图像频谱分析

1、为了讲述图像和其傅立叶变换系数之间的关系，可以从最简单的看起，考虑一个16*16的傅立叶变换系数，其 F(-1,0)=-i & F(1,0)=i其他全部都是0，它的图像会是什么样的呢？-3-75-4-3-210347-S006Q凉0000ij0000000000町0do0aCi000o；N0Uu0O jcj0000-訂0lj00J)00ri0oQj)-4|60ij0006r.iii6bn000i)00J0O0 00G-2000000II儿0,0.a00G订|000g000qrio0II000000000今oij00Q00100a000000AijQ00n02|)0o0Q0000UG0Q0G30

2、000Cl0060000CiT目QVQ00oQ0000a000S00000000a0000c0000rjLlI0QciG7110000：06l0,o0ok0首先F(-h,-k)=F*(h,k)关于原点对称，所以其反变换肯定是实数图像，其结果为下图的左上角：右上角是F(-2,0)=-i& F(2,0)=i的反变换，当中是 F(-8,0)=1的反变换，下半部分是其侧面图。再考虑两个圆，一大一小，其傅立叶变换分别为:必#真cf th章of tfr* FT而 而相图像从圆心到外是由低频到高频的一个过程同心圆表示在不同方向上的同一频率频谱有明暗表示分解成的多个正弦波由于相位的不同叠加后就形成了有大小的分

3、别 位不同的正弦波又是由在不同位置的原图像的圆(也是不同位置的频率变化组成的) 可以看到大圆经傅立叶变换之后，其圆环小；而小圆经傅立叶变换之后，其圆环反而大。 这就和1维信号中的冲击函数一样，越尖锐变换越剧烈的信号总包含着更多的频率成分。再看一个沉浸在黑色之中的白条图像和其傅立叶变换:丁却二 /jutfwhi f fan&/ j Is /urjej trAftf/tfrjL Jb&dl空 rertJr*/f加 urfuJji of TAr F匸 %”曲：M W JSotfLf/j s?f fAr FT而水从前面一张图就可以预见，在垂直方向上需要更多的频率分量，所以它的波峰比较宽,平方向上的波峰

4、比较窄。然后如果将这个白条一直延长到图片的边界的话，其傅立叶变换会变成什么样？见下图Wu fefully *宇兵农蛙门 g旳ft匚”川 ifr Fogs上ur现在来看一条细线和它的傅立叶变换:Object *7 sh t * i fj /flurjer frinsjrtsjrA &工砂小 豪along Anxnf Jrfjrsrtjn tArdfA Fg卄“ specif ri/w 心鼻山才* frnfrr?通过前面可以理解，垂直方向上没有波峰，而水平方向上波峰很宽。那如果这条细线发生平移呢?Objt V jJir* swlAt 冷 前豪 fjrrt jrJjf but shifted,#畫戸

5、qu打郭r eranjf?rAfri/Af/ #dJcw期- MrzonZ dtrerfiPfl尸?也-er spm”(?rj/j：nijjwr grrt1它频域上的幅度特性和前面一样，改变的只是相位特性。如果图像中有两条这样的细线又会怎么样呢?uHUAaJif |.l|l.耳 r|. I 曲 U | (j智 sJi f J * xf J /i?trjrjrr fFMff打曲 irifM) iAxm 翊冷旳 eNj 阳 tArflfA /ffunrr jjw origincent er?是不是觉得有点怪，因为FTf(x)+g(x)=FTf(x)+FTg(x)是傅立叶变换的一个性质，但是这个相加

6、性是针对复数来说的，转换到幅度就看不出相加性了。如果这样的细线一条条等间隔加上去，其傅立叶变换会怎样呢?Object 3its Fourier trwsforM (right) t prcfiJe 7讥 rentaldirection through four2er sp&z origin (my cntr)Object 3 rJitj* its Fourier trwsforM (right) t prcfiJe 7讥 rentaldirection through four2er sp&z origin 6/r cntr)j isurjjfjr(rijht) f札?au眶 AsrjHTaJ

7、tArt?.ttfA F&ut*上 spAt srijfJLft Cijb吐曽 它电2电養可以看到随着细线的增加，频域上的波峰越来越细，并且波形之间的距离越来越远。如果是正弦条纹信号，它的傅立叶变换会是什么样?如果提高正弦条纹信号的频率，它的傅立叶变换会是什么样?很显然，和前面一副图比，它的频率离远点更远了。 如果正选条纹信号是这个样子呢？在频域上就这张图要你明白，图像是被当做周期性信号处理的，如果图片扩展不能衔接好,不是两个离散的点，而是由一系列点组成。再者，如果正弦波有一定角度的话，傅立叶变换会是怎么样?再看看，如果从条纹变成格子，其傅立叶变换又会是怎么样?Objectfjer* forMd by thf “currMce cf equidistant wd vtrfic sli ts tits Fourier trnfonObject Jeff fomed by the rcur“ng cf quidistant anrf hcruont1 slitsi its Fourier trmfon2If庁卄2E Re by，耐/JP Jaf/ J ts frirr trsfM再来看几种:sn ap357.jpgsn ap358.jpg!? s tr t4 0j 事5 TnMM? wwdj A