微积分下册期末试卷及答案

1、中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案06年砥I 评 rss I分I 人f (x y,-)=1、已知x-to 一x 2e,dx 二2、已知，则，0-x2i e dx 二二22点取得极值.3、函数f(x，y)=x +刈+y 丫+1在4、已知 f（x，y）=x+（x+arctany）arctany ,则 f；（1,0）=.3x评 分阅卷 人5、以y=（C1 C2x）e （C1，C2为任意常数）为通解的微分方程是二、选择题（每小题3分，共15分）02e dxe dx1 . p 46知。与1 xln x均收敛，则常数p的取值范围是（）.(A)

2、 p 1(B) p ：1(C) 1 二 p :2(D) p 2中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案f(x,y)=4xx2 y0,22X2 y2 = 0是因为该函数(22x y =0在原点间断, ).(A) (B) (C) (D)I18、若X211 31f2-y2dxdy 12y2 <1II 31 - x2 - y2dxdy 1 x2 y2 22.在原点无定义在原点二重极限不存在在原点有二重极限，但无定义在原点二重极限存在，但不等于函数值).1131 -x2 - y2dxdy22.7，则下列关系式成立的是9、(A)(C) I 1 I 2 I 3(B)(D)I 2 I1 I 3I

3、 2 : I1 : I 3方程y、6y ' 9y = 5(x , 1)e3x具有特解().(A) y =ax b(c)y =(ax2 bx)e3x(B)(D)/I、 3xy =(ax b)ey 二(ax3 bx2)e3xQOQ0- an- (-1) an10、设"收敛，则旧 (A)绝对收敛 (B)条件收敛).(C)发散(D)不定三、计算题(每小题6分,共60分)评 分丫轴旋转的旋转体的体积.311、求由y =x：x=4,y =0所围图形绕中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案评 分评阅 人12、求二重极限22评 分评阅 人-2二 z13、z=z（x，y）由z+eZ=

4、xy确定，求-:x：:y评 分评阅 人22/414、用拉格朗日乘数法求z=x +y +1在条件x+y =1下的极值.评 分评阅 人x1 y 一idy . 2eydxy15、计算2中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案评 分评回 人(x2 y2)dxdy2216、计算二重积分d，其中D是由y轴及圆周x + y =1所围成的在第一象限内的区域.评 分评阅 人17、解微分方程y"=y"x中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案评 分评阅 人18、判别级数n壬(-.n3 1 - . n3的敛散性.19、将函数3-x展开成x的幕级数,并求展开式成立的区间评 分评阅

5、人20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 .根据统计资料，销售 收入R（万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用乙（万元）之间的关系有 如下的经验公式：R =15 14x1 32x2 -8x1x2 -2x12 -10x2求最优广告策略.四、证明题（每小题5分，共10分）评 分21、设z=ln(x3+y3),证明:.Z；:z1x一 y一 二一.x二 y3Q0工2Un22、若也QOQ0、V2（' （UnVn）2与堂都收敛，则也收敛.答案一、填空题（每小题3分，共15分）2x （1 - y）1 21、1 + y . 2、/3、（3,3）.4、1. 5、y"-6

6、y'+y二、选择题（每小题3分,共15分）6、（C ）.7、 （B）.8、（A ） .9、（D）.10、（D）.三、计算题（每小题6分,共60分）311、求由y=x2,x=4,y=。所围图形绕y轴旋转的旋转体的体积32，一 、，23解：y X的反函数为X_y ,y A0。且X = 4时，y=8。于是（3分）（6分）82V、（42-y3）2dy =16二（8-0）8 40 y3dy12、解:13、二128二-二512ji7求二重极限=lim x 0 原式 y Qlim x0 y03 - y7=128兀-n077符-0）x2y2 1-1（x2 y2）（ x2y2 1 1）x2 y2 1 -

7、1（3分）=l * x2 y2 T 1） =2y0z=z（x，y） 由z+eZ =xy确定，求 2 二 z.:x；:y（6分）解：设 F（x,y,z）=z + ez-xy ,则Fx = -y Fy = -xFz.xFxFzFzy：ZFy1 ez 1 ez-2 :z.x f y-y1 ez -yyz ；Z1x1 ezx1 ez（3分）14、用拉格朗日乘数法求（1 ez）1ezze xy（1 ez）2（6分）z =x2 + y2 +1在条件x+ y =1下的极值.解.z = x2 （1 - x）2 1 = 2x2 - 2x 21x 二一x令z'=4x2 =0,得2 ,z"=4&g

