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文档简介
1、二项式定理题型及解法1. 二项式定理:(a+bf =C:an +活亦朴 +C;an丄b+山 +。;(N),2. 基本概念: 二项式展开式:右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。 二项式系数:展开式中各项的系数 cn (r =0,1,2,n). 项数:共(r 1)项,是关于a与b的齐次多项式 通项:展开式中的第 r 1项C;anbr叫做二项式展开式的通项。用 .i.=cnanbr表示。3. 注意关键点: 项数:展开式中总共有 (n 1)项。 顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。(a b)n与(b - a)n是不同的。 指数:a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐
2、项增到n,是升幕排列。各项的次数和等于n. 系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是cnwc;,C:,cn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论:令 a =1,b =x,(1 +x)n =Cr +C;x +C:x2 +)朴 +C;xr| +C;xn(n N*)令 a =1,b = x, (1x)n =丄一dx+clx2川 +cnxr +|i + (1)nC:xn( n5. 性质: 二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即c0 = cn,c: 二项式系数和:令 a =b=1,则二项式系数的和为 c0+C: +川+C|+C;=2n,变形
3、式cn +C:州I +C:十川+C:=2n1。 奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和:在二项式定理中,令a=1,b1,则C:-C: C:-C;川-(_1)nC:二(1 -1)n= 0 ,从而得到:c0 c2 c4Cn -c1 - c3 c;r 1 二1 2n = 2nJ2 奇数项的系数和与偶数项的系数和:(a x)n =c0anx0-C1anjxc2anxMlC:a0xn=a yx1a?x2 a.xn(x a)n = Ca0xn- C1axn J cna2xnC:anx0= anxna2x2 a1x1 a0令x =1,则ao a1 a2 a a (a 1)n令x=1,则a-印飞2_玄3
4、an=(a_1)n得,a0 a2 a4川an二(a 一1)(奇数项的系数和)2-得,a1 a3 a5川an =3 心1(偶数项的系数和)2n 二项式系数的最大项:如果二项式的幕指数n是偶数时,则中间一项的二项式系数c取得最大值。n 二 n 1如果二项式的幕指数 n是奇数时,则中间两项的二项式系数 cF,C仟同时取得最 大值。 系数的最大项:求(a bx)n展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别(Ar i _ A为Ai,A2,An.1,设第r 1项系数最大,应有,从而解出r来。厲申K Ar比6. 二项式定理的一种考题的解法:【题型一:二项式定理的逆用】【例 1 】:C:+C
5、; 6+C; 62 十卄|+C; 6n=.解:(1 +6):+C: 6 +C; 62 +C; 6 +川 +C; 6:与已知的有一些差距,1a C: +C2 6+C; 61 +Cnn 6n=6(cn 6 + C; 6| + C: -6:)111(Cn C: 6 C: 62 IH - C: 6: -1)(1 6): -1(7: -1)666练 1 】:C:+3C:+9C; + 川+3:。:=.解:设 S: =C: +3C: +9C; +川 +3:叱:,则3S:二C:3 :32 C;33 卅| - Cn3C - C:3 C;32 C;33 川 C;3: 一 1 = (1 3): 一 1-S:(1 3
6、): -13:4 -13【题型二:利用通项公式求X:的系数】【例2】:在二项式(#丁+頂):的展开式中倒数第 3项的系数为45,求含有x3的项的系数?解:由条件知 C:1 =45,即 C =45,:2-:-90=0,解得:-9(舍去)或: -10,由1210卡102Tr.1 =C;0(xB10(x3)r =C;0X丁由题意 -10 r -3,解得 r =6,43贝V含有x3的项是第7项T6 1二0怎3 =210x3,系数为210。1【练2】:求(X2 -)9展开式中x9的系数?2x解: Tr1 =c9(x2)9(-丄)r 二C;x182(-l)rx二C9()rx2r,令 18-3r =9,则
7、r =32x22121故x9的系数为C;()3 :22【题型三:利用通项公式求常数项】【例3】:求二项式(x2 +)10的展开式中的常数项?2 Jx解:Tr 19r0(x2)1051 20 rC;()rx2,令258 1 84520 r = 0,得 r = 8,所以 T?二 G()二22256【练3】:1 6求二项式(2x)的展开式中的常数项?2x解:Tr 1 =C;(2x)2(T)r(丄)=(T)rC;26_r()rx6,令 6 -2r =0 ,得 r =3,所以2x233T4 =(-1) C6 一201【练4】:若(X2十一):的二项展开式中第5项为常数项,则:=.x解: T5 -Cn(x
8、2):4(1)C4x2:*2,令 2: -10 ,得:=6.x【题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项】【例4】:求二项式(JX賓)9展开式中的有理项?1127 J解:Tr 1 二 c;(x2)9 丄(-X3)r =(-1)rC;xF,令z,( 0汀乞 9)得 r = 3 或 r =9,6所以当 r =3时,=4,T(-1)3c93x84x4,6当 r =9 时,=3,T10 =(-1)3C;x3 =-x3。6【题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】【例5】:若(J7二)n展开式中偶数项系数和为256,求n.解:设 (x2 - 3 打 )n展开式中各项系数依次设为 a。,an
