历年高考数学真题精选32二面角

1、历年高考数学真题精选（按考点分类）专题32二面角（学生版）1 . （2019新课标II ）如图，长方体ABC。-/、gGR的底面ABC。是正方形，点石在棱刈上,BE ± EC.（1）证明：平面Egq；（2）若=求二面角3-EC -G的正弦值2 .（2019新课标HI）图1是由矩形至花3、RtAABC和菱形3EGC组成的一个平面图形, 其中AB = 1, BE = BF = 2, NFBC = 6O°.将其沿AB, 8C折起使得与3户重合，连结图1图2（1）证明：图2中的A, C, G ,。四点共而，且平而ABC_L平而8CGE;（2）求图2中的二面角B CG A的大小.3

2、.（2019天津）如图，AE_L 平面 A5C£>, CF/AE, AD/BC , AD±AB9 AB = AD=,AE = BC = 2.（I ）求证：3尸平面4）£；（II）求直线CE与平而8QE所成角的正弦值；（n【）若二面角上一四一尸的余弦值为i，求线段cf的长.34 .（2019北京）如图，在四棱锥P-ABC0 中，24,平面 A3CO, A£）±CD, AD/BC.PF iPA = AD = CD = 2, BC = 3. £为PQ的中点，点F在PC上，且二一.PC 3（I ）求证：C£>_L 平面

3、P4O：（II ）求二面角尸一AE - P的余弦值；（IH）设点G在心上，且上=2.判断直线AG是否在平而AEP内，说明理由.PB 35 .（2019新课标I ）如图，直四棱柱ABC。-44G%的底而是菱形，A41=4，AB = 2 »Za4D = 6O0, E, M，N分别是8C, BB、, AQ 的中点.（1）证明：MN平面CQ£；（2）求二面角A-MA,-N的正弦值.6 .（2018新课标III）如图，边长为2的正方形A3C。所在的平面与半圆弧CO所在平面垂直，"是上异于C,。的点.（1）证明：平面AWL平面8WC：（2）当三棱锥M-A3C体积最大时，求而与

4、而MCO所成二面角的正弦值.7 .（2018新课标U ）如图，在三棱锥尸-ABC中，AB = BC = 2立,PA = PB = PC = AC = A.O为AC的中点.（1）证明：PO_L平而ABC:（2）若点M在棱3c上，且二面角M-ai-C为30。，求尸。与平而小M所成角的正弦值.8 . （2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其内部）以他边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是。尸的中点.（I）设夕是上的一点，且求NC5P的大小:（II ）当A3 = 3, AD = 2时，求二面角七一 AG-C的大小.9 .（2017新课标H）如图，四棱锥尸-ABC。中，侧

5、面功为等边三角形且垂直于底而ABCD, =”4£> = /43。= 90° , £是夕。的中点.2（1）证明：直线CE平面Q4B：（2）点M在棱尸C上，且直线80与底面A3CD所成角为45。，求二面角加一4?一。的余 弦值.10 . （2017新课标 I ）如图，在四棱锥P-ABC。中，AB/CD,且NE4P = NC£>P = 90。.（1）证明：平面Q4BJ_平面24。；（2）若 PA = PD = AB = DC, ZAPD = 90°,求二面角 A-P3-C的余弦值.11 .（2017新课标II）如图，四而体A8CD中，AA

6、8C是正三角形，AAC。是直角三角形, ZABD = /CBD, AB = BD.（1）证明：平而ACDL平面A3C：（2）过AC的平而交班）于点E,若平而AEC把四面体458分成体积相等的两部分，求 二面角O AE C的余弦值.D12.（2016浙江）如图，在三棱台越。-。£户中，已知平面86五七1.平面43。，幺。5 = 90。，BE = EF = FC = 1, BC = 2, AC = 3,（I）求证：出;，平面AC/7）:（II ）求二面角3 4?一厂的余弦值.13. （2016新课标II ）如图，菱形ABC£的对角线AC与a）交于点O，AB = 5, AC =

