几何直观教学视角

1、建立几何直观的教学视角建立几何直观的教学视角黄玉香黄玉香 2014.112014.11 “小学数学新课标理念与实践研究小学数学新课标理念与实践研究”系列活动系列活动 专题一：数据分析观念培养（龟湖）专题一：数据分析观念培养（龟湖） 专题二：数学文化渗透（实小）专题二：数学文化渗透（实小） 专题三：基本活动经验解读与实践研究（三小）专题三：基本活动经验解读与实践研究（三小） 专题四：几何直观能力培养（二小）专题四：几何直观能力培养（二小） 专题五：推理能力培养专题五：推理能力培养 专题六：数学基本思想渗透专题六：数学基本思想渗透 专题七：良好学习习惯培养专题七：良好学习习惯培养 专题八：专题八：

2、“综合与实践综合与实践”难点透视难点透视 专题九：课程资源有效利用专题九：课程资源有效利用 专题十：学习评价研究专题十：学习评价研究活动背景活动背景几何直观在教学上更为深远的意义何在？几何直观在教学上更为深远的意义何在？应该建立怎样的几何直观教学视角？应该建立怎样的几何直观教学视角？ 一、几何直观的含义一、几何直观的含义 二、几何直观的作用二、几何直观的作用 三、几何直观的表现形式三、几何直观的表现形式 四、几何直观的两种层次四、几何直观的两种层次 五、相关术语的辨析五、相关术语的辨析 六、深度解读几何直观六、深度解读几何直观 七、几何直观在教学中的运用七、几何直观在教学中的运用建立几何直观的

3、教学视角建立几何直观的教学视角一、几何直观的含义一、几何直观的含义 几何直观主要指几何直观主要指利用图形描述和分析问题利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生几何直观可以帮助学生直观地理解数学直观地理解数学，在整个，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。数学学习过程中都发挥着重要作用。（20112011版课标）版课标）一、几何直观的含义一、几何直观的含义直观：直观：直接的观察，通过对事物的直接接触而获直接的观察，通过对事物的

4、直接接触而获得的感性认识；得的感性认识；几何：几何：在几何直观的语境下指图形；在几何直观的语境下指图形；几何直观：几何直观：就是就是而获得的对数学研究对而获得的对数学研究对象的感性认识。象的感性认识。 二、几何直观的作用二、几何直观的作用 认知心理学认为，学习是人脑内部复杂的信认知心理学认为，学习是人脑内部复杂的信息加工与组织过程。在这个信息加工与组织过程息加工与组织过程。在这个信息加工与组织过程中，中，而不是依据文字或符号叙述的定义定理。而不是依据文字或符号叙述的定义定理。视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交视角：由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角。物体越小或距离越远，视角越小

5、。叉而成的角。物体越小或距离越远，视角越小。思维的展开更倾向于思维的展开更倾向于依据直观形象的成分依据直观形象的成分思维的展开更倾向于思维的展开更倾向于依据直观形象的成分依据直观形象的成分“约分约分”高高三角形的高三角形的高看小说看小说1.451.541.4951.504三、几何直观的表现形式三、几何直观的表现形式 1. 实物直观（即实物图）实物直观（即实物图） 2. 替代物直观（已经具备一定的抽象性）替代物直观（已经具备一定的抽象性）3. 图形直观图形直观实实物物直直观观 实实物物直直观观 替代物直观替代物直观 小圆片、小三角形小圆片、小三角形 点子图点子图 小棒（单根、一捆、一箱）小棒（单

6、根、一捆、一箱） 小方块（单个、条、面、体）小方块（单个、条、面、体） 计数器计数器替替代代物物直直观观 替替代代物物直直观观 图形直观图形直观线段图（直条图、示意图）线段图（直条图、示意图）面积模型图（乘法分配律、面积公式）面积模型图（乘法分配律、面积公式）统计图（三种）统计图（三种）图形的变换（平移、旋转、轴对称）图形的变换（平移、旋转、轴对称）函数图（正反比例、看图找关系）函数图（正反比例、看图找关系） 四、几何直观的两种层次四、几何直观的两种层次1.1.直观感知直观感知2.2.直观洞察直观洞察（首次接触）（首次接触） 直直观观 洞洞察察例例2 2：观察发现：平移、旋转能够由轴对：观察发

