高数第五章不定积分

1、第五章微分法:)?()( xF积分法:)()?(xf互逆运算不定积分 二、二、 基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的概念与性质 第五五章 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念引例引例: 一个质量为 m 的质点,的作tAFsin下沿直线运动 ,).(tv因此问题转化为: 已知,sin)(tmAtv求?)(tv在变力试求质点的运动速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 根据牛顿第二定律, 加速度mFta)(tmAsin定义定义 1 . 若在区间 I 上定

2、义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 如引例中, tmAsin的原函数有 ,cos tmA, 3cos tmA问题问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理定理1. ,)(上连续在区间若函数Ixf上在则Ixf)( 存在原函数 .(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()(的一个原函数是若xfxF定理定理 2. 的所有则)(xf原函数

3、都在函数族CxF)( C 为任意常数 ) 内 .证证: 1)的原函数是)()(xfCxF)(CxF)(xF)(xf，的任一原函数是设)()()2xfx)()(xfx 又知)()(xfxF )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf故0)()(CxFx)(0为某个常数C即0)()(CxFx属于函数族.)(CxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 即定义定义 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中 积分号积分号;)(xf 被积函数被积函数;xxfd)( 被积表达式被积表达式.x 积分变量积分变量;(P183)若, )()(xfxF则CxFxxf)

4、(d)( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢 !例如,xexdCexxx d2Cx 331xxdsinCx cos记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的几何意义不定积分的几何意义:)(xf的原函数的图形称为)(xfxxfd)(的图形的所有积分曲线组成)(xf的平行曲线族.yxo0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 的积分曲线积分曲线 . 例例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.解解: xy2xxyd2Cx 2所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有C2121C因此所求曲线为12 xy机动

5、 目录 上页 下页 返回 结束 yxo)2, 1 (ox例例2. 质点在距地面0 x处以初速0v力, 求它的运动规律. 解解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,)0(0 xx )(txx 质点抛出时刻为,0t此时质点位置为初速为,0 x设时刻 t 质点所在位置为, )(txx 则)(ddtvtx(运动速度)tvtxdddd22g(加速度).0v机动 目录 上页 下页 返回 结束 垂直上抛 , 不计阻 先由此求)(tv 再由此求)(tx先求. )(tv,ddgtv由知ttvd)()(g1Ct g,)0(0vv由,01vC 得0)(vttvg再求. )(txtvttxd)()(

6、0g20221Ctvtg,)0(0 xx由,02xC 得于是所求运动规律为00221)(xtvttxg由)(ddtvtx,0vt g知机动 目录 上页 下页 返回 结束 故ox)0(0 xx )(txx xdd) 1 (xxfd)()(xf二、二、 基本积分表基本积分表 (P186)从不定积分定义可知:dxxfd)(xxfd)(或Cxd)2()(xF)(xF或Cd)(xF)(xF利用逆向思维利用逆向思维xkd) 1 ( k 为常数)Cxk xx d)2(Cx111xxd)3(Cx ln时0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1( )ln()ln(xxx121d)4(xxCx arcta

7、nxxdcos)6(Cxsinxx2cosd)8(xxdsec2Cx tan或Cx cotarc21d)5(xxCxarcsin或Cx cosarcxxdsin)7(Cx cosxx2sind)9(xxdcsc2Cx cot机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxdtansec)10(Cx secxxxdcotcsc)11(Cx cscxexd)12(Cexxaxd)13(Caaxln2shxxeexCxchxxdch)15(Cx shxxdsh)14(2chxxeex机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求求.d3xxx解解: 原式 =xxd34134Cx313例例4. 求.dco

8、ssin22xxx解解: 原式=xxdsin21Cx cos21134xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、不定积分的性质三、不定积分的性质xxfkd)(. 1xxgxfd)()(. 2推论推论: 若, )()(1xfkxfinii则xxfkxxfiniid)(d)(1xxfkd)(xxgxxfd)(d)()0( k机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求.d)5(2xexx解解: 原式 =xexxd)25)2()2ln()2(eex2ln25xCexx2ln512ln2C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 求求.dtan2xx解解: 原式 =xxd) 1(sec2xx

9、xddsec2Cxx tan例例7. 求.d)1 (122xxxxx解解: 原式 =xxxxxd)1 ()1 (22xxd112xxd1xarctanCx ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 求求.d124xxx解解: 原式 =xxxd11) 1(24xxxxd11) 1)(1(222221dd) 1(xxxxCxxxarctan313机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表 (见P 186)2. 直接积分法:利用恒等变形恒等变形, 及 基本积分公式基本积分公式进行积分 .常用恒等变形方法分项积分

10、加项减项利用三角公式 , 代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,2chxxeex2shxxeex思考与练习思考与练习1. 证明 xexeexxxch,sh,221.shch的原函数都是xxex2. 若则的原函数是,)(xfex d)(ln2xxfx(P191题4)提示提示:xe)()(xexfxeln)(ln xfx1Cx 221机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:3. 若)(xf是xe的原函数 , 则xxxfd)(ln提示提示: 已知xexf)(0)(Cexfx01)(lnCxxfxCxxxf021)(lnCxCxln10机动 目录 上页 下页 返回 结

11、束 4. 若)(xf;sin1)(xA;sin1)(xB的导函数为,sin x则)(xf的一个原函数是 ( ) .;cos1)(xC.cos1)(xD提示提示: 已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)( ?或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21sinCxCx机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 求下列积分:.cossind)2(;)1 (d) 1 (2222xxxxxx提示提示:)1 (1)1 (1) 1 (2222xxxxxxxx2222cossincossin1)2(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 6. 求不定积分解：解：.d113xeexxxe