必修一值域求法

1、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设f(x)是一次函数，且ff(x) 4x 3,求f(x)ff(x) af(x) ba(ax b) ba2x ab b解：设 f (x) ax b (a °),则配凑法：已知复合函数fg(x) 的表达式，求f(x)的解析式,fg(x)的表达式容易配成g(x)的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x) 的值域。已知f(x1) x(x0)求f (x)的解析式解:1 f(x -)x(x1)2 2 x三、换元法：已知复合函数注意所换元的定义域的变化2,2f(x) x2 2 (x 2)f

2、g(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要2Vx，求 f (x 1)1 x (t 1)2f(Vx四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法。例4已知：函数y xx与yg(x)的图象关于点(2,3)对称，求g(x)的解析式解：设M(x, y)为y g(x)上任一点,(x , y )为M (x，y)关于点(2,3)的对称点6 y代入得:f (x)满足 f (x)1 2f x1f(x) 2f xx 显然占M八、(x,y )在 yg(x)上 y4)24)整理得y7x 6x,求 f(x)X °，将X换成1f (_) 得 x2f(x)解联立的

3、方程组，得f(x)x 23 3xf (x)设f (x)为偶函数，g (x)为奇函数，又g(x)、x 1试求f(x)和g(x)的解析式f (x)为偶函数,g(x)为奇函数， f( x)f (x) g (x)f (x), g( x) g(x)又 ' '9' 'x)即f(x)g(x)解联立的方程组，得.1f(x)x 1,g(x)六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。例7 已知:f1,对于任意实数x、y,等式 f(x y) f(x) y(2x y 1)恒成立，求 f(x)解：

4、对于任意实数x、v,等式 f(x y)f(x) y(2x y 1)恒成立，不妨令x 0,则有f( y) f(0)y( y 1) 1 y(y 1)y 1再令 y x得函数解析式为:f (x) x2 x七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系, 迭代等运算求得函数解析式。则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者例8设f(x)是定义在N上的函数，满足f(1)1,对任意的自然数a,b都有f(a)f (b)f(a b) ab,求 f(x)f(a)f (b) f(a b)ab, a,b N不妨令a x,b 1 ,得:f(x)f(1)f(x 1) x又 f (1)1,故 f(x1) f(x)分别令

5、式中的x1,2l|nf (2)f (3) llllll得：f(n)f (1)f(2)f (nf(n) f(1) 23 n,f(n) 12,3,1)n，将上述各式相加得:n(n 1) n 2UM t1 一 x, x N22.4.求下列函数的解析式(1)已知 f(x+1)=x2-3x+2,求 f(x). (2) 已知 f(x)+2f( x )=3x,求 f(x)的解析式8.已知 f (x)是一次函数，且2f(x)+f(-x)=3x+1函数值域求法十一种1.直接观察法对x£ R恒成立，则f (x)=对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.一，y 求函数x的值域。解：: x显然函

6、数的值域是：(,0) (°,)例2.求函数y 3 Jx的值域。解：.vx、- X0,3 x3故函数的值域是：,32.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例3.求函数y x2X 5,x 1,2的值域。解：将函数配方得：y(x 1)2 4 . x1,2由二次函数的性质可知:x=1 时，ymin1时，y max 8故函数的值域是：4 ,83.判别式法例4.求函数2 x-2-x的值域。解:原函数化为关于x的一元二次方程(y 1)x2 (y1)x(1)当V 1时,2(1)4(y 1)(y1) 0解得:(2)当 y=1 时，x0,故函数的值域为例5.求函数y.x(2 x)的值域。解：

7、两边平方整理得:2x2 2(y21)x y0 ( 1) x4(y 1)2 8y0解得：11 4,但此时的函数的定义域由x(2 x) 0,得0 x-Ov 2由 0 ,仅保证关于x的方程：2x 2（y0 , 2上，即不能确保方程（1）有实根，由21）x y 0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0求出的范围可能比 y的实际范围大，故不能确定此函数可以采取如下方法进一步确定原函数的值域Ox 2 y x x(2 x) o ymin0，y 1五代入方程（1）解得:x12，2 24、20,2即当x122 2 24 ,2时，原函数的值域为:0,1 、 2注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域

8、不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的 部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例6.求函数5x6值域。35故所求函数的值域4 为:5.函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。y46yyT二解：由原函数式可得:例7.y求函数xexe1的值域。解：由原函数式可得:x1.1 ey10.-. y10解得： 1 y 1故所求函数的值域为 （1,1)例8.一，y 求函数cosxsin x 3的值域。sinx(x解：由原函数式可得:y sin x cosx3y ,可化为: y1 sin x(

