数列不等式综合训练

1、高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）1. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（） （） （）若则当n2时,.2.已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证：3.已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列满足，证明：是等差数列；（）证明：4.设（e为自然对数的底数）（I）求p与q的关系； （II）若在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（III）证明： ；（nN，n2）.5.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）（）求的通项公式；（）设，若数列为等比数列，求a的值；（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：6.已知数列

2、满足, ，（1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式；（3）设，且对于恒成立，求的取值范7.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；（3）当a>0时，求数列的最小项。8.已知函数f(x=，设正项数列满足=l，(I写出，的值; (试比较与的大小，并说明理由；(设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n19.已知，若数列an成等差数列.（1）求an的通项an;（2）设 若bn的前n项和是Sn，且10.（1）数列an和bn满足 （n=1，2，3），求证bn为等差数列

3、的充要条件是an为等差数列。（2）数列an和cn满足，探究为等差数列的充分必要条件，需说明理由。提示：设数列bn为11.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合： M是与n无关的常数.（1）若an是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：SnW（2）设数列bn的通项为，求M的取值范围；（3）设数列cn的各项均为正整数，且（1）解：设等差数列an的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=2，所以2分由=10得适合条件；又所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn20，适合条件综上，SnW4分（2）解：因为所以当n3时，此时数列bn单调递减；当

4、n=1，2时，即b1b2b3，因此数列bn中的最大项是b3=7所以M78分（3）解：假设存在正整数k，使得成立由数列cn的各项均为正整数，可得因为由因为依次类推，可得设这显然与数列cn的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意nN*,都有成立.( 16分12.数列和数列（）由下列条件确定：（1），；（2）当时，与满足如下条件：当时，；当时，.解答下列问题：（）证明数列是等比数列；（）记数列的前项和为，若已知当时，求.（）是满足的最大整数时，用，表示满足的条件.解：（）当时，当时，所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列.（4分）（）由（）知，故，所以所以，（7分）又当时，故.（8

5、分）（）当时，由（2）知不成立，故，从而对于，有，于是，故，（10分）若，则，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.（12分）而，因而，是满足的最小整数.（14分）13.已知数列中， （1）求；（2）求数列的通项；（3）设数列满足，求证：解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以14. 已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，解：（），3分又，数列是首项为，公比为的等比数列5分，即. 6分（） 9分（）， 10分当时，则， 对任意的， 1

6、4分15. 设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。（I）求数列和的通项公式；（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。解（1）由已知，公差 1分 2分 4分由已知5分所以公比6分7分（2）设8分所以当时，是增函数。10分又，所以当时，12分又，13分所以不存在，使。14分16. 数列的首项，前n项和Sn与an之间满足（1）求证：数列的通项公式；（2）设存在正数k，使对一切都成立，求k的最大值.解：（1）证明： （1分）， （3分）， （5分）数列为首项，以2为公差的等差数列。（6分）（2）由（1）知 （7分）设，则 （10分）上递增，要使恒成立，只需 （12分）17.数

7、列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，.解:设 ，即 (2分故 (4分 (5分又 (6分故存在是等比数列 (7分证明：由得 ，故 (8分 (9分 （11分）现证.当，故时不等式成立 （12分）当得，且由， （14分）18已知数列满足.(1求数列的通项公式；（2）设a>0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），现证：时，对成立。1 n=1时，成立;2 假设n=k(k1时，成立，则，即n=k+1时，也成立，时，a的取值范围是。19.已知数列满足.(1求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，

8、求证：。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），得：，20设A（x1,y1）,B(x2,y2是函数f(x=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.（1） 求证：M点的纵坐标为定值； （2） 若Sn=f(N*，且n2,求Sn;（3） 已知an=，其中nN*.Tn为数列an的前n项和，若Tn(Sn+1+1对一切nN*都成立，试求的取值范围.（1）证明： M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）,由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1.而y=(y1+y2= f(x1+f(x2 =(+log2=(1+log2 =(1+log2=(1+log2M点的纵坐标为定值