7、现：平移、旋转能够由轴对称来实现。进而猜想：是不是所有的平称来实现。进而猜想：是不是所有的平移、旋转都能由轴对称来替代？移、旋转都能由轴对称来替代？ 直直观观 洞洞察察一般地，两次对折，当对称轴互相平行时，相当于一般地，两次对折，当对称轴互相平行时，相当于一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转一次平移；当对称轴相交时，相当于一次旋转 。 直观洞察直观洞察 （抽象性）（抽象性）直观感知直观感知 （直观性）（直观性）五、相关术语的辨析五、相关术语的辨析1. 几何直观与数形结合几何直观与数形结合2. 几何直观与空间观念几何直观与空间观念 1.1.几何直观与数形结合几何直观与数形结合数形结合数形结合

8、主要指借助主要指借助“形形”的直观来理解抽象的的直观来理解抽象的“数数”。（分数、行程问（分数、行程问题）题）“数缺形时少直觉，形少数时难入微。数缺形时少直觉，形少数时难入微。”( (华罗庚）华罗庚）用数表示变化规律：用数表示变化规律：1、3、5、7、9。用算式表示变化规律：用算式表示变化规律： 1、1+3、1+3+5、1+3+5+7、1+3+5+7+9 。规律表示：规律表示：25=1+2+3+4+5+4+3+2+1中心起点：中心起点：1 1红线上点数：红线上点数：1+3 4红蓝线上点数：红蓝线上点数：1+3+5 9红蓝黄线上点数：红蓝黄线上点数：1+3+5+（ ）（）（ ）红蓝黄绿上线点数：

9、红蓝黄绿上线点数： （ ）1.1.几何直观与数形结合几何直观与数形结合联系与区别联系与区别联系联系1 1：作用相同，旨在直观地理解数学；作用相同，旨在直观地理解数学；联系联系2 2：应用语境大致相同，很多语境下这两个词可以替应用语境大致相同，很多语境下这两个词可以替 换使用。换使用。区别区别1 1：数形结合是一种数学思想，几何直观更指向于课数形结合是一种数学思想，几何直观更指向于课程意识。程意识。区别区别2 2：外延不同。外延不同。找不到不是几何直观的数形结合，却找不到不是几何直观的数形结合，却可以找到不是数形结合的几何直观。可以找到不是数形结合的几何直观。2.2.几何直观与空间观念几何直观与

10、空间观念空间观念空间观念表现为对形体特征、位置关系、图形变换的想象与描述。表现为对形体特征、位置关系、图形变换的想象与描述。主要指根据物体特征主要指根据物体特征抽象抽象出几何图形，根据几何图形出几何图形，根据几何图形想象想象出出所描述的实际物体；所描述的实际物体；想象想象出物体的方位和相互之间的位置关出物体的方位和相互之间的位置关系；系；描述描述图形的运动和变化；依据语言的图形的运动和变化；依据语言的描述描述画出图形等。画出图形等。2.2.几何直观与空间观念几何直观与空间观念联系与区别联系与区别联系联系1 1：二者有重叠的部分，如二者有重叠的部分，如“根据几何图形想象出所描述根据几何图形想象出

11、所描述的实际物体的实际物体”等。等。联系联系2 2：几何直观是建立空间观念的有效手段。几何直观是建立空间观念的有效手段。区别区别1 1：空间观念即使脱离了具体情境也能想象出图形的形状空间观念即使脱离了具体情境也能想象出图形的形状与位置关系，而几何直观更强调借助图形而进行。与位置关系，而几何直观更强调借助图形而进行。区别区别2 2：空间观念更多局限在空间观念更多局限在“图形与几何图形与几何”内容领域，而发内容领域，而发展学生的几何直观能力需要依托数学课程的每个领域。展学生的几何直观能力需要依托数学课程的每个领域。六、深度解读几何直观六、深度解读几何直观1.1. 在各领域学习中，都要重视几何直观能

12、力的培养。在各领域学习中，都要重视几何直观能力的培养。从更长远看，从更长远看，几何直观的作用不局限于数学几何直观的作用不局限于数学。 2.2.对对“图形图形”的理解可以宽泛些，既可以是有形可视的理解可以宽泛些，既可以是有形可视的，也可以是无形想象的。的，也可以是无形想象的。 六、深度解读几何直观六、深度解读几何直观3.3.要看到图形的直观性，也要看到图形的抽象性。要看到图形的直观性，也要看到图形的抽象性。 4.4.几何直观是一种意识，也是一种能力，更是一种思几何直观是一种意识，也是一种能力，更是一种思维方式。维方式。5.5.直观本身不是目的，而是手段。直观本身不是目的，而是手段。 七、几何直观