9、x) 3y即)3y ,y2 1.x R.-. sinx(x1)11即3y 1y2 1解得:22二 y44故函数的值域为5y 3则其反函数为：5x3 ,其定义域为:6 .函数单调性法x 5例9.求函数y 210g 3 Vx 1 (2 x 10)的值域。x 5解：令 V12 ，y210g3dx 1则y1,y2在2 , 10上都是增函数所以V y1y2在2, 10上是增函数当x=2时,y minlog 3.212 58 当 x=10 时，ymax 21og3 . 933故所求函数的值域为:18,33例10.求函数y以 1 VX 1的值域。2y 解：原函数可化为：x 1 x 1令y1x 1，y2增函数

10、所以y y1, y2在1，上也为无上界的增函数ox 1,显然y1，y2在1，上为无上界的所以当x=1时，y y1y2有最小值、历，原函数有最大值2显然y °,故原函数的值域为(0, 27 .换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元 法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数y x& 1的值域。解：令X1 t,(t 0)则 x t2 121 2y t t 1 (t 2)又t 0 ,由二次函数的性质可知当t 0时，ymin 1当t 0时，y故函数的值域为1，)例12.求函数y x 2V1

11、 (X 1V的值域。22解：因1 (X 1)0即(* 1)1故可令x 1 COSy cos 1 , 1 cos2sin cos 12sin( ) 104,0故所求函数的值域为0，1'2例14.求函数yx3 x 2x21的值域。解：原函数可变形为:2x1 x2 x2 yx可令xtg，则有2x2 xsin 2 ,311 x22 cos1y -sin 2 cos221-sin 448时,y max8时,y min而此时tan有意义。故所求函数的值域为12 2的值域。例 14.求函数 y (sinx 1)(cosx 1)解：y (sin x 1)(cosx 1) sin x cosxsin x

12、cosx 1 令 sin xcosxt，则1)1 z.2sinx cosx (t 2y 2(t21)2(t1)2sin xcosx、2 sin(xx/4)且,12 2可得:t *2 时,y maxt 32时,2故所求函数的值域为15.求函数y xx 一 5 cos ,0,y5 cos.10sin(一) 44故所求函数的值域为:45,4/ 4 时，y max4师当时，y mind08.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结 合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目例16.求函数y U(x 2) V(x 8)的值域。解：原函数可化简得

13、:y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A(2) , B( 8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y |x 2| |x 811AB | 10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y |x 2| |x 811AB | 10故所求函数的值域为：10， 例亿求函数y xX 6x 13 xX4x 5的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B( 2, 1) 的距离之和，22由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin |AB | V(3 2)(2 1)J43 ,故所求函数的值域为 43,例18.求函数y xX 6x 13

14、 xX4x 5的值域。22-22解：将函数变形为：y (x 3)(0 2). (x 2)(0 1)上式可看成定点 A (3, 2)到点P (x, 0)的距离与定点 B( 2,1)到点P(x,0) 的距离之差。即：y 1Api lBp|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点 P',则构成 ABP',根据三角形两 边之差小于第三边，有11Ap'| |BP'111AB .(3 2)2 (2 1)2、26即： 26 y 26当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有11Api |BP| 1ABi、领综上所述，可知函数的值域为：(26,、-26注：

15、由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A, B两点在x轴的同侧。如：例17的A, B两点坐标分别为：(3, 2), ( 2, 1),在x轴的同侧；例18的A, B两点坐标分别为(3,2) , (2, 1) ,在x轴的同侧。9.不等式法3利用基本不等式a b 2vab,a b c 3Yabc(a,b,c R)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式 时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例20.求函数y(sin xsin x2/) (cosx)2 4cosx的值域。解：原函数变形为:

16、当且仅当x ktanx cotx 即当4时(kz),等号成立故原函数的值域为:5,)例20.求函数y 2sinxsin2x的值域。解：y4 sinxsinx 8sx4sin2xcosx当且仅当sin2sin2sin x,即当3时，等号成立。6427可得:8.399故原函数的值域为:10.映射法原理:axy 一因为 cxb /(c d0)-4在TE义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围1 3x例21.求函数2x1的值域。|x解：.定义域为1 3x x2xU x2y 3故1 y2y 31 y2y 3y 3或y解得 22故函数的值域为11.多种方法综合运用y例22.求函数x 2x 3的值域。解：令t x 2(t0),则t2t t2(1)当t 0时,(2)当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为:即x 1时取等号，所以y例23.求函数注：先换元，后用不等