高考数学理必做36道压轴题高分突破题

1、给力2017届高考数学理 必做36道压轴题近几年的高考数学试题收集起来进行分析，发现近三年高考数学压轴题最常见的考点是解析几何题或函数与导数题，只要找到了解压轴题的窍门，几乎所有高考压轴题都都有一个突破口，可以依照固定的思路来解决，因此我们精心挑选了“36道必做的压轴题”进行了深刻剖析，深层次解密压轴题精髓，高效培养自主解题能力。做太多压轴题会严重占用对基础知识、基本技能的掌握时间，做少了又会缺乏对压轴题的自信和驾驭能力，做偏了更是一种灾难。为了很好地巩固，本书教给你如何将复杂的问题简单化，如何做到不会也能得三分。压轴题虽然变化多端，但万变不离其宗，都可以从这36道题中找到影子。让你切身体会到

2、一切压轴题都是纸老虎。轻松搞定高考压轴题！第一部分 2017年高考数学理科真题压轴题精选解析几何1、（2017新课标卷1）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.()求的方程；（）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.【解析】：() 设()，由条件知，得=又，所以a=2=，,故的方程. .6分（）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设将代入，得，当，即时，从而=+又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积，设，则，当且仅当，等号成立，且满足，所以当OPQ的面积最大时，的方程为： 或. 12分2、（2017新课标卷2）设,分别是椭圆的左右焦点，M是

3、C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.（）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.【答案】 (1) （2）【解析】（1）（2）3、（2017辽宁卷）圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P(如图1­6所示)双曲线C1：1过点P且离心率为.图1­6(1)求C1的方程；(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点，直线l过C2的右焦点且与C2交于A，B两点若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程【解析】解：(1)设切点坐标为(x0，y0)(x0>0，y0>0)，则切线斜率为

4、，切线方程为yy0(xx0)，即x0xy0y4，此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为，.故其围成的三角形的面积S··.由xy42x0y0知，当且仅当x0y0时x0y0有最大值2，此时S有最小值4，因此点P的坐标为(，)由题意知解得a21，b22，故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(，0)，(，0)，由此可设C2的方程为1，其中b1>0.由P(，)在C2上，得1，解得b3，因此C2的方程为1.显然，l不是直线y0.设直线l的方程为xmy，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(m22)y22 my30.又y1，y2是方程的根，因此由x1my1

5、，x2my2，得因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知·0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.4、（2017上海卷）在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线. 求证：点被直线分隔；若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.【答案】 (1) 省略

6、(2)(3) 【解析】(1)(2)(3)5、（2017四川卷）已知椭圆：（）的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。（）求椭圆的标准方程；（）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆与点，。（）证明：平分线段（其中为坐标原点）；（）当最小时，求点的坐标。【答案】 （）（）【解析】（）（-1）（-2）6、（2017湖北卷）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点P(2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围【答案】（）（）当

7、时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点. （2）当时，方程的判别式为. 设直线与轴的交点为，则由，令，得. （）若由解得，或.即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点. 7、（2017天津卷）设椭圆（）的左、右焦点为，右顶点为，上顶点为.已知.（）求椭圆的离心率；（）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切. 求直线的斜率.【答案】 （1） （2）【解析】（1）（2）8、（2017安徽卷）如图，已知两条抛物线和，过原点的两条直线和，与分别交于两点，与分别交于两点.（

8、1）证明：；（2）过原点作直线（异于，）与分别交于两点.记与的面积分别为与,求的值.9、（2017湖南卷）如图1­7，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值图1­7【解析】解： (1)因为e1e2，所以·，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是bb|F2F4|

9、1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(1，0)，故可设直线AB的方程为xmy1，由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx，即mx2y0.由得(2m2)x24，所以2m2>0，且x2，y2，从而|PQ|22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(m

10、x22y2)<0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2|，所以2d.故四边形APBQ的面积S|PQ|·2d2·.而0<2m22，故当m0时，S取最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.10、（2017湖南卷）如图7，O为坐标原点，椭圆:（>>0）的左.右焦点分别为，离心率为：双曲线：的左.右焦点分别为，离心率为。已知=，且。（）求.的的方程；（）过做的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值,则四边形面积,因为,所以当时, 四边形面