8、t;0,22.故 Z=x +y +1 在 y=1-x12为极小值点.1 1、（一，一）（3分）3下的极小值点为2 2，极小值为2 （6分）中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案1x1y yidy y2e dx15、计算2解:x1 y二 idy eydx2（6分）16、计算二重积分 一象限内的区域.22!.!.(x y )dxdy22d,其中D是由y轴及圆周x +y =1所围成的在第解:（x2 y2）dxdy,dJr3dr-D 0-08（6分）17、解微分方程y"=y"x.解：令p = y：yp：方程化为p'=p+x,于是 一（）dx（）dxp =e（ xe

9、 dx CJ =ex（ xedx C1）= ex-（x 1）e" C1 = -（x 1） Gex. x12 x一 y = pdx = L（x 1） Ce dx = - （x 1）CeC22（3分）（6分）'、（n3 1 - . n3 -1）18、判别级数的敛散性.43+1 - Vn3 -1 = ,2 ,解：n3 , 1 , ;n3 -1n3 1 - .n3 -1n；n .lim二 lim 二 1n '二1_n3 1；n3 -1因为n，n（3分）（6分）19、将函数3-x展开成x的幕级数，并求展开式成立的区间中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案3 -x解：由

10、于11 -3 ,已知1 -xO0L n-xn=0, 一1 < x <1,（3分）那么1 二 一3nq00 dn 二 v， on 1 n =0 3nx-3 二 x :二 3（6分）.根据统计资料，销售 %（万元）之间的关系有20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 收入R（万元）与电台广告费用x1 （万元）的及报纸广告费用 如下的经验公式：R =15 14xi 32x2 -8x1x2-2x'-10xf求最优广告策略.22解：公司利润为 L = R- x1 - x2 = 15 , 13k , 31x2-8x1x2 - 2x1 -10&J；令修-13-8x2

11、 -4x1 =0,=31 -8x1 -20x2 =0,4x1 +8x2 =13,即 8x1 +20x2 =31,得驻点A = Lx；xi3 5（xi,x2） y,二）=（0.75,1.25）4 4，而,=-4 < 0 B = Lx；* = -8 C = LX2X2 = -20（3分）2D =AC -B =80 -64 0,所以最优广告策略为：电台广告费用0.75（万元），报纸广告费用1.25（万元）.（6分）四、证明题（每小题5分，共10分）；z：:z1x y 一 二一：:x2 y31设 z =ln（x3-1 -2 3z3x1y3）,证明:z证:-11 ,x33x3y3-11y x3 y

12、3；x3v，3-x11 y 11x3 y3 x3 y3（3分）1 x；3 +x'3lx3 +y3 ）（6分）"22'(Un Vn)222、若也 与u 都收敛，则也 收敛.22222、证：由于 0W(Un+Vn) =/ +Vn +2UnVn M2(Un +Vn),(3分)QOQOoO'、U2'、v2'、 2(u2 v2)并由题设知一 与1 都收敛，则n二 收敛，oOv (Un Vn)2从而n-收敛。(6分)06年B卷评 阅卷、填空题（每小题3分，共15分）分 人y、22f (x -y,-) = x-y f( x v)二1、设 x，则 f ( X

13、, y ) 223、设函数f（x，y）=2x +ax + xy +2y在点。7）取得极值，则常数 a =.4 已知 f （x, y） = x + y（x + v14 + arctany）,则 fx'（1,0）=5、以y=aex +C2e3x（G,C2为任意常数）为通解的微分方程是.评 I阅卷二、选择题（每小题3分，共15分）|分|人6、已知,0与 xln x均收敛，(A) P 0则常数p的取值范围是（）.(B) p ： 0(C) p 二 1(D) 0 : p ：1227、对于函数 f（x，y）=x -y ,点（。，0）（）（A）不是驻点（C）是极大值点（B）是驻点而非极值点（D）是极小

14、值点1,则(A)(B)11 I2(C)Ii ： I2(D)Ii2Ii = .(xy)2d二 I2 = .(x y)3d:2/ 八28、已知 D, D，其中 D为(x -2) +(y1)().9、方程y“-5y，6y=xe2x具有特解（）.(A)(C)y = ax by = (ax2 bx)e2x(B)(D)y = (ax b)e2xy =(ax3 bx2)e2xQOOO'、（T）n2n加'、an10、级数nT收敛，则级数修（）.（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不定三、计算题（每小题6分,共60分）评 分评 分评阅 人311、求y=x, y=0,x=2所围图形绕

