数列常见解题方法

1、数列解题方法一、基础知识:数列：1 .数列、项的概念：按一定的鱼排列的一列数，叫做数列,其中的 每一个数叫做数列的项.2 .数列的项的性质：有序性,；1隹性-；可重复隹,.3 .数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表 示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a , Q2 , Q3 ,Qn , (.),简记作.其中如是该数列的第旦项，列表图氧技符号法、列举法、解析法、公式法(通项公式、递推公式、求和公 式)都是表示数列的方法.4 .数列的一般性质：单调性：周期性.5 .数列的分类：按项的数量分：有穷数列、无穷数列；够相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列

2、、 其他；按项的变化规律分：差一数列、.比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列.6 .数列的通项公式：如果数列两的第万项商与它的序号n之间的函数 关系可以用一个公式(“).,5国上速会钊版集£1 ,2二L n)来表示,那么这个公式叫做这个委攵列的.通项公式.数列的项是 蓿薮列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置,是自 变量的值.由通项公式可知数列的图象是更醺_，点的横坐标是 项 的序号值，纵坐标是各项的值.不是所有的数列都有通项公式谶列的通项公式在形式上未必唯一.7 .数列的递推公式：如果已知数列6的第一项(或前几项)，且任一项 Q/7与它的前一项Qn-1

3、(或前几项0.1 , On-2，)间关系可以用一个公式 ( a- ) ( c=2 3)(或 %( q a)m=3,4,5 ,)、)猱关,那么这个公式叫做这个数别的 递罹公式一8 .数歹!I的求和公式：设Sn表示数歹lQn和前n项和，即S产二Qi+Q2+. i=l+如，如果Sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式Sn=/(n)(n=1 f2, 3,)来表示,那么这个公式叫做这个数列的盅畛五.9.通项公式与求和公式的关系：通项公式如与求和公式的关系可表示为：),、 3“一，T(n2 2)等差数列与等比数列：等差数列等比数列文 字 定 义一般地，如果一个数列从第二 项起，每一项与它的刖一项的 差是同

4、一个常数，那么这个数 列就叫等差数列，这个常数叫 等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二 项起，每一项与它的前一项的 比是同一个常数，那么这个数 列就叫等比数列，这个常数叫 等比数列的公比。符 号 定 义必二q(q工0)分 类递增数列：d>。 递减数列：d<0 常数数列：d =。递增数列：0, q > 1 或a V 0,0 < g < 1递减数列：q < 0, q < 1 或 > 0,0 < < 1摆动数列：”0 常数数列：，/ = i通项an =+ (n - i)d = pn + q = am +(n- m)d 其中 p = d

5、,q = q_dn-ln-m ,八、册=%q = amq (#0)1 i 刖n项和s = "m*；"1') = + "(")" = pn2 + qn 其中 p=，q=q-gs J-(3)s=，l-qlq (q = i)中项a,8c成等差的充要条件:2b = o + c凡b,c成等比的必要不充分条件：b2=ac主 要 性质等和性：等差数列吗若777 + 7?= p + q贝J%+%=%,+%推论：若m+n=2p则 a,n+an=2aPan+k + an-k 2。ai + an = % + an-l = % + an-2 = 即：首尾颠倒相

6、加，则和相等等积性：等比数列叫若m+H = p + q贝!J推论：若m + n = 2p则 册,%=3)2a+k n-k (。)ai，an a2 an-l a3 ,。-2 二即：首尾颠倒相乘，则积相等其1、等差数列中连续,项的和， 组成的新数歹I是等差数歹I。即：SmCzm S?”，S3/ $2，/ Z差为 m2d 则有 s31n = 3(s2w-5/m) 2、从等差数列中抽取等距离的1、等比数列中连续项的和， 组成的新数列是等比数列。即： S,”占-%,S3,”76,等比，公比为2、从等比数列中抽取等距离项组成的数列是一个等差数 列。如.al9a4,a7,al09-(下标成等差的项组成的数列

7、是一个等比数 列。如.%,%,哈 (下标成等差它数歹1)数歹1)3、也畿，则& ,*,3、4，也等比，则/，*，机+可，/%+处也等差。也4、等差数列吗的通项公式是也等比。其中心。的一次函数,即：4. =曲+ C ( d00 )4、等比数列的通项公式类似等差数歹1m的前项和公式于的指数函数，是一个没有常数项的的二次即：a = cqn ,其中 c = 5 q函数，即：Sn = An2 +. 0)等比数列的前项和公式是 一个平移加振幅的的指数函性5、项数为奇数2一1的等差数歹1有：数，即:sn=cqn-c(ql)5、等比数列中连续相同项数S有 ,S偶一q一。中S偶 1的积组成的新数列是等比

