二项式定理题型及解法

1、二项式定理题型及解法1. 二项式定理：(a+bf =C：an +活亦朴 +C；an丄b+山 +。；(N),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a - b)n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 cn (r =0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第 r 1项C；anbr叫做二项式展开式的通项。用 .i.=cnanbr表示。3. 注意关键点： 项数：展开式中总共有 (n 1)项。 顺序：注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。(a b)n与(b - a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐

2、项增到n，是升幕排列。各项的次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是cnwc；,C：,cn.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论：令 a =1,b =x,(1 +x)n =Cr +C；x +C：x2 +)朴 +C；xr| +C；xn(n N*)令 a =1,b = x, (1x)n =丄一dx+clx2川 +cnxr +|i + (1)nC：xn( n5. 性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即c0 = cn，c： 二项式系数和：令 a =b=1,则二项式系数的和为 c0+C： +川+C|+C；=2n,变形

3、式cn +C：州I +C：十川+C：=2n1。 奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a=1,b1，则C：-C： C：-C；川-(_1)nC：二(1 -1)n= 0 ,从而得到：c0 c2 c4Cn -c1 - c3 c；r 1 二1 2n = 2nJ2 奇数项的系数和与偶数项的系数和：(a x)n =c0anx0-C1anjxc2anxMlC：a0xn=a yx1a?x2 a.xn(x a)n = Ca0xn- C1axn J cna2xnC：anx0= anxna2x2 a1x1 a0令x =1,则ao a1 a2 a a (a 1)n令x=1,则a-印飞2_玄3

4、an=(a_1)n得,a0 a2 a4川an二(a 一1)(奇数项的系数和)2-得,a1 a3 a5川an =3 心1(偶数项的系数和)2n 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数c取得最大值。n 二 n 1如果二项式的幕指数 n是奇数时，则中间两项的二项式系数 cF，C仟同时取得最 大值。 系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别(Ar i _ A为Ai,A2,An.1，设第r 1项系数最大，应有，从而解出r来。厲申K Ar比6. 二项式定理的一种考题的解法：【题型一：二项式定理的逆用】【例 1 】：C：+C

5、； 6+C； 62 十卄|+C； 6n=.解：(1 +6)：+C： 6 +C； 62 +C； 6 +川 +C； 6：与已知的有一些差距,1a C： +C2 6+C； 61 +Cnn 6n=6(cn 6 + C； 6| + C： -6：)111(Cn C： 6 C： 62 IH - C： 6： -1)(1 6)： -1(7： -1)666练 1 】：C：+3C：+9C； + 川+3：。：=.解：设 S： =C： +3C： +9C； +川 +3：叱：，则3S：二C：3 ：32 C；33 卅| - Cn3C - C：3 C；32 C；33 川 C；3： 一 1 = (1 3)： 一 1-S：(1 3

6、)： -13：4 -13【题型二：利用通项公式求X：的系数】【例2】：在二项式(#丁+頂)：的展开式中倒数第 3项的系数为45，求含有x3的项的系数？解：由条件知 C：1 =45，即 C =45，：2-：-90=0，解得：-9(舍去)或： -10，由1210卡102Tr.1 =C；0(xB10(x3)r =C；0X丁由题意 -10 r -3,解得 r =6，43贝V含有x3的项是第7项T6 1二0怎3 =210x3,系数为210。1【练2】：求(X2 -)9展开式中x9的系数？2x解: Tr1 =c9(x2)9(-丄)r 二C；x182(-l)rx二C9()rx2r，令 18-3r =9,则

7、r =32x22121故x9的系数为C；()3 ：22【题型三：利用通项公式求常数项】【例3】:求二项式(x2 +)10的展开式中的常数项?2 Jx解:Tr 19r0(x2)1051 20 rC；()rx2,令258 1 84520 r = 0，得 r = 8，所以 T?二 G()二22256【练3】:1 6求二项式(2x)的展开式中的常数项?2x解：Tr 1 =C；(2x)2(T)r(丄)=(T)rC；26_r()rx6，令 6 -2r =0 ,得 r =3，所以2x233T4 =(-1) C6 一201【练4】：若(X2十一)：的二项展开式中第5项为常数项，则：=.x解: T5 -Cn(x

8、2)：4(1)C4x2：*2，令 2： -10 ,得：=6.x【题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项】【例4】：求二项式（JX賓）9展开式中的有理项？1127 J解：Tr 1 二 c；（x2）9 丄（-X3）r =（-1）rC；xF，令z,（ 0汀乞 9）得 r = 3 或 r =9，6所以当 r =3时，=4，T（-1）3c93x84x4，6当 r =9 时，=3，T10 =（-1）3C；x3 =-x3。6【题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和】【例5】：若（J7二）n展开式中偶数项系数和为256，求n.解：设 （x2 - 3 打 ）n展开式中各项系数依次设为 a。,an

9、,Jx令X 二1,则有 aoaa0,，令x=1,则有 a。-a1 a?- a3-1）na 2n,将-得：2（a-ia3a5）=-2n,.a1a3a5=-2n，有题意得，-2n二 -256 = -28，n = 9。【练5】：若（ + 5 士）n的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。解：C： C： C：Q：rE-C1 -Cn3Cnrd -2nJ，2n_l=1024，解得 n =1195（.3：）6（所以中间两个项分别为n -6, n =7，T5,1 J12 ）5 =462，T61 =462 x 15【题型六：最大系数，最大项】1【例6】：已知（一+2x）n，若展开式中第5叽第6