7、6,点、E，F分别在AD，CD上，A£ = CF = -, EF交于BD于点、H ,将一沿即折4到。功的位置，00 =晒.（I ）证明：07/，平面ABC。：（II）求二面角B C的正弦值.14. （2016新课标I ）如图，在以A, B, C,。，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF = 2FD, NAFD = 90。，且二面角。-A厂一七与二面角。一86一下都是60。.（I ）证明平面4"万，平而“DC；（II）求二面角E 8C A的余弦值.第1页（共1页）历年高考数学真题精选（按考点分类）专题32二面角（教师版）1.（2019新课标H ）如图，长方体A8C

8、D-A4GA的底而ABC。是正方形，点£在棱例上,BE ± EC.（1）证明：BE上平面EBg：（2）若4£ = 4七，求二面角3-EC -q的正弦值.证明：(1)长方体A3C。-中，3cL平面A84A，.4G_L8£，; BE 工 EC-平面解：(2)以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AE = A£ = 1, ,4£1,平面后同。,/. BEA.EB, , :,AB = >则 E(l, 1, 1) , A(1, 1, 0), g(0, 1, 2), C/0, 0, 2), C(0, 0, 0),r BC

9、77; EB, /. EBi ± 面 EBC ,故取平面EBC的法向量为所=而;= (T, 0, 1),设平面ECg的法向量万= (x, y, z),由"CC 0,得 z °取x = i,得” =(1, 1, 0),水在=0x+y + z = o 1/. cos < mji >=,l/nkl/il 2二二面角3- EC - G的正弦值为y .2.（2019新课标HD图1是由矩形4;£B、RtAABC和菱形画GC组成的一个平面图形,其中AB = 1, BE = BF = 2, NMC = 60°.将其沿 "，BC折起使得BE

10、与3户重合，连结DS1图2（1）证明：图2中的A, C, G,。四点共而，且平而A8C,平而8CGE：（2）求图2中的二面角8 CG A的大小.证明：（1）由已知得A0/8E, CG/BE, .AD/CG,：.AD, CG确定一个平而，A, C, G,。四点共而，由已知得AB±BC,二A3_L而8CGE,ABu平面A8C，二平面A8C_L平而8CGE.解：（2）作EHLBC，垂足为，.,£匚平而以76七，平面3CGEL平而A8C,平面ABC,由己知，菱形3CGE的边长为2, ZEBC = 60%： .BH = , EH =曰以为坐标原点，布的方向为x轴正方向，建立如图所求的

11、空间直角坐标系-冷2, 则 A(-1，L 0), C(l, 0，0), G(2, 0，/ ),CG = (1, 0, 73), AC = (2, -1, 0),设平面ACGD的法向量n = (x , y , z),则废=+底=0,取7得万二a -三,AC斤=2x - y = 0又平面8CGE的法向量为沅=(0, 1, 0), .cos<H,zn>=L = In M m 2二而角8 CG A的大小为30。.3.（2019天津）如图，平面A5C£），CF/AE, AD/BC, ADLAB. AB = AD=.AE = BC = 2.（I ）求证：3/平面4>£

12、:（II ）求直线CE与平而8QE所成角的正弦值；（IH）若二面角石一龙）尸的余弦值为i，求线段CF的长.3E,z轴建立空间直，2).(【)证明：以A为坐标原点，分别以血，而，亚所在直线为工，j 角坐标系，可得 40, 0, 0), 8(1, 0, 0), C(l, 2, 0) , 0(0, 1, 0) , E(0,( 设CF = h(h>6,则 C(l, 2, h).则A月= (L0,0)是平面ADE的法向量，又丽= (0,2,h),可得而通=0又.直线斯仁平面4>£,尸平面4?£；(H)解：依题意，应5 = (-11,0), 巫=(-1.0.2), 区=(一