11、积取得最小值为.11、（2017广东卷）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.（2）若一条切线垂直轴，则另一条直线垂直于轴，则这样的点P共4个，其坐标分别为（-3，2），（3，2）.若两条切线不垂直于坐标轴，设切线方程为，即，代入椭圆方程并整理得，依题意，=0，即：，即，两条切线垂直，即，显然也满足上述方程，点F的轨迹方程为12、（2017陕西卷）如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.（1） 求的值；（2） 过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.由方程

12、组，得，设，则， 解得，经检验符合题意，所以直线的方程是.13、（2017辽宁卷）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.因为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知·0，所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40，将代入式整理得2m22 m4 110，解得m1或m1.因此直线l的方程为x(1)y0或x(1)y0.14、（2017上海卷）在平面直角坐标系中，对于直线和点，记. 若，则

13、称点被直线分割. 若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.(1) 求证：点被直线分割；(2) 若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3) 动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线. 求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.【答案】(1) 见解析；(2) 或； (3)见解析【解析】（1）将分别代入，得 点被直线分割 （2）联立，得，依题意，方程无解， ，或15、（2017福建卷）已知双曲线的两条渐近线分别为. （1）求双曲线的离心率； （2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否

14、存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由。若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：1也满足条件函数与导数16、（2017新课标卷1）设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：（I）由切点在切线上，代入得由导数的几何意义得，联立求；（II）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是

15、不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系17、（2017新课标卷2）已知函数f(x)exex2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)f(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值；(3)已知1.414 21.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)18、（2017陕西卷）设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明.19、（2017四川卷）已知函数，其中，为自然对数的底数.（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围20、（20

16、17天津卷）设f(x)xaex(aR)，xR.已知函数yf(x)有两个零点x1，x2，且x1<x2.(1)求a的取值范围；(2)证明：随着a的减小而增大；(3)证明：x1x2随着a的减小而增大21、（2017安徽卷）设函数,其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.22、（2017北京卷）已知函数.（1）求证：；（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值.、在区间上的情况如下表：23、（2017辽宁卷）已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯一，使，且对（1）中的.，所以，即命题得证.24、（2017山东卷）设函数（为常数，是自然对数的底数）.

17、（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.（II）分，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（I）函数的定义域为，由可得，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.25、（2017重庆卷）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（）确定的值； （）若，判断的单调性；（）若有极值，求的取值范围.当时，令，注意到方程有两根，即有两个根或.当时，；又当时，从而在处取得极小值.综上，若有极值，则的取值范围为.26、

18、（2017福建卷）已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值；（II）证明：当时，；（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.有不同的方式，只要正确，均相应给分.注:对c的分类不同27、（2017湖北卷）为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【答

19、案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函（3）由（2）知，又由（2）知，故只需比较与和与的大小，由（1）知，当时，即，在上式中，令，又，则，即得由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，综上所述，即6个数从小到大的顺序为，.28、（2017江苏卷）已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意，等式都成立.（1）时命题已经成立，（2）假设时，命题成立，即，对此式两边求导可得，即，因此时命题也成立.综合（1）（2）等式对一切都成立.令，得，所以.29、（2017

20、浙江卷）已知函数（1） 若在上的最大值和最小值分别记为，求；（2） 设若对恒成立，求的取值范围.试题解析：（I）因为，所以，由于，（i）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，（ii）当时，若，在上是增函数，若，在上是减函数，所以，由于，因此，当时，当时，（iii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，解得，（iv）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，解得，综上的取值范围.30、（2017湖南卷）已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围.第二部分 高考数学理科必做36道压轴题解析几何1、过抛物线上的点作倾斜角互补的两条直线，分别交抛物线于两点(1)若

21、，求直线的方程；(2)不经过点的动直线交抛物线于两点，且以为直径的圆过点，那么直线是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由2、已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为的直线经过点，且与椭圆交于不同的两点,求面积的最大值. 3、在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点N到焦点的距离是3.（1）求此抛物线的方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点是否存在这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由4、已知圆，直线，直线与圆交于两点，点的坐标为，且满足（1）当时，求的值； （2）