15、x轴旋转的旋转体的体积评 分评阅 人12、求二重极限lim(xsin ysin) x 0 y )0评 分评阅 人z= arctan 山与13、设/xy，求改.中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案评 分评阅 人14、用拉格朗日乘数法求f（x，y）=xy在满足条件x + y = 1下的极值.015、计算1o xexydy评 分评阅 人ii Jx2 y2dxdy2216、计算二重积分D，其中d是由y轴及圆周x +(y-1) =1所围成的在第一象限内的区域.评 分评阅 人17、解微分方程xy1y' = 0.评 分评园 人18、判别级数nm 1nl的敛散性.f（x） =1/19、将函

16、数 x展开成（X 3）的幕级数.中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案20、某工厂生产甲、乙两种产品，单位售价分别为40元和60元,若生产x单位甲产品，生产y单22、位乙产品的总费用为20x 30y 0.1（2x -2xy+3y/100,试求出甲、 乙两种产品各生产多少时该工厂取得最大利润.四、证明题（每小题5分，共10分）评 分,22221、设 u "lny z ,证明222二 u二 u二 u 1222222；x27Fz2 ) x yz'、 a2'、' b2'、' anbn22、若与I 都收敛，则n壬 收敛.07年A卷、填空题（每小

17、题3分，共15分）评 分阅卷 人1、设 Z=X+y + f(xy)，且当 y = 0 时，z = X2 ,则 z=dx32、计算广义积分1 x =.3、设 z 二exy,贝U dZ(1,1) _. LC_ 2x4、微分方程y -5y +6y=xe具有 形式的特解.二二 i i" Un =44 一万二5、设 n4,贝 口注122 ),、选择题（每小题3分，共15分）评分一阅卷 人3sin( x2 y2)lim22x 0 x . y6、1Pxy 的值为().(A) 3(B) 0(C) 2(D)不存在7、fx（x。，y。）和 fy（x。,y。）存在是函数 f（x，y）在点（x。，y。）可微

18、的（）.（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件（C）充分且必要的条件（D）即非充分又非必要的条件2222/8、由曲面z = Bx -y和z =。及柱面x +y =1所围的体积是（）.(A)(C)02d ：r 4-产力d?.4-r2dr。(B)(D)4 2d； ! ：4-r2dr- 0- 0二.14 2dl r . 4 - r dr .。9、设二阶常系数非齐次线性方程y"+py'+qy = f(x)有三个特解yi=x, y2=ex,_ 2xy3 =e ,则其通解为().(A) x Ciex C2e2x(B) Cix Czex C3e2x(C) x C1(ex-e2x)C2

19、(x -ex)C1(ex-e2x)C2(e2x-x)中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案10、无穷级数Q0Zn 1(-1广(A)收敛 (C)发散(p为任意实数)(B)绝对收敛(D)无法判断).三、计算题(每小题6分,共60分)评 分11、求极限y 0 xy 1评 分评阅 人12、求由y = x与直线x=1、x=4、y=。所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案；z ；z , 13、求由e =与艮所确定的隐函数z = z（x,yq偏导数玲x制.评 分评阅 人3,2-214、求函数 f（x，y）=x -4x +2xy-y 的极值.评 分评回 人1

20、5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用为（万元）的及报纸广告费用力（万元）之间的关系有如下 的经验公式：22R=15 14Kl 32x2 -8x1x2 - 2为-10x2.若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.评 分评阅 人-d-_16、计算积分d x，其中d是由直线y = x, y=2x及x=1,x=2所围成的闭区域.中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案f(x)满足18、求解微分方程xf(t)dt =2xf(x) x0，且f=0,求f(x).2y- y=0.1 -yZ 19、求级数一(x-2)n的收敛区

21、间.评 分评阅 人不 sin(2n x)如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是20、判定级数nJ n!是否收敛,条件收敛.中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案四、证明题（每小题5分，共10分）评 分21、设正项级数 u n.u nun 1一 收敛，证明级数n， 也收敛.评阅 人z 二一y z22 .证明22、设 f(x -y)，其中f(u)为可导函数,1 ：:z 1 ：:z z +=-2x .x y .y y07 （A）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分，共15分）1、设 z=x +y + f（x _y）,且当 y = 0时，z = x2 ,则 z =