13、1.一2.2).设= (x, y, Z)为平面BDE的法向量，则,.吧一+ y = 0,令z = ,得-2,2,1).ilBE = f + 2z = 0*77=CEn 4:.cos < CE,H >=-：= 一一ICEkl/il 94.直线CE与平面3。七所成角的正弦值为-； 9(III)解：设丽= a,y,z)为平而皮/的法向量，mBD = -x + y = 0 tr“口2则.,取y = l,可得加=(14,-7)，丽BF = 2y +hz = 0hI _ _ I 4 _ 一 1q由题意，I COS V泣方>1= " = 11 .=-,解得=一.I m H n不

14、373xV2+f经检验，符合题意.线段。尸的长为色.74. （2019北京）如图，在四棱锥P-ABC。中，24,平而A3CO, AD±CD, AD/BC,PF iPA = AD = CD = 2, BC = 3. E为PD的中点，点、F在PC上,且二一.PC 3（I）求证：CO_L平面240：（II）求二面角尸一- P的余弦值；（山）设点G在心上，且竺=2 判断直线AG是否在平面A£厂内，说明理由.PB 3证明：（I ）Q4«L平面ABC。，,PA±CD,vAD±CD, PAAD = A,.CD，平面 FAQ.解：（II）以A为原点，在平面AB

15、C。内过A作。的平行线为x轴,AO为），轴，心为z轴，建立空间直角坐标系，2 24A（0, 0, 0）, E（0, 1, 1）, F（-，一，），3 33尸（0, 0, 2）, 3（2, -1, 0）,2 2 4A£ = （0, 1, 1）,从尸= （£：_）,3 3 3平面AEP的法向量日=（1 , 0，0）,设平面的法向量而= (x, y, z)，mAE = y + z = 0 224，取x = l,得而=(1, 1, 一1),ffAF = x+ v + z = 0333设二面角尸-AKp的平面角为e.则8S"磊=2 =多 ，二面角厂一人£一夕的余弦

16、值为由.3(III)直线AG在平面A£P内，理由如下:2 2) 屋3)丁点G在08上，且生二.G(士， PB 33-k 42 2/. AG =(,), 33 3平而AEP的法向量加=(1, 1, -1),故直线AG在平面AEP内.5.(2019新课标I )如图，直四棱柱ABC。-A3C2的底而是菱形，/14=4, AB=2,ZaAD = 6O°, E，M, N分别是8C, BB、，AQ的中点.(1)证明：MN/平面3DE；(2)求二面角A-MAj-N的正弦值.第1页（共1页）(1)证明：如图，过 N作 M7_LA£>,则且 AH = ；/L4,，又用3/A4

17、|，M8 = ；A4,，四边形MW"为平行四边形，则NM/BH， 由N/7/M/V N为片。中点，得H为A。中点，而石为8C中点，:BEMDH、BE = DH、则四边形助%归为平行四边形，则8H/QE, j.NMUDE,.NW仁平而G。？，。£匚平而4。£, .4小平面£。£: (2)解：以。为坐标原点，以垂直于。C得直线为人,轴，以OC所在直线为)，轴，以OR所则在直线为z轴建立空间直角坐标系, -白 2）, M（邪,1, 2）, A（6, -1. 4）,，髀，瓯=（祟9）,m.NM =正设平面AMN的一个法向量为m = (x,y, z)，

18、x + " = 0由,取x =得加= （JJ,T,T）,又平而MAA.的一个法向量为n = (L0.0),：.cos <mji >=叵=晅I m kl ri I 65nfn6.（2018新课标HD如图,边长为2的正方形A3CD所在的平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是CQ上异于C,。的点.（I）证明：平面AW_L平而8WC:（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求而与而MCO所成二面角的正弦值.解：（1）证明：在半圆中，DM上MC, /正方形ABC。所在的平面与半圆弧CO所在平而垂直,.AD_L平面DCM,则v ADDM =。，平而"）M,.MCu平而M5C,/.平