10、项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？解：C： C： =2C；,. n2-21 n，98=0,解出n =7或n =14，当n =7时，展开式中二项式系数最大1 351的项是T4和T5. T4的系数 二C3（）423,，T5的系数 二c；（）324 =70,当n=14时，展开式中2 22二项式系数最大的项是T8, T8的系数=74（丄）727 = 3432 。2【练6】：在（a +b）2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少？叨1，也就是第n 1项。【练7】：在（2解：二项式的幕指数是偶数2n,则中间一项的二项式系数最大，即n的展开式中，只有第 5项的二项式

11、最大，则展开式中的常数项是多少?解：只有第5项的二项式最大，则5，即n =8,所以展开式中常数项为第七项等于C；（*）2 =7【例7】：写出在（a-b）7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解：因为二项式的幕指数 7是奇数，所以中间两项（第4,5项）的二项式系数相等，且同时取得最大值，从,._343434而有T4 - -C7a b的系数最小，TC7a b系数最大。1【例8】：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求（一+2x）n的展开式中系数最大的项？2解：由 C：+C： +C； =79,解出 n=12，假设 T十项最大，;g + 2x）12 = （f）12（1+ 4x）12A i - A

12、r_Ci?4r J，化简得到9.4乞r乞10.4，又:0乞r乞12 , r =10，展开式.Ar Ar Z C；24r _C；214r 1 中系数最大的项为 T11，有T1(1)12C112)410x10 =16896x10【练8】：在(1+2x)10的展开式中系数最大的项是多少？解：假设Tr 1项最大1二C；。2r xrAjAr0；2_C；0J2rJ2(11r)_r，1 r =1010 解得)，化简得到6.3乞k乞7.3，又A 1 Ar .2c；2r _C1r012r 1,r 1 2(10 r)r n【练12】：若3Jx -!的展开式中各项系数之和为 64，则展开式的常数项为多少？ 依丿解：

13、令x=1，则的展开式中各项系数之和为2n=64，所以n = 6,则展开式的常数项为【例c；(3 X)3 C 1 )3vx13】：若(1_2x)2009-540.IJx丿=a x1 a?x2 a3X3 V a2009X2009 (x R),则号 寺2009 的值为1aa2a2009a1a2a2009解:令xq,可得a三王一尹* 汀 ” P在令x =0可得a二1,因而号0：；009二-1.554321【练 13】： 若(x2) =a5X +a4X +a3X +a2X +3x +a,则&+a2+a3+a4+a5 =解：令x=0得 a二-32,令x =1得 a。a1a2a3a4a -1,a1 a2 a

14、3 a4 a5 =31.【题型十一：整除性】【例14】：证明：3” $ _8n -9(n N )能被 64整除证：3-8n -9 9 -8n -9 = (8 1) -8n -9丸0屛卅 +C：Mn + +c：；82 :我1-8n -9=c0十8n4h +cn比8n + +C；82 +8(n +1) +1 _8n _9 = C：比8n卅 + C：比8n + + C；82由于各项均能被64整除.32n 2 -8n -9(n N*)能被64整除以上是二项式定理应用的十一种典型题型，可概括为三个方面的应用：二项式的展开式及组合先 项原理的应用；通项公式的应用(求指定项如第三项、倒数第二项、含有x2项、

15、常数项、有理项、无理项等，还可求系数最大的项)：赋值法的应用。另外，在题型上还可以与数列、函数等知识相结合。练习：1. 已知(a+b)n展开式中各项的二项式系数之和为A.14B.132. ab0,a+b=1,(a+b)9 展开按-,5.nA.B.8 192,则(a+b)n的展开式中项数共有(C.12D.15a的降幕排列后第二项不大于第三项4 45 5，则a的取值范围是(C.D.(1,+ g)3在 2x2 一 1的展开式中含常数项，则自然数n的最小值是()B.3A.2B.3C.4D.54. 设(、2 +x)10=ao+a1X+a2X2+a1ox10,贝H(ao+a2+a4+ a10)2-(a1+

16、a3+ + a9)2的值是(A.1B.-1C.0D.( . 2 -1)5. 设(1+x)+(1 + x)2+(1 + x)3+ +(1 + x)n=ao+a1X+a2X2+an xn，当 ao+a1+a2+ + an=254 时，n 等于A.5B.6C.76. 在(1- x)4n+1展开式中系数最大的项是A.第2n项C.第2n项和第2n+1项7. (1 + x)3+(1 + x)4+ +(1 + x)9+(1 + x)10 展开式中 x3项的系数是A. C10B. C10C. C118. C10 2C10 4C10 2 C10 的值为(1 9C. (2 -1)2x最高次项为X10的系数为(D.8( )B.第2n+1项D.第2n+2项10( )D. C1110A.3 X 210B.39.多项式(1-2x)6(1+x)4展开式中，10 2(x 2) (x -1)的展开式中 在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为 A.160B.240C.360求(1 + x+x2)7(1-x)8展开式中x10的系数.10.111213.已知(旦-x14.,x)9的展开式中x3的系数为；21 -|x|