 0ex sin x x(1 x).;x3(2) limxx1ln(1 -);x(3) lim 1(1x 0 x xcot x).3 求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式:(1) f (x) x3 4x2 5，在 x1处;(2) f(x)1，在x

8、0处1 x4 .估计下列近似公式的绝对误差：3，当xx(1) sin x x 60,1.5 .计算：（1 ）数e准确到109(2) lg11 准确到 10.§ 4函数的极值与最大（小）值(第 146-147 页)1 .求下列函数的极值(1)f(x)2x3 x4 ;(2)f(x)2x1 x(3)f(x)(ln x)2x(4)f(x)arcta nx1 2-ln(1 x2).22 设f(x)42 x sin1-,x 0,x0, x 0.(1) 证明：x 0是极小值点；(2) 说明f的极小值点X 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.3 .证明：若函数 f在点Xo处有f(Xo) 0

9、 ( >0) f (Xo) 0 (<0)，则Xo为f的极大(小)值占八、4 求下列函数在给定区间上的最大最小值:(1)yX5 5x45x31, 1, 2；(2)y2 tanx丄2ta n x ,0,：)；(3)y.x ln x,(0,).5.设f(x)在区间1上连续,并且在1上仅有唯一的极值点 x0 .证明：若X0是f的极大(小)值点，则X0必是f在I上的最大(小)值点.6 把长为I的线段截为两段，问怎样截法能使这两段线为边所组成的矩形的面积最大？7 有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，底的半径与容器高的比例应该怎样？8设用仪器进行测量时，读得n次试验数

10、据为a! , a2，a. 问以怎样的数值 x表达所要测量的真值，才能使它与这 n个数之差的平方和为最小.9 .求一正数a，使它与其倒数之和最小.10 .求下列函数的极值：(1) f(x) x(x21)；,.x(x2 1)(2) f (X)X X 123(3) f(x) (X 1) (X 1).211.设f (x) alnx bxx在x1 1, x2 2处都取得极值.试求a与b ；问这时f (x)在x1与X2市取得极大值还是极小值？12 .；在抛物线y 2px那一点的法线被抛物线所截之线段为最短.13要把货物从运河边上 A城运往与运河相距为 BC akm的B城(见图6-11),轮船运费的单价是

11、元/km，火车运费的单价是元/ km()，试求运河边上一点 M，修建铁路 MB，使总运费最省.§ 5函数的凸性与拐点(第153-154页)1 确定下列函数的凸性区间与拐点:(1)3八22x 3x36x25;(2)(3)(5)21xx1"2 1 x(4)y In (x21);2 问a和b为何值时,点(1, 3)为曲线ax3 bx2的拐点?3 证明:(1)f为凸函数,为非负实数，则f为凸函数;(2)f , g均为凸函数，贝U f g为凸函数;(3)f为区间I上凸函数，g为Jf(l)上凸增函数，贝y gf为凸函数4 设f为区间I上严格凸函数证明：若x0I为f的极小值点，贝U x0

12、为f为I上唯一的极小值点.5 应用凸函数概念证明如下不等式:b、e )；1CIQ(1)对任意实数a , b，有e 2 (e2arctana arctanb (2)对任何非负实数 a , b，有2 arctan6 证明:若f , g均为区间I上凸函数，贝U F(x)maxf(x), g(x)也是 I7 证明:(1) f为区间I上凸函数的充分必要条件是对上任意三点 x1x2上凸函数.X3，恒有(2)f为严格凸函数的充分必要条件是xX3f (xj f(X2) f(X3)8 应用詹森不等式证明:(1 )设 ai 0 (i 1, 2, n ),有n a02 ana1a?an ；;a1a2an(2)设 a

13、i, bi 0 (i 1, 2, n)，有11nnncqaibi43iP1biq1i 1i 11 1其中 p 1, q 1 ,1 .p q§ 6函数图象的讨论（第155页）(1)yx36x2 15x 20；(3)yx2arcta n x ；(5)y3x55x3 ；(7)y(x21)X§ ；按函数作图步骤，作下列函数图象(2) y(6) y2x2(1 x)2xxeex22- 2(8) y x3 (x 2).§ 7方程的近似解（第158页）31.求 x220得实根到三位有效数字.3求方程x0.538s inx 1的根的近似值，精确到0.001.总练习题（第158-16

14、0页）1 证明：若f（x）在有限开区间(a, b)内可导，且 lim f (x)x alim f （x）,则至少存在一点x b(a,b),2 证明：若x 0，贝UI f_111(1) x 1 x ，其中 (x)2jx(x)42(2) lim (x)x 01,lim (x)4 x0 .证明存在 （a, b），使得3.设函数f在a, b上连续，在（a, b）内可导，且aa b f(a) f(b)f( ) f ().4.设f在a,b上三阶可导，证明存在（a, b），使得5.对f(x) ln(16 设a1 , a2 ,证明：（1）lim f(x)x 0(2) lim f (x)7 .求下列极限:(1)

15、lim (1x 11f(b) f(a) -(b a)f(a)x）应用拉格朗日中值定理，试证:an为n各正数，且f(x)max a1, a2,2、1/ln(1 x)；x丿,an1ln(1x)1 3f(b)存b a)f ().0，有xa2nxan（2）xm0xex ln(12-x2(3)x sin lim x 0 sin x8 设0，函数f在U （a; h）内具有n 2阶连续导数，且(n 2) (a)0 , f 在 U (a; h)内的泰勒公式为明叫Hhh9.设k 0 ,试问k为何值时，方程 arctanx kx 0存在正实根.10.证明：对任-多项式p(x),定存在X1 与 X2，使 p（x）在

16、（,Xj 与(X2,）内分别严格单调.11.讨论函数x2.1xsin ,x0,f(x)2x0,x 0,(1)在x 0点是否可导？(2)是否在x0的一个邻域，使f在该邻域内单调？12设函数f在a,b上二阶可导，f (a) f (b)0，证明存在一点(a, b)，使得4f ( )2 f(b) f(a) (b a)13 设函数f在0, a上具有二阶导数，且f (x) M , f在(0, a)内取极最大值试证f (0) f (a) Ma 14 设 f 在0,)上可微，且 0 f (x) f(x) ,f(0)0 证明：在0,)上 f (x)0 15 设f (x)满足f (x) f (x)g(x) f (x)0，其中g(x)为任一函数.证明：若f(Xo)f(XJ0 ( XoXj,则 f 在Xo, X上恒等于 0 16 证明：