22、当时，求的取值范围5、已知A、B是椭圆上的两点，且，其中F为椭圆的右焦点.（1）求实数的取值范围;（2）在x轴上是否存在一个定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由.6、已知曲线上的动点，满足到定点，的距离与到定点距离之比为（1）求曲线的方程。（2）过点的直线与曲线交于两点、，若，求直线的方程.7、已知椭圆C:短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线与以椭圆C的上顶点为圆心，以椭圆C的长半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C的方程；（2）椭圆C与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与椭圆C交于，两点, 分别为直线、的斜率， ，求证：直线过定点,并求出该定点坐标;（3

23、）在（2）的条件下，求面积的最大值.解（1）由椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，则，又以椭圆的上顶点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，8、已知椭圆：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，动点在直线上，过作直线的垂线，设交椭圆于点（1）求椭圆的标准方程；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；9、已知椭圆，过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线于点E，判断是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由.10、如图，动点M与两定点A(1，0)，B(2，0)构成MAB，且MBA2MAB设

24、动点M的轨迹为C（1）求轨迹C的方程；（2）设直线（其中）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且，求的取值范围（2）由，消去并整理，得，7分由题意，方程有两根且均在内设f(x)x24mxm23，解得，且，9分又，10分11、已知抛物线(1) 若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；(2) 抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件(3) （理）设直线的方程为,代入,得:,设,则（11分）若，即有，即：由此

25、得：，（15分）所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直。 （16分）13、已知椭圆C的左、右焦点分别为，椭圆的离心率为，且椭圆经过点（1）求椭圆C的标准方程；（2）线段是椭圆过点的弦，且，求内切圆面积最大时实数的值.7分14、设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上. 设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由， 当时，圆与轴相切；当时，圆与轴相交；15、已知椭圆:上任意一点到两个焦点的距离之和为,离心率为.左,右焦点

26、分别为,点是椭圆右准线上一点,过作直线的垂线交椭圆于点.(1)求椭圆的标准方程;(2)证明:直线与直线的斜率之积为定值;(3)点的纵坐标为3,过作动直线与椭圆交于两个不同点,在线段上取点,满足,试证明点恒在一定直线上.证明(3)根据题意可得点在准线且纵坐标为3,所以点的坐标为,不妨设16、已知椭圆：的左、右焦点分别为、，椭圆上的点满足，且的面积为（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点分别为、，过点的动直线与椭圆相交于、两点，直线与直线的交点为，证明：点总在直线上.椭圆的方程为4分17、已知椭圆：（）的焦距为，且过点.（1）求椭圆的方程和离心率；（2）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为

27、. 取点，连 结，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.18、已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为(1)求椭圆的方程；(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）0（3）存在，【解析】(1) 由题意知，所以因为 所以，所以 所以椭圆的方程为 ········

28、83;····4分函数与导数19、已知函数（1）设函数求的单调区间；（2）若存在常数使得对恒成立，且对恒成立，则称直线为函数与的“分界线”，试问：与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)函数的单调减区间是（0，），单调增区间是（，）；20、为合理用电缓解电力紧张，某市将试行“峰谷电价”计费方法，在高峰用电时段，即居民户每日8时至22时，电价每千瓦时为0.56元，其余时段电价每千瓦时为0.28元而目前没有实行“峰谷电价”的居民用户电价为每千瓦时为0.53元.若总用电量为千瓦时，设高峰时段用电量为千瓦时（1）写

29、出实行峰谷电价的电费及现行电价的电费的函数解析式及电费总差额的解析式；（2）对于用电量按时均等的电器（在全天任何相同长的时间内，用电量相同），采用峰谷电价的计费方法后是否能省钱？说明你的理由21、已知函数定义域是，且，当时，.（1） 证明：为奇函数；（2） 求在上的表达式；（3） 是否存在正整数，使得时，有解，若存在求出的值，若不存在说明理由.22、函数的导函数为. (1)若函数在处取得极值,求实数的值; (2)已知不等式对任意都成立,求实数的取值范围.23、已知函数(是不同时为零的常数)，导函数为（1）当时，若存在，使得成立，求的取值范围；（2）求证：函数在内至少有一个零点；（3）若函数为奇

30、函数，且在处的切线垂直于直线，关于的方程，在上有且只有一个实数根，求实数的取值范围24、已知函数（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方；（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围25、已知函数(1)当时,求函数在上的极值;(2)证明:当时,;(3)证明:.【答案】(1) (2)详见解析 (3) 详见解析【解析】26、已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3；f(x)3x23x，f(2)6.所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方