22、。22（x -2xy+2y+y）二 dx1.1 1 二、2、计算广义积分x =。（ 2 ）3、设彳葭，则阳广。（e（dx+dy）2x22X4、微分方程y -5y +6y-xe具有 形式的特解.（ax +bx）e）QO% Un =4。（1）5、设吗二、选择题（每小题3分，共15分）1、A.3lim x_0 y03sin(x2 y2)22x +y的值为B.0(A )C.2D.不存在2、,fx（x。，y0）和fy（x0, y0）存在是函数f（x, y）在点（x0,y0）可微的A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。(A )。3、由曲面2v2222

23、dx y和z = 0及柱面x +y =1所围的体积是(D )。diA. 00r .4 - r2 drC、二 124 2dl 4 - r drB. 00；1 2d r . 4 - r dr -0D.4、设二阶常系数非齐次线性方程_ 2xy3=e ，则其通解为（C ）。x2xA x+Ce +C2e .x 2xx、C. x +C1（e -e ） +C2（x e ）py+ qy = f（x）有三个特解V2B.D._ x _2 xC1x C2exC3e；x 2x2x 、C1(e re ) C2 (e r x)5、无穷级数A、收敛"1）2_pTn （ p为任意实数）B、绝对收敛C、发散(D)D、

24、无法判断三、计算题（每小题6分，共60分）lim , xy _1、求下列极限：y 0 xy 1 -1lim 一 二 lim xy(、xy1 D 解：局向1武(xy+1)-1（3分）=lim( xy 1 1) = 1 1 = 2 y 0（6分）2、求由y=1x与直线x=i、x=4、y=0所围图形绕x轴旋转的旋转体的体积。Vx解：=兀2dx= 7.5 二（4分）（6分）-Z3、求由ez =xyz所确定的隐函数z=z（x, y）的偏导数Ex解：方程两边对x求导得：z fza:zyz ze = yz xy=-二-诙跳,有力 e -xy x(z-1)(3分)方程两边对y求导得：z ；:z；:z；:z x

25、z ze = xz xy =-=硒刘，有为 exyy(z1)(6分)3.2-24、求函数 f(x，y)=x -4x +2xy y 的极值。322解：f(x,y) =x -4x +2xy-y ,则2fx(x, y)=3x -8x 2yfy(x, y) = 2x。2yfxx(x, y) =6x-8fxy(x, y)=2fyy(x, y) -2,213x 8x+2y = 0,求驻点，解方程组l2x2y = 0,得(0,0)和(2,2).(2分)对(0Q)有以(0Q) =T<0, fxy(0Q)=2, fyy(0Q)=-2,于是B2 AC = 12 <0 ,所以(0，0)是函数的极大值点，

26、且f (0，0) =0.( 4分)对(2,2)有£氯2,2)=4, fxy(2,2)=2, fyy(2,2) = 2,于是B2AC =12 >0,(2,2)不是函数的极值点。(6分)5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R(万元)与 电台广告费用"（万元）的及报纸广告费用x2（万元）之间的关系有如下的经验公式: R=15+14x1 +必2 -8x1x2 -2x1 -10x2 .若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策 略.(3分)(5分)解：显然本题要求：在条彳x1,x2)=x +x2 -1.5 = 0下，求R的最大值.

27、令 F =15+13x1 +31x2 -8x1x2 -2x(2 -10x2 +K(x1 +x2 -1.5) 解方程组R =13-8x2 -4xi +f； -0,« Fx； =318Xi 20x2 +九=0,巾 Xi +x2-1.5 = 0,得：X1 = 0 X2 = 1.5所以，若提供的广告费用为1.5万元，应将1.5万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略.（6分）-d-6、计算积分D x，其中D是由直线y22x y-d;- - dx dy解：D x1x x.y =x,y =2x及x =1,x = 2所围成的闭区域;（4分）= 3.2xdx=92 14(6分)xf （t）dt =2

28、xf（x） x7、已知连续函数f（x）满足,0，且f- 0 ,求f （x）。解：关系式两端关于 x求导得：1f （x） =2f（x）+2x（x）+1 即 X +2x X- 这是关于f （x）的一阶线性微分方程，其通解为：12x上 1f(x) =e 2x( (-)e2x2x(一£,'x c)=二xxc)-1又 f (1) =0,即 c-1 =0，故 c=1,所以f(x)=-122y ；y8、求解微分方程1 - y =0。dpdp 22cy = ppp = 0解：令y = p，则 dy ,于是原方程可化为：dy 1 - ydp 2p=0-白dy2ipdy 1y，其通解为 p=c1