9、.（2）由（1）知x1+x2=1,f(x1+f(x2=y1+y2=1,Sn=f(Sn=f(,两式相加得：2Sn=f(+f(+f(= Sn=(n2,nN*.(2当n2时,an=Tn=a1+a2+a3+an=(=(由Tn(Sn+1+1得·n+4,当且仅当n=2时等号成立,因此，即的取值范围是（+）21已知等差数列的首项为a，公差为b；等比数列的首项为b，公比为a，其中a，且 （）求a的值；（）若对于任意N*，总存在N*，使，求b的值；（甲说：一定存在使得对N*恒成立；乙说：一定存在使得对N*恒成立你认为他们的说法是否正确？为什么？解：（），a，N*， a2或a3当a3时，由得，即，与矛盾

10、，故a3不合题意 a3舍去， a2（），由可得 是5的约数，又，b5 (若甲正确，则存在（）使，即对N*恒成立，当时，无解，所以甲所说不正确若乙正确，则存在（）使，即对N*恒成立，当时，只有在时成立，而当时不成立，所以乙所说也不成立22.正项数列（1）求；（2）试确定一个正整数N，使当n>N时，不等式成立；（3）求证：解：（1）4分（2）由 （3）将展开， 14分23.,是首项为1,公比为2的等比数列.对于满足0k20的整数k,数列,由=确定.记C=.求：k=1时,C的值(保留幂的形式；C最小时,k的值.（注：=+）简解：可求得=(1n20,k=1时,= C=+-.C=+=+=,当且仅当

11、时,即=,k=10时,C最小.24. 在数列中，（）试比较与的大小；（）证明：当时，.解：（）由题设知，对任意，都有，6分（）证法1：由已知得，又.当时，10分设 则 -，得14分证法2：由已知得，（1） 当时，由，知不等式成立。8分（2） 假设当不等式成立，即，那么要证 ，只需证即证 ，则只需证10分因为成立，所以成立.这就是说，当时，不等式仍然成立.根据（1）和（2），对任意，且，都有14分25设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当（）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）；（）若，其中，且记数列bn的前n项和Bn，证明：解：（

12、）令，则无穷数列an可由a1 = 1，给出.显然，该数列满足，且 6分（） 8分又26. 在个不同数的排列（即前面某数大于后面某数）则称构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4. 已知n+2个不同数的排列的逆序数是2.（1）求（1，3，40，2）的逆序数；（2）写出的逆序数an（3）令.解：（1） 4分（2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有个大小关系 8分（3） 14分27已知数列的前项和为，且对于任意的，恒有，设（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式和；（）若，证

13、明：解（1）（6分）当时，得，当时，两式相减得：，是以为首项，2为公比的等比数列（2）（4分）由（1）得，（3）（6分），由为正项数列，所以也为正项数列，从而，所以数列递减所以另证：由，所以28已知数列an满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列是等比数列.（）求数列an的通项公式；（）求证：当k为奇数时，；（）求证：解（）为等比数列，应为常数， 得=2或=3 2分当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，则 当=3时，为首项是，公比为2的等比数列， 得， 4分（注：也可由利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（）当k为奇数时， 8分（）由（）知k为奇数时，

14、 10分当n为偶数时， 当n为奇数时，= 12分29.已知, 数列满足以下条件:(1 求数列的通项公式; (2 数列是有限数列时, 当时, 求点存在的范围;(3 数列是无限数列时, 当时, 将点存在的范围用图形表示出来.解: (1 , , 则, . , , 则, . (2 数列是有限数列时, 设项数为. 当时, , , . 点在线段上. (3 当时, , 即, 由 得点存在的范围在如图阴影部分内. 30.设f1(x=，定义fn+1 (x= f1fn(x，an =（nN*）.(1 求数列an的通项公式；(2 若，Qn=（nN*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.解：（1）f1(0=2，a

15、1=，fn+1(0= f1fn(0=, an+1= -= -an. 数列an是首项为,公比为-的等比数列，an=(n1. （2）T2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1a 2 n1+2na 2 n，T2 n= (-a1+(-2a 2+(-3a 3+(-(2n-1a2 n1+2na2 n= a 2+2a 3+(2n1a2 nna2 n.两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. T2n =+n×(-2n1=-(-2n+(-2n1.T2n =-(-2n+(-2n1=(1-. 9T2n=1-.又Qn=1-， 当n=1时，22 n= 4,(2n+12=9,9T2 nQ n；当n=2时，22 n=16,(2n+12=25,9T2 nQn； 当