13、在教学中的运用七、几何直观在教学中的运用1.1.规划几何直观能力培养的脉络主线规划几何直观能力培养的脉络主线2.2.创新几何直观运用的教学设计创新几何直观运用的教学设计 低年级：实物图低年级：实物图示意示意图图线段图线段图 中年级：开始有意识引导中年级：开始有意识引导学生掌握画示意图和线段学生掌握画示意图和线段图的要点和技巧。图的要点和技巧。 1.1.规划几何直观能力培养的脉络主线规划几何直观能力培养的脉络主线2.2.创新几何直观运用的教学设计创新几何直观运用的教学设计（1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质（2 2）巧用几何直观洞悉规则）巧用几何直观洞悉规则追问源

14、头追问源头（3 3）巧用几何直观明晰算理）巧用几何直观明晰算理追问思想追问思想（4 4）巧用几何直观探寻思路）巧用几何直观探寻思路还原本真还原本真（1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质动动态态呈呈现现动动态态呈呈现现（1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质动动态态呈呈现现（1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质反反面面干干扰扰 （1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质反反面面干干扰扰 （1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念反反面面干干扰扰 （1 1）巧用几何直观理解概

15、念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质外外延延拓拓展展 小红打一份材料用小红打一份材料用0.5小时小时小丽打相同的材料用小丽打相同的材料用1/3小时小时（1 1）巧用几何直观理解概念）巧用几何直观理解概念追问本质追问本质（2 2）巧用几何直观洞悉规则）巧用几何直观洞悉规则追问源头追问源头（2 2）巧用几何直观洞悉规则）巧用几何直观洞悉规则追问源头追问源头能被能被2 2、3 3、5 5整除的数，为什么整除的数，为什么2 2、5 5的倍数看个位？为什么的倍数看个位？为什么3 3的倍数要看的倍数要看各数位上的数字之和？各数位上的数字之和？ 36236（2 2）巧用几何直观洞悉规则）巧用几何直观洞悉

16、规则追问源头追问源头54（2 2）巧用几何直观洞悉规则）巧用几何直观洞悉规则追问源头追问源头123比例的基本性质 ？ 乘法分配律 ？（2 2）巧用几何直观洞悉规则）巧用几何直观洞悉规则追问源头追问源头分数除法，为什么除以一个分数除法，为什么除以一个数，等于乘这个数的倒数？数，等于乘这个数的倒数？ （2 2）巧用几何直观明晰算理）巧用几何直观明晰算理追问思想追问思想例例1 1：小明：小明2/32/3小时走小时走2 2千米，每小时走几千米？千米，每小时走几千米？板：板：2 22/32/3？师：怎么算呢？画个图试试吧。师：怎么算呢？画个图试试吧。板：板： 2/32/3小时小时师：从图中可直观地看出什

17、么？师：从图中可直观地看出什么？预设生：预设生：1/31/3小时走小时走1 1千米。千米。板：板：2 22/32/32 22 23 33 3师小结：一个数除以分数其实就是师小结：一个数除以分数其实就是先除以它的分子，算出一份先除以它的分子，算出一份是多少，是多少，然后再乘它的分母求出然后再乘它的分母求出“单位单位1”1”是多少。是多少。 1 1小时小时2 2千米千米师追问：假如不能整除的怎么办，如师追问：假如不能整除的怎么办，如3 37/87/8？怎么利用上节课的方法进行算式怎么利用上节课的方法进行算式“变形运算变形运算”呢？呢？说明：学生在上节课说明：学生在上节课“分数除以整数分数除以整数”

18、的学习中已经掌握如的学习中已经掌握如“4/54/53 34/54/51/3”1/3”、“A AB BA A1/B1/B（B0B0）”的计算的计算方法。方法。结合学生的回答板书：结合学生的回答板书：2 22/32/32 22 23 32 21/21/23 32 23/23/23 37/87/83 37 78 83 31/71/78 83 38/78/7几何直观几何直观 数的变形运算数的变形运算例例2 2：课件动态演示：课件动态演示“做花做花”的情境：的情境：3/43/4张纸做了张纸做了6 6朵花。朵花。师：师：你看懂了什么？你看懂了什么？生生1 1：3/43/4张纸做了张纸做了6 6朵花。朵花。