29、e=c1(yDdydx”(y-1)2dy- = c1dx 即(y-1)y =1 一故原方程通解为:1c1x c2Jx-2）n3 二9、求级数n- 7n 的收敛区间。Rim解：令t =x-2，哥级数变形为nT3/n, 二 1'、（-1） 3-当t = -1时，级数为n3Vn收敛；二 13 ;当t =1时，级数为nin发散.n“I故nnVn的收敛区间是”-1,。，= lim3n=1n - 3 nJ (x -2)n那么nmVn的收敛区间为Ix=1,3), （ 2分）（5分）（6分）（3分）（5分）（冽） （ 3分）（5分）（6分）Q0Z10、判定级数nsin(2n x)n!是否收敛，如果是收

30、敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。解：因为sin(2n x) 工 n! - n!(2分)（4分）:sin（2n x）I n!绝对收敛.（6分）、填空题（每小题3分，共15分）评 分阅卷 人（3分）（5分）（2分）（4分）（5分）（n 1）!lim ' / o 0X 1n 1由比值判别法知n苴n!收敛（Yn! ）,F sin（2n x）从而由比较判别法知n- n! 收敛，所以级数 四、证明题（每小题5分，共10分）un un un 11、设正项级数n 收敛，证明级数nW也收敛。1 ,unun1 -（un un 1）证：2,1 ,、（un un 1）、 u u d而由已知2收敛，故由比

31、较原则，乙Vunun41也收敛。y1 ：:z 1 ：:z zZ= - -=2222、设 f (x - y ),其中f (u)为可导函数，证明x冰 y w y .:z2xyf=-2证明：因为x f,；zf 2y2f：:y 一f21 Fz 1 :z2yf f 2y2f 1 z r=-+= 22r2所以 x " y cyf yf yf y .21、设 z=x +y+f(y-x),且当 x = 0 时，z=y ,则2=dx2 =2、计算广义积分1 x.3、设z=ln(1+x2 +y2),则dz(1,2) =4、微分方程y"-6y'+9y=5(x+1)e3x具有 形式的特解.

32、中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案:3n1Qn5、级数n 9 的和为6、选择题(每小题3分，共15分)lim x_0 y Q-223sin( x y )22x y的值为().(A) 0(B) 3(C) 2评分阅卷 人(D)不存在7、(xo, yo)可微的fx(x, y)和fy(x,y)在(x0, v。)存在且连续是函数f(x, y)在点).(A)必要非充分的条件(B)充分非必要的条件(C)充分且必要的条件(D)即非充分又非必要的条件8、由曲面z =).d r4-r2dr(A) 002 二 2 一o d<o 44(B)JI(C)-r2 dr4 2 du(D)0。2、4-2*9

33、、设二阶常系数非齐次微分方程2x% =e ,则其通解为(y"+py' + qy= f (x)有三个特解2xyi = xy2 = e).(B)(D)(A) Ci(ex-e2x) C2(e2x-x2,和z=0及柱面x +y =4所围的体积是)(C) x2 Ciex C2e2xCix2 C2ex C3e2xx2Ci(ex -e2x) C2 (x2 - ex)(T/n2p).QO z 10、无穷级数ni (A)无法判断 (C)收敛(p为任意实数)(B)绝对收敛(D)发散中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案三、计算题（每小题6分,共60分）评 分limx_011、求极限y

34、0评 分评阅 人12、求由在区间 转体的体积.0'万上，曲线y = sinx与直线兀x 二一2、y = 0所围图形绕x轴旋转的旋评分w人Fz江z,-,13、求由e -xyz = xy所确定的隐函数”水的偏导数 原 出.评 分评阅 人3314、求函数 f(x,y)=x -12xy+8y 的极值.评 分评回 人15、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用X（万元）的及报纸广告费用为（万元）之间的关系有如下 的经验公式：22R=15 14为 32x2 -8x1x2 - 24-10x2.若提供的广告费用为15万元，求相应的最优广告策略