19、面AWL平面BMC .（2） .M5C的面积为定值，要使三棱锥M-A3C体积最大，则三棱锥的高最大， 此时M为圆弧的中点，建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图.正方形A3C。的边长为2,.A(2, -1, 0) , 8(2, 1, 0), M(0, 0, 1),则平而MCO的法向量所= (1, 0, 0), 设平面MAB的法向量为1=(x, y , z)则 A = (0, 2, 0), AM = (-2 , 1, 1),由 iiAB = 2y = 0 , nAM = -2x + y + z = 0 ,令 x = l,则 y = 0, z = 2, HP n = (1 0, 2),m

20、il -加斤11贝IJ cos v ，n >=,I m 11/71 lx -71 + 4 邪则而MAB与而MCD所成二而角的正弦值sin a = J1 - (3尸7.（2018新课标U ）如图，在三棱锥产一 ABC中，AB = BC = 2曰 PA = PB = PC = AC = 4,O为AC的中点.（1）证明：尸O_L平而A8C:（2）若点M在棱3c上，且二面角M-Q4-C为30。，求PC与平而始所成角的正弦值.(1)证明：连接80,.AB = BC = 20, O是 AC 的中点，J.BOLAC,且80 = 2,又 PA = PC = PB = AC = 4,J.POLAC, PO

21、 = 20则 PB2 = PO2 + BO1 ,则尸0,03,/ 08nAe = O ,.PO«L平面ABC：(2)建立以O坐标原点，OB, OC，OP分别为x, y, z轴的空间直角坐标系如图: A(0, -2，0),尸(0, 0, 2),。(0, 2, 0), 3(2, 0, 0),BC = (-2 , 2, 0),设8M=48C； = (-22, 2%, 0), 0<2<1则 AA/ = 8M.-胡=(-2幺，2/1, 0)-(一2，-2, 0) = (2-2尤，2/1 + 2, 0),则平面R4C的法向量为方=(1, 0, 0),设平而MP4的法向量为万= (x,

22、 y, z),则方=(0, - 2，-2 我,则豕加=-2y- 2底=0 ,褊疝 = (2 - 22)x + (22 + 2)y = 0令 z = l，则 y = -GM + l)/即锣，>二面角”一以一。为30。，cos 30° T丽丽( + 1)"即 _/ T _ = £ ,/(£zl.7?)2+1 + 3.1 2V 1 月解得4 = 1或 = 3 (舍)，3则平而MQ4的法向量同=(2jJ, -JT，1),PC = (0 , 2, -2小),PC与平面PAM所成角的正弦值sin 0 =1 cos < PC ,AH莘*且716.71616

23、48.（2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABC。（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是。下的中点.（I ）设夕是CE上的一点，且庞:，求NC8P的大小:（II ）当A3 = 3, AD = 2时，求二面角E-AG-C的大小.第1页（共1页）解：(I)AB上BE，且AB, APu平面A3P，AB(AP = A9.3£_L平面"P,又3Pu平面ABF，. .BELBP,又 ZEBC = T20。,因此 NC3P = 30。；(H)解法一、取EC的中点，连接上，GH , CH ,.NEBC = 120°,二四边形班HC为菱形，:.A

24、E = GE = AC = GC = >j32 +22 =yfH .取AG中点M,连接EM，CM, EC,则 £M_LAG, CM LAG.：.ZEMC为所求二面角的平面角.又 AW=1, /. EM = CM = VlT = 2x/3 .在 MEC 中，由于 NE3C = 120。，由余弦定理得：EC2 =22 +22 -2x2x2xcos1200 = 12,EC = 243,因此AEMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二、以3为坐标原点，分别以履，BP,胡所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐 标系.由题意得：A(0, 0, 3), E(2, 0, 0),