19、生生2 2：一张纸平均分成：一张纸平均分成4 4份，其中的份，其中的3 3份做份做6 6朵花，一张纸可以做几朵花？朵花，一张纸可以做几朵花？出示题：出示题：3/43/4张纸做了张纸做了6 6朵花，一张纸可以做多少朵花？（生列式）朵花，一张纸可以做多少朵花？（生列式）师：师：6 63/43/4，怎么算？，怎么算？生：前面的分数除以整数，是乘一个数的倒数。我想这个也是，我用生：前面的分数除以整数，是乘一个数的倒数。我想这个也是，我用“以以此类推此类推”的方法转化为乘法，的方法转化为乘法，6 64/34/3。（很多学生点头赞同）。（很多学生点头赞同）师：你们认为这个方法是正确的？师：你们认为这个方法

20、是正确的？师：哦，师：哦，那你们能不能想一些方法，证明这个结果是正确的？静静地那你们能不能想一些方法，证明这个结果是正确的？静静地想一会儿，把所有能想到的方法都记录下来。想一会儿，把所有能想到的方法都记录下来。教师特意准备了划成教师特意准备了划成6 6格的练习纸，方便学生记录不同的思路。学生自格的练习纸，方便学生记录不同的思路。学生自主尝试，教师巡视搜集各种思路，整体投影呈现学生的方法：主尝试，教师巡视搜集各种思路，整体投影呈现学生的方法：师：师：这些方法，哪些你也想到了，哪些你现在能看懂？哪些算法之间这些方法，哪些你也想到了，哪些你现在能看懂？哪些算法之间有相似之处？有相似之处？说给同桌听。

21、说给同桌听。师：哪些算法大家看不懂，需要提出来讨论的？师：哪些算法大家看不懂，需要提出来讨论的？（大部分学生表示第（大部分学生表示第种和第种和第种比较难理解。）种比较难理解。）师：有没有同学可以看懂呢？生：师：有没有同学可以看懂呢？生：师：明白了，根据学过的知识转化为我们学过的算式来解决。那剩下师：明白了，根据学过的知识转化为我们学过的算式来解决。那剩下的都能看懂吗？的都能看懂吗？哪些方法是相似的？哪些方法是相似的？生生1 1：第：第和第和第种是相似的，一个分步，一个综合。种是相似的，一个分步，一个综合。生生2 2：我觉得：我觉得是一样的，因为第是一样的，因为第种是直接把种是直接把3/43/4

22、化成小数，思化成小数，思考方法一样，都是化成已经学过的来解决。考方法一样，都是化成已经学过的来解决。生生3 3：第：第种是我的，我还没写完整，我想在旁边写一句话，种是我的，我还没写完整，我想在旁边写一句话，如果把一张纸平均分成如果把一张纸平均分成4 4份，份，3/43/4张纸做张纸做6 6朵，那么每朵，那么每1/41/4张纸张纸可以做可以做2 2朵，所以整张纸可以做朵，所以整张纸可以做8 8朵。朵。师：太棒了！看来这些方法的确有相似的地方，第师：太棒了！看来这些方法的确有相似的地方，第种方法中的种方法中的6 63 3就是就是第第种方法中的种方法中的6 61/31/3。现在，我们可以证明，刚才尝

23、试计算时得出的结。现在，我们可以证明，刚才尝试计算时得出的结果果“8”8”确实是正确的。那么，确实是正确的。那么，你能在这些方法中找到你能在这些方法中找到“6 64/3”4/3”吗？吗？生生1 1：第：第种方法中的种方法中的“1/31/34”4”其实就是其实就是“4/3”4/3”。生生2 2：第：第种方法中，种方法中，6 6平均分成平均分成3 3份，就是份，就是6 61/31/34 4，也能找到，也能找到“6 64/3”4/3”。生生3 3：那么，第：那么，第种也可以转化为种也可以转化为6 61/31/34 4，也能找到，也能找到“6 64/3”4/3”。生生4 4：第：第种也是。种也是。生生5 5：第：第种，除数化成种，除数化成1 1后，被除数的部分就是后，被除数的部分就是6 64/34/3。师：看来，我们不仅验证了师：看来，我们不仅验证了“8”8”这个结果是正确的，还证明这个结果是正确的，还证明了以此类推的计算方法了以此类推的计算方法“6 64/3”4/3”也是正确的。也是正确的。比较两种教法比较两种教法1. 几何直观的作用几何直观的作用理解算理理解算理创设情境，引出算式创设情境，引出算式2. “数的变形运算数的变形运算”成分（化归思想）成分（化归思想）仅在小结时出现仅在小结时出现作为全课重点作为