函数型不等式的解法

1、函数型不等式的解法在数学学习中“等”与“不等”是建立各种量之间关系的桥梁，在函数中，常常利用函数的性质（单调性）来解不等式。下面举例从三个角度进行简单的分析。一直接法xyO例1.2014年I15设函数f(x)=ex-1,x<1x13,x1;则使得f(x)2成立的x的取值范围是_.解析：由x<1ex-12或x1x132解得x8。所以使得f(x)2成立的x的取值范围是(-,8.你能否作出f(x)的图象，观察图象得出f(x)2的解集了？由图象可知f(x)是R上的增函数，有f(8)=2, 所以使得f(x)2成立的x的取值范围是(-,8点评：在解不等式的过程中，应用到了基本初等函数y=ex与

2、y=x13的单调性,说明解决函数类不等式问题一般都需要研究函数的单调性。二图像与性质法例2(1)(2018全国卷)设函数，则满足的的取值范围是（ ）ABC D(2)2015年12设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x2，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是( )xyOA(13,1) B(-,13)(1,+)C(-13,13) D(-,-13)(13,+)解析：（1）由基本初等图象与性质可知f(x)在（-,0上递减，在（0，+）恒为1. 所以f(x+1)<f(2x)等价于x+1>2x2x<0,解得x<0（2）因为f(-x)=ln(1+|x|)-1

3、1+x2=f(x),所以f(x)是偶函数，又y=ln(1+|x|)与y=-11+x2都在0，+)上递增。所以f(x)>f(2x-1)等价于|x|>|2x-1|,解得13<x<1.所以x的取值范围是(13,1)点评：借助函数图象与性质(单调性)，利用单调性的定义，去掉对应关系f来解不等式，在解题过程中作出图象更直观，有助于辅助分析。xyO-4-3-2-11234-4-3-2-11234三图象法例3.2012年11当0<x时，4x<logax，则a的取值范围是_分析：a>1时，4x>logax恒成立，不符合题意，所以0<a<1;当x=12

4、时，412<loga12解析：经分析0<a<1,结合函数图象有0<a<1412<loga12,解得22<a<1点评：画画图象有助于解题哟！四分类讨论例4（2017新课标）设函数，则满足的的取值范围是_分析：由于这里有常数1的存在，利用单调性去f不是很合适，所以根据分段函数的处理方式讨论：根据x，x-12与0的大小关系进行讨论，也就是x与0、12的大小关系讨论。解析：(1)当x0时，x-12<0，原不等式等价于x0x+1+x-12+1>1解得-14<x0(2) 当0<x12时，x-120, 原不等式等价于0<x122x

5、+x-12+1>1解得0<x12xyO-3-2-1123-3-2-1123(3) 当x>12 时，x-12>0, 原不等式等价于x>122x+2x-12>1解得x>12所以的解集为（-14，+）点评：对上面解法分析，第(2)(3)两种情况的解集就是讨论的范围，说明(2)(3)两种情况下原不等式是恒成立的。我们也可以结合f(x)的图象对不等式进行分析求解。 结合图形可知x>0时不等式成立，x0时，有x+1+x-12+1>1，解得-14<x0，所以的解集为（-14，+）通过以上几题的分析研究，我们在研究函数类不等式的时候一定要作出函数的图象，并研究函数的基本性质（单调性，奇偶性，周期性等）。利用图象与性质去解决函数不等式问题巩固反馈1. 2013年12若存在正数x使2x(x-a)1成立，则a 的取值范围是_2. 2013年12已知函数f(x)=-x2+2x,x0lnx+1,x>0,若|f