35、.评 分评回 人（2x y）d。_16、计算二重积分d，其中D是由y = x,1 y =x及1=2所围成的闭区域.中南民族大学06、07微积分(下)试卷及参考答案f(x)满足xLf出十 2f(x)+x = 0,求 f(x).评 分评回 人：(x-3)n19、求级数修后的收敛区间.评 分评阅 人J cos(n x)如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是20、判定级数 n!是否收敛,条件收敛.中南民族大学06、07微积分（下）试卷及参考答案四、证明题（每小题5分，共10分）评 分匚 an'（an 0）21、设级数2 收敛，证明n也收敛.z=2cos2(x)2 o 022、设2 ,证明：武 改

36、部07年（B）卷参考答案（可能会有错误大家一定要自己核对）一、填空题（每小题3分，共15分）21、设 z=x y f （yx）,且当 X =0 时，z = y，则 Z =。（x2 -2xy +2x + y2）二 dx17小2、计算广义积分x =。（1）3、设 z = ln(1+x2 +y2),则 dz(1,2)4、3x微分方程y -6y +9y=5(x+l)e具有12-dx dy(33)形式的特解.(ax3+bx2)e3x)nJ 31c n5、级数n1 9 的和为、选择题（每小题3分，共15分）1、A、limX 0y03sin(x2 y2)22x+y的值为B、3(B )C、22、fx（x, 丫

37、台口fy（x, y）在（%,y0）存在且连续是函数D、不存在f（x, y）在点（，y。）可微的A.必要非充分的条件；B.充分非必要的条件；C.充分且必要的条件；D.即非充分又非必要的条件。3、由曲面z = :42222x -y和z = 0及柱面x +y =4所围的体积是2 二4-di r 4A. 00-r2dr4 2dl r 4 -r2drB. °°；C、02 dL2dr4 D.02dL24-r2dr4、设二阶常系数非齐次微分方程y"十py' + qy= f (x)有三个特解2y1 二 xV2y3 =e2x,则其通解为 IC1(ex -e2x) C2 (e

38、2x(D)2-x ).?C1x2C2ex C3e2x；C1exC2e2x；x 2x2 x、G(e -e ) C2 (x - e )5、无穷级数A、无法判断cO z n 1(-1n2p（p为任意实数）B、绝对收敛（A）C、收敛D、发散、计算题（每小题6分，共60分）xylim x 01、求下列极限：y0limx )0解：y-0xy=limx0y04 -(xy 4)xy(2 xy 4)（3分）=limx0 y 02 ,xy4 2 2（6分）JI0,T2、求由在区间 2上，曲线y=sinx与直线 体积。x =- 八2、 y二0所围图形绕x轴旋转的旋转体的解Vx=二:sin?xdx1 2=-n4（4分

39、）（6分）；z ；z3、求由ez xyz = xy所确定的隐函数z=z（x, y）的偏导数 沃yy 。解：（一）令 F（x, y, z） =ez -xyz-xy千：f=-yz- y =_ xz x则改，为，利用公式，得FF:z =；x 二-yz - y 二 yz y.xF_ez _xy ez -xy:z.:zz=e - xy干:zy - xz - x xz x :y £ ez -xy ez - xy:z（二）在方程两边同时对 x求导，得z ；z；ze - - yz- xy = yx二 x解出2 yz y-zx e - xy.z xz x-z同理解出y e -xy334、求函数f（x，

40、y）=x T2xy+8y的极值。33解：f （x，y） =x 12xy +8y ,贝u2fx（x，y）=3x -12yfy（x，y）-24y -12xfxx（x,y） =6xfxy（x，y） = -12fyy（x，y） = 48y,3x2 -12y =0,=2求驻点，解方程组124y 一甩得。和1）.对（0,0）有 （0，0）=0fxy（0,0）12, fyy（0,0）=0,于是B2 AC =144 >0 ,所以（0,0）点不是函数的极值点.对（2,1）有 %（2,1）=12, fxy（2,1）=-12, fyy（2,1） = 48（3分）1 （ 6分）1 （ 3分）1 （ 6分）（2分

41、）（4分）于是 B2AC=1 44 24 80 ,且 A = 12a0, 值,f （2,1）=23 -12x2x1+8x13 =85、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告所以函数在（2,1）点取得极小（6分）.根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用" （万元）的及报纸广告费用X2（万元）之间的关系有如下的经验公式: 22R=15 14x1 32x2-8XiX2 一2天 -10X2 .若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.解：显然本题要求：在条彳*(X1，X2)=X1-1.5 = 0下，求R的最大值.22令 F =15 +13x1 +31x2 -8x1x2 -