三角恒等变换的常用技巧

1、三角恒等变换的常用方法肖新勇解答三角函数问题， 几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。 三角恒等变换的公式很多，主要有同角三角函数的基本关系 ”、诱导公式”、和、差、倍、半角公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的 差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点， 也是三角问题 难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等 变换的常用技巧。一、 角变换角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把 朱知角”分解成 已知角”的和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。.

2、 2肩“ 如 兀1 3 3兀7兀 亠sin2x + 2sin x砧/古例1 已知cos x +丨=,c x £ ，求的值。丿 5441-ta nx【分析】考虑到 已知角"是x + ，而朱知角"是x和2x，注意到x = x + I -,4I 4丿 4可直接运用相关公式求出 sin x和cosx。3 7ji【解析】因为x ，所以二：:x2二，4 44:2二，sin( 兀3又因为cos x + | = 一 >0，所以<4)5 角共在”的式子，因此既要通过 切化弦”减少函数名称，又要用倍角公式来统一角，使函数 式更简明。=sin x + icos - cos

3、xl 4丿 4 Isin 二447、210从而cosx =2102十" 2sinxcosx+2sin x 28 原式=1 - tanx75【点评】(1)若先计算出cosx -，则在计算sin X时，要注意符号的选取；(2)10本题的另一种自然的思路是，从已知出发，用和角公式展开， 次方程组求出sinx和cosx但很繁琐，易出现计算错误。 二、名变换名变换是为了减少函数名称或统一函数而实施的变换， 显的特征，如已知条件中弦、切交互呈现时，最常见的做法是 公式、倍角公式和万能置换公式，平方关系也能进行名变换。结合平方关系”通过解二元二需要进行名变换的问题常常有明切弦互化”，但实际上，诱导

4、例 2 已知向量 a = (1 -tan x,1) , b = (1 sin 2x cos2x,0)，求 f (x)二 a b 的定义域和值域;【分析】易知f (x) =(1 - tanx)(1 - sin 2x cos2x)，这是一个 切弦共存”且单、倍【解析】f(x) =(1tan x)(1 sin 2x cos2x)1 - SinX 12 sin xcosx 2 cos2 x 一1cosx=2 cosx sin x cosx sin x二 2cos2x由 cosx=0得，xk ,k Z, 2cos2x =-2 2所以，f（x） =2cos2x.的定义域是*xx Hk兀Z *，值域是（一2

5、,2】.【点评】本题也可以利用万能置换公式先进行弦化切”变形后再进行 切化弦”求解.三、常数变换在三角恒等变形过程中， 有时需将问题中的常数写成某个三角函数值或式，以利于完善220 /丁式子结构，运用相关公式求解，如1 = sin x cos x， 1 = tan45 ， 、3 = tan 等.366例3（ 1）求证：（2）化简:【分析】第（1）1 -sin x -cos x 3 ；4 '1 -sin x -cos x 2sin 2x 丿3 cos2x .小题运用 1 = （sin2 x + cos2 x $ 禾口 1 = （sin2 x + cos2 x 把分子、分母 都变成齐次式后

6、进行转化；第（2）小题实际上是把同一个角的正弦、余弦的代数和化为熟悉的y =Asinx :的形式，有利于系统研究函数的图象与性质【解析】（1）左边=22 x 3.6(sin x cos x) - sinx - cos6 x(sin2 x cos2 x)2sin4 xcos4 x2 22 sin xcos x_ 3sin2 x cos2 x(sin2 x cos2 x)32it(2)原式=si n2x tan cos2x3jisinsin 2xcos cos2xs in二 sin 2x 3 cos2x 二33JlKcoscos33【点评】“1的变换应用是很多的，如万能置换公式的推导，=2sin