9、,Jx令X 二1,则有 aoaa0,,令x=1,则有 a。-a1 a?- a3-1)na 2n,将-得:2(a-ia3a5)=-2n,.a1a3a5=-2n,有题意得,-2n二 -256 = -28,n = 9。【练5】:若( + 5 士)n的展开式中,所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解:C: C: C:Q:rE-C1 -Cn3Cnrd -2nJ,2n_l=1024,解得 n =1195(.3:)6(所以中间两个项分别为n -6, n =7,T5,1 J12 )5 =462,T61 =462 x 15【题型六:最大系数,最大项】1【例6】:已知(一+2x)n,若展开式中第5叽第6
10、项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少?解:C: C: =2C;,. n2-21 n,98=0,解出n =7或n =14,当n =7时,展开式中二项式系数最大1 351的项是T4和T5. T4的系数 二C3()423,,T5的系数 二c;()324 =70,当n=14时,展开式中2 22二项式系数最大的项是T8, T8的系数=74(丄)727 = 3432 。2【练6】:在(a +b)2n的展开式中,二项式系数最大的项是多少?叨1,也就是第n 1项。【练7】:在(2解:二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大,即n的展开式中,只有第 5项的二项式
11、最大,则展开式中的常数项是多少?解:只有第5项的二项式最大,则5,即n =8,所以展开式中常数项为第七项等于C;(*)2 =7【例7】:写出在(a-b)7的展开式中,系数最大的项?系数最小的项?解:因为二项式的幕指数 7是奇数,所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等,且同时取得最大值,从,._343434而有T4 - -C7a b的系数最小,TC7a b系数最大。1【例8】:若展开式前三项的二项式系数和等于79,求(一+2x)n的展开式中系数最大的项?2解:由 C:+C: +C; =79,解出 n=12,假设 T十项最大,;g + 2x)12 = (f)12(1+ 4x)12A i - A
12、r_Ci?4r J,化简得到9.4乞r乞10.4,又:0乞r乞12 , r =10,展开式.Ar Ar Z C;24r _C;214r 1 中系数最大的项为 T11,有T1(1)12C112)410x10 =16896x10【练8】:在(1+2x)10的展开式中系数最大的项是多少?解:假设Tr 1项最大1二C;。2r xrAjAr0;2_C;0J2rJ2(11r)_r,1 r =1010 解得),化简得到6.3乞k乞7.3,又A 1 Ar .2c;2r _C1r012r 1,r 1 2(10 r)r n【练12】:若3Jx -!的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为多少? 依丿解:
13、令x=1,则的展开式中各项系数之和为2n=64,所以n = 6,则展开式的常数项为【例c;(3 X)3 C 1 )3vx13】:若(1_2x)2009-540.IJx丿=a x1 a?x2 a3X3 V a2009X2009 (x R),则号 寺2009 的值为1aa2a2009a1a2a2009解:令xq,可得a三王一尹* 汀 ” P在令x =0可得a二1,因而号0:;009二-1.554321【练 13】: 若(x2) =a5X +a4X +a3X +a2X +3x +a,则&+a2+a3+a4+a5 =解:令x=0得 a二-32,令x =1得 a。a1a2a3a4a -1,a1 a2 a
14、3 a4 a5 =31.【题型十一:整除性】【例14】:证明:3” $ _8n -9(n N )能被 64整除证:3-8n -9 9 -8n -9 = (8 1) -8n -9丸0屛卅 +C:Mn + +c:;82 :我1-8n -9=c0十8n4h +cn比8n + +C;82 +8(n +1) +1 _8n _9 = C:比8n卅 + C:比8n + + C;82由于各项均能被64整除.32n 2 -8n -9(n N*)能被64整除以上是二项式定理应用的十一种典型题型,可概括为三个方面的应用:二项式的展开式及组合先 项原理的应用;通项公式的应用(求指定项如第三项、倒数第二项、含有x2项、
15、常数项、有理项、无理项等,还可求系数最大的项):赋值法的应用。另外,在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。练习:1. 已知(a+b)n展开式中各项的二项式系数之和为A.14B.132. ab0,a+b=1,(a+b)9 展开按-,5.nA.B.8 192,则(a+b)n的展开式中项数共有(C.12D.15a的降幕排列后第二项不大于第三项4 45 5,则a的取值范围是(C.D.(1,+ g)3在 2x2 一 1的展开式中含常数项,则自然数n的最小值是()B.3A.2B.3C.4D.54. 设(、2 +x)10=ao+a1X+a2X2+a1ox10,贝H(ao+a2+a4+ a10)2-(a1+
16、a3+ + a9)2的值是(A.1B.-1C.0D.( . 2 -1)5. 设(1+x)+(1 + x)2+(1 + x)3+ +(1 + x)n=ao+a1X+a2X2+an xn,当 ao+a1+a2+ + an=254 时,n 等于A.5B.6C.76. 在(1- x)4n+1展开式中系数最大的项是A.第2n项C.第2n项和第2n+1项7. (1 + x)3+(1 + x)4+ +(1 + x)9+(1 + x)10 展开式中 x3项的系数是A. C10B. C10C. C118. C10 2C10 4C10 2 C10 的值为(1 9C. (2 -1)2x最高次项为X10的系数为(D.8( )B.第2n+1项D.第2n+2项10( )D. C1110A.3 X 210B.39.多项式(1-2x)6(1+x)4展开式中,10 2(x 2) (x -1)的展开式中 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 A.160B.240C.360求(1 + x+x2)7(1-x)8展开式中x10的系数.10.111213.已知(旦-x14.,x)9的展开式中x3的系数为;21 -|x|
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