25、 G(l, 0 3), C(-l, Q, 0),故亚=(2,0,-3), AG = (L>/3,0) , CG = (2.03).设m = (x1, x, 4)为平面AEG的一个法向量，mAE = 0 zn_ ，得4ffiAG = 02x -3z. =0L ，取号=2,得庆=(3,-/.2)；AG = 0/CG = 0取Zz=-2,得万=(3, 6,-2).国+为=0 设k=（x2,y29z2）为平面ACG的一个法向量,第1页（共1页）.COs<,7M7>=J = iImllnl 2二面角七一 AG C的大小为600.9.（2017新课标H）如图，四棱锥尸-ABC。中，侧面抬

26、。为等边三角形且垂直于底而ABCD, AB = BC = -AD, ZBAD = ZABC = , E是。的中点. 2（1）证明：直线CE平面E4B：（2）点"住棱PC上，且直线80与底面A8CO所成角为45。，求二面角加一4?一。的余弦值.（1）证明：取小的中点b,连接上孑"BF,因为E是PO的中点,所以 EF，AO, AB = BC = -AD, ZBAD = ZABC = 90° , /. BCH-AD, -222.BCE/是平行四边形，可得CE/BF , 8/u平而FAB, CE©平而Q4B，.直线C£7/平面RW：（2）解：四棱锥P-

27、ABCD中，侧面小£）为等边三角形且垂直于底而ABC£，AB = BC = AD9 2NE4D = NA3c = 90°, E 是 PD的中点一取49的中点O, M在底而A8C£上的射影N在OC上，设AQ = 2,则AB = 3C = 1,OP =日.NPCO = 60。，直线8M与底面ABCO所成角为45。,可得：BN = MN, CN = A4N , BC = , 3可得：1 + LbM=BN2 , BN =史,MN = a 322作 NQJ.A3 于。，连接 M。，AB 上 MN ,B10. （2017新课标I ）如图，在四棱锥尸-ABC。中，AB

28、/CD,且NBAP = NC£>P = 90。.（1）证明：平面平面上40；（2）若 Q4 = PD = AB = Z）C, ZAPD = 90°,求二面角 A-M-C 的余弦值.（1）证明：YZfi4P = ZCDP = 90°> :.PALAB. PD1CD， AB 11 CD. :.AB±PD.又YPAn尸。=尸，且左u平而Q4£），PQu平面P4O，.A3,平面FAO，又A8u平面Q4B,平而Q4B1.平面PAD ；（2）解：AB"CD, A8 = C0, .四边形A8CO为平行四边形，由（1）知平而PAO, .A

29、B±AD,则四边形ABC。为矩形，在从尸。中，由Q4 = PD, ZAPD = 90°,可得M4。为等腰直角三角形，设 Q4 = AB = 2，则 AO = 2 缶.取"）中点O, BC中点、E,连接PO、OE,以O为坐标原点，分别以。4、OE. O尸所在直线为X、），、z轴建立空间直角坐标系, 则：。（一 JL.0.0）, 8（缶,2n,0）,尸（0, 0, JL）, C（-缶,2。.0）.Pb = （-E0-0G，方=（缶,2«,一缶）， 比=（一2缶,0.0）.设平面PBC的一个法向量为n = （x,y,z）,n.PB = 0 l?xix + 2a

30、y - >/2az. = 0 加 /日l由一,得 广，取丫 = 1，得亓= 9,志）.i>BC = 0-2J2ax = 0».,AB«L平面F4£），AOu平面Q4D，AB上PD,又 PD 工 PA, 5）A8 = A,.户。，平面2旬，则方 为平面Q钻的一个法向量，PD = （-尤,0,-五G.-fz 一 PDn-2a小PDn 2xiXy/3 3由图可知，二而角A-M-C为钝角，.二面角A-P8-C的余弦值为-正.11.(2017新课标HI)如图，四而体ABC£中，AA8C是正三角形，AAC。是直角三角形, ZABD = NCBD, AB