7、2x + I<3丿实际上是利用了1二sin2x cos2 x把整式化成分式后进行的，又如例 4中，也是利用了 1 = tan45，把分式变成了整式四、边角互化解三角形时，边角交互呈现，用正、余弦定理把复杂的边角关系或统一成边，运用代数运算方法求解，或统一成角，运用三角变换求解例 4 在.：ABC 中，a、b、c分别为角 A、B、C 的对边，且 2a sinA = (2b+c) sinB +(2c+b) sinC， 2a sin A 二(2b c)sin B (2 c b)sin C(1) 求角A的大小；(2) 若sinB sinC =1，证明. ABC是等腰三角形【分析】本题的条件集三角

8、形的六元素于一身，看似复杂，但等式是关于三边长和三个角的正弦的齐次式，所以可用正弦定理把角”化为边或把边化为“角”来求解。【解析】(1)(角化边)由正弦定理 bc 得，si nA si nB si nC2 2 2 22a = (2b c)b (2c b)c，整理得，a = b c bc，2 2 2所以 cosA=b c 2bc一丄，因为0 ： A 二，所以A-23(2)解法一 (边化角)由已知和正弦定理得,22sin A = (2sin B sin C)sin B (2sinC sin B)sin C221即 2sin A=2(sin B sinC) -2sin BsinC，从而 sinBsi

9、nC 二一，41 又sinB sinC =1，所以 sinB = sinC =-所以B =C， ABC是等腰三角形解法二 由(1)知B C ，C3B，代入 sin B sinC = 1 得, 3sin B + cosB -一sin B =1，所以 sin + B | = 1，<3TtJT-B=-，32ji所以B二一6【点评】第(理的结构，第(2)C ， ABC是等腰三角形61)小题 化角为边”后，把已知条件转化为边的二次齐次式，符合余弦定小题的解法一之所以 化边为角”，是因为不易把条件 sin B + sinC = 1化为边的关系，而把条件2asin A =(2b c)sin B (2c

10、 b)sin C转化为边的关系却很容易;解法二的基本思路是消元后统一角，再利用“化一公式”简化方程五、升降幂变换当所给条件出现根式时， 常用升幕公式去根号，当所给条件出现正、余弦的平方时，常用降幕”技巧，常见的公式有：1 - sinx ="2 x 丄 x I “ 丄c 2 xsin cos ， 1 cosx 二 2cos -2 2 2 'x1-cosx=2sin2 ,可以看出，从左至右是 幕升角变半”而从右至左则是 幕降角变倍2例 5 化简：,1 sin6-：h_sin6【分析】含有根号，需“升幕”去根号【解析】原式=,sin2 3 cos2 3 2sin3cos3sin23

11、 cos23-2sin3cos3=si n 3 + cos3 + |si n 3 - cos33ttt f 叽、因为丄 c3 £兀，所以 sin3 + cos3 = J2sin 3 <0， sin3 cos3> 0，4<4丿所以，原式二 _(sin 2 cos3) (sin3cos3) = _2cos3.【点评】升降幕技巧”仅仅是解题过程中的一个关键步骤，只有有效地整合各种技巧与方法才能顺利地解题。如例7中用到了常数变换技巧”六、公式变用几乎所有公式都能变形用或逆向用，如sin 二sin2 ，cos二竺生，2co呦2sinatan二tan： =tani用二l：,.1

12、_tan_：itan：等，实际上，常数变换”技巧与升降幕”技巧等也是一种公式变用或逆用技巧.例 6 求值：（1） cos20 cos40 cos60 cos80 ；（2） tan70 -tan10 - 3tan70 tan10。【分析】第（1）小题中，除60是特殊角外，其他角成倍角，于是考虑使用倍角公式；第（2）小题中两角差为 60，而.3是两角差的正切值，所以与两角差的正切公式有关。【解析】（1）原式=sin40 sin802sin20 2sin40cos60sin 1602si n80sin 160丄16sin 20 - 16(2)原式=tan(70 -10 )(1 tan 70 tan 10 ) - 一 3 tan 70 tan10 = -, 3。【点评】第（1）小题的一般性结论