8、数质S?”T=(2 1招”项数为偶数2的等差数列有：工-/ s偶 _ s奇=nds偶4+1%=(q+4.)6、%=加4 = 则4+“ =。% = %则%+” =。("% =见 s,” = 贝！J %+“ = + n)列。证 明 方 法证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：矶-d（常数）2、中项法：% + /+ =2/（之 2）证明一个数列为等比数列的方 法：1、定义法:以=式常数）2、 中项法：0T ,凡+1 =（凡5 之 2M“ ¥ 0）设元技巧一数等差.a-d,a9a+dP.。-3dM-+ 3d二数等比：9政或见在收？ q四数等比：42M夕3联系1、若数列也是等差数

9、列，则数列仁”是等比数列，公比为C", 其中C是常数，d是仇的公差。2、若数列也是等比数列，且“。，则数列g叫是等差数列, 公差为log”夕，其中是常数且。0,"1 , q是q的公比。数列的叫与前项和S”的关系：苜；U数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊 数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列（如果的等差，低等比，那么地叫 做差比数列）即把每一项都乘以也的公比夕，向后错一项，再对应同次项相 减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限6几项，可求和。适用于数列上:阿十（其中的等差）

10、可裂项为：丁=90一巳）I11=-4（5/+?- M） 回+后d等差数列前项和的最值问题:1、若等差数列处的首项外 。，公差d0 ,则前项和S”有最大值。 （i ）若已知通项。.，贝！k最大。二;（ii ）若已知s” = p/+w ,则当取最靠近-产的非零自然数时s.最大;2P2、若等差数列也的首项。，公差d。，则前项和s”有最小值（i ）若已知通项。.，贝！k最小。厂;1%+；°（ii ）若已知s” = .J+w ,则当取最靠近-产的非零自然数时s.最小； 2P数列通项的求法：（1）公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式。已知S.（即+凡=/（）求知 ,用作差法：/=+、?（之

11、2）。已知 an =“）求。“，用作商法：«,=/（）52）。已知条件中既有S.还有勾，有时先求S.，再求 ；有时也可直接求八若%+% = /（）求应用累加法： 4=a- %）+m”T - %-2）+（生）+（心2）。已知&£ = /（）求知 ,用累乘法：.包”（之2）。 an% a-2%已知递推关系求一用构造法（构造等差、等比数列）。特别地，（1 ）形如。lMt+以见=姐"/ （ »为常数）的递推数列求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、由s”求劣(n=l时，a=Sj n 之 2时，an = Sn -S)3、求差(商)法如：aj满足;a+：a

12、2 + aa=2n + 5<1>解：n=l时，=2x1 + 5, *.al = 14nN2时，+-a2 + TTTan-i = 2n-1 + 5<2><1>一<2> 得： -an = 2 G n+1 a = 2 C14 (n = 1)-an =12n+i (nN 2)练习数列aj满足Sn+S"| =gan+】，a1=4,求an4、叠乘法例如：数列aJ中，a】=3, '生an 12n-1. an1 , =3 n a】n2-_3乂a=3， * ann5.等差型递推公式由an-2时1 = f(n)，a, =a0,求a。，用迭加法n &

13、gt; 2时,a2 -at = f(2)23 a2 = f(3)两边相加，得:an-an-l = f(n)Sn-ai = f(2) + f(3)+f(n)Aan =a0 + f(2) + f(3) +f(n)练习数列aj，a1=1, a0=(11N2),求a06.等比型递推公式a0= cai+d (c、d为常数，cwO, cwl, d . 0) 可转化为等比数列，设+X= cEt + x) na= caT+(c l)x令(c-l)x = d, .'.x = 0+31是首项为与+旦，C为公比的等比数列9练习数列aj满足a1=9,3an+l+an=4» 求7、倒数法例如：a1=1

14、, an+1由已知得：1 1 _ 1an+lan 2, 为等差数列，-=1,公差为1 anJ312j=l + (n1) 1 = 1(n+l) n,_ 2，an - nTT数列前n项和的常用方法：1.公式法：等差、等比前n项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的 项。n 1如：aj是公差为d的等差数列，求£- k=l kk+1解：由-511(d * 0)Vak ak+i/练习求和:1 H1F H1+2 1+2+31+2+3+n3.错位相减法：若aj为等差数列，bj为等比数列，求数列agj （差比数列）前n项和，可由Sn-qSn求Sn，其中q为bj的公比。如：Sn = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 +iix11-1< 1 >x Sn = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 +(n- l)xn-1 + nx11 < 2 >< 1 > - <2 > ： (1- x)Sn = 1 + x+ x2 +xn-1 - nxXW1时，Sn =11X(1-X