31、= BD.(1)证明：平而AC。L平面ABC：(2)过AC的平而交班于点E,若平而AEC把四面体ABCO分成体枳相等的两部分，求 二面角O-AE C的余弦值.（1）证明：如图所示，取AC的中点O,连接80，OD. .A4BC是等边三角形，O3_LAC.A4BO与 中，AB = BD = BC, ZABD = /CBD ,：.SABD = CBD. /. AD = CD. .A4CD是直角三角形，AC 是斜边，/.ZADC = 90°.DO = -AC . 2 .DO2 + BO2 = AB2 = BD2.，NBOD = 90。.：.OBLOD.又。0。4。= 0，平面AC£

32、>. .平面AC。L平面ABC.（2）解：设点O, 3到平面ACE的距离分别为小，hE.贝l% =" hE BE 平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,户 C J% _ DE _ T ，s、c % BE.点七是8。的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取回=2.则。(0, 0, 0), A(l, 0, 0) , C(-l, 0, 0), 0(0, 0, 1) , 5(0, G 0)，E(0立).2 2.- JT 1,AO = (-1, 0, 1), AE = (-h AC = (-2, 0, 0).2 2-八-x + z = 0. mAD = 0设平面ADE的法向

33、量为in = （x , y ,z),则一，即 JJ i ，取MAE = 0-x + y + - z = 022所=（3,瓶3）.同理可得：平面ACE的法向量为斤=（0, 1, -y/3）._ 一而”-2+p.cos < ，n >= -=&Tx2 7第1页（共1页）12.（2016浙江）如图，在三棱台加。-。4中，已知平面8（才石，平面43。，幺。5 = 90。，BE = EF = FC = T, BC = 2, AC = 3, (I )求证：6/7,平面AbD：(II )求二面角4一AQ-/的余弦值.(/)证明：延长/W,应:，CF相交于点K,如图所示，. 平而BCFE,平

34、而ABC, ZACB = 90°, .AC_L平面3CK, :.BF±AC.又EFUBC, BE = EF = FC=1, BC = 2 ,，ABCK为等边三角形，且为CK的中点，则BF 工 CK ,二8尸，平而ACTO.()方法一：过点尸作FQ_LAK,连接8Q,平而ACF£>.,加'_LAK，则AK_L平面BQF ,BQ1AK . .N30F是二面角8-4>一厂的平面角.在RtAACK 中，AC = 3, CK = 2,可得/。=彳二.在RtABQF中，BF = 0 EQ = W上.可得：cosZB0F = .134二面角AD尸的平面角的余

35、弦值为£ .方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K,则ABCK为等边三角形， 取3c的中点，则KOL3C,又平面8cFE_L平而ABC，.长0_1平而明。，以点。为原点，分别以OB, OK的方向为x, z的正方向，建立空间直角坐标系O-盯z. 可得：8(1,0, 0), C(-l, 0, 0), K(0,0, >/3), A(-l , -3, 0),耳。当，F(一；,0,£).AC = (0t 3, 0),/= (1,3,拘，AB = (2 , 3, 0).设平面ACK的法向量为初=(% , x，4),平而ABK的法向量为“ = (4,力，4)，由AC./n =

36、 0 -妨3方=0 _.，可得,广Ak比=o In + 3y +，3马=oA8” = 0 公_,可得VAK.il = 0cos < m. n >=rnfi _ y/3l/nllzirT2x, +3> =0,取方=（3,-2,小）. x2 + 3y2 + >/3z2 = 013.（2016新课标I【）如图，菱形A8C£的对角线AC与a）交于点O，A3 = 5，AC = 6,点、E，尸分别在AD，CD上，AE = CF = -, EF交于BD于点、H ,将此£尸沿即折4到的位置，ou = M.（I）证明：。7/，平面45。：（II）求二面角8-。A C的正弦值.AD = DC,又 AE = CF=”, 4/.=，则 EE/AC, EA FC又由ABC。是菱形，得AC_L5£>,则E尸，比)，EF 工 DH ,则 EFLDH .AC = 6,/. AO = 3 ,又 A8 = 5, AO LOB .，OB = 4,AF：.OH = .OD = ,则。 = £X=3, AD/.I Ofy