高考数学之圆锥曲线常见习题及解析经典版

1、高考数学圆锥曲线常见习题及解析（经典版）椭圆一、选择题：1.已知椭圆方程,双曲线的焦点是椭圆的顶点,顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为 A.B. C.2 D.32双曲线 的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为，点P在第一象限内且在上，若PF1，/PF2，则双曲线的离心率是（ ） A B2CD【答案】B【解析】双曲线的左焦点，右焦点，渐近线，因为点P在第一象限内且在上，所以设，因为PF1，/PF2，所以，即，即，又，代入得，解得，即。所以，的斜率为，因为PF1，所以，即，所以，所以，解得，所以双曲线的离心率，所以选B.3已知双曲线的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线

2、的离心率等于ABC2D24.抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是A.B.C.D.0 5.抛物线的准线与双曲线的两渐近线围成的三角形的面积为 A.B.C. 2 D.【答案】D【解析】抛物线的准线为，双曲线的两渐近线为和，令，分别解得，所以三角形的低为，高为3，所以三角形的面积为，选D.6.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们到直线的距离之和等于5,则这样的直线A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在7.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于ABCD8.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ） A.（0， B

3、.（） C.（0，） D.（，1）9.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ） A B C D二、填空题：10.若圆以抛物线的焦点为圆心，截此抛物线的准线所得弦长为6，则该圆的标准方程是；11.设F是抛物线C1：的焦点，点A是抛物线与双曲线C2：的一条渐近线的一个公共点，且轴，则双曲线的离心率为【答案】【解析】抛物线的焦点为.双曲线的渐近线为，不妨取，因为，所以，所以，不妨取，又因为点也在上，所以，即，所以，即，所以，即，所以双曲线的离心率为。12.已知双曲线的方程为，则双曲线的离心率是.13.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则=.【答案】【解析】因为焦点在

4、轴上。所以，所以。椭圆的离心率为，所以，解得。14.已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A 的坐标是（4，a），则当时，的最小值是。三、解答题：15.(本小题满分13分)已知椭圆过点,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线与轴正半轴和轴分别交于点、，与椭圆分别交于点、,各点均不重合且满足（1）求椭圆的标准方程；（2）若，试证明：直线过定点并求此定点.(2) 由题意设，设l方程为，由知，由题意，-7分同理由知， （*） -8分联立得需 （*）且有（*）-10分（*）代入（*）得，由题意，(满足（*）)， -12分得l方程为,过定点(1,0),即P为定点. -13分16.

5、（本大题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P（4，0）且不垂直于x轴直线与椭圆C相交于A、B两点。（1）求椭圆C的方程；（2）求的取值范围；（3）若B点在于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点。(2)解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为由得：4分由得：设A(x1，y1)，B (x2，y2)，则6分17若椭圆: 和椭圆: 满足,则称这两个椭圆相似，是相似比.()求过(且与椭圆相似的椭圆的方程；()设过原点的一条射线分别与()中的两椭圆交于、点（点在线段上）.若是线段上的一点，若，成等比数列，求点的轨迹方程; 求的最大值和最小

6、值. () 当射线的斜率不存在时,设点P坐标P(0,则,.即P(0,). 5分当射线的斜率存在时，设其方程,P(由,则得同理7分又点P在上，则，且由,即所求方程是.又(0,)适合方程,故所求椭圆的方程是. 9分由可知,当的斜率不存在时，,当的斜率存在时, , 11分综上,的最大值是8,最小值是4. 12分18.（本小题满分12分）已知长方形ABCD，BC=1。以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy.（）求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程；（）过点P（0，2）的直线交（）中椭圆于M，N两点，是否存在直线，使得弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线的方程；若不存

7、在，说明理由。（）由题意直线的斜率存在，可设直线的方程为.设M，N两点的坐标分别为.联立方程：消去整理得，有7分若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以，8分所以，即所以，即， 9分得. 10分所以直线的方程为，或.11分所在存在过P（0，2）的直线：使得以弦MN为直径的圆恰好过原点。12分19.（本小题满分12分）如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。（1） 求实数b的值；（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.【解析】（I）由得 ()因为直线与抛物线C相切,所以,解得4分双曲线题组一双曲线的定义及标准方程1.(2010·汕头一模)中心在原

8、点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为()Ax2y21 Bx2y22Cx2y2Dx2y2解析：由题意，设双曲线方程为1(a>0)，则ca，渐近线yx，a22.双曲线方程为x2y22.答案：B2已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·0，| |·| |2，则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：·0，MF1MF2，|MF1|2|MF2|240，(|MF1|MF2|)2|MF1|22|MF1|·|MF2|MF2|2402×236，|M

9、F1|MF2|62a，a3，又c，b2c2a21，双曲线方程为y21.答案：A题组二双曲线的几何性质3.(2009·宁夏、海南高考)双曲线1的焦点到渐近线的距离为()A2 B2C. D1解析：双曲线1的焦点为(4,0)或(4,0)渐近线方程为yx或yx.由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d2.答案：A4(2010·普宁模拟)已知离心率为e的曲线1，其右焦点与抛物线y216x的焦点重合，则e的值为()A. B.C. D.解析：抛物线焦点坐标为(4,0)，则a2716，a29，e.答案：C5(2009·江西高考)设F1和F2为双曲线1(a0，b0)

10、的两个焦点，若F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为()A. B2C. D3解析：tan60°，4b23c24(c2a2)3c2c24a24e2.答案：B6(2010·广州模拟)已知点F是双曲线1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)解析：如图，要使ABE为锐角三角形，只需AEB为锐角，由双曲线对称性知ABE为等腰三角形，从而只需满足AEF<45°. 又

11、当xc时，y，tanAEF<1，e2e2<0，又e>1，1<e<2.答案：B题组三直线与双曲线的位置关系7.(2010·西安调研)过点P(4,4)且与双曲线1只有一个交点的直线有()A1条 B2条C3条 D4条解析：如图所示，满足条件的直线共有3条答案：C8设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_解析：由题意知，A(3,0)，F(5,0)，渐近线斜率k±，则直线方程为y(x5)，代入1，得x，y，即B(，)，SAFB×2×.答案：题组四双曲线的综合问题9.(

12、2010·德州模拟)P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_解析：双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.答案：510(1)已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2y210相交于点P(3，1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程；(2)已知双曲线的离心率e，且与椭圆1有共同的焦点，求该双曲线的方程解：(

13、1)切点为P(3，1)的圆x2y210的切线方程是3xy10.双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，两渐近线方程为3x±y0.设所求双曲线方程为9x2y2(0)点P(3，1)在双曲线上，代入上式可得80，所求的双曲线方程为1.(2)在椭圆中，焦点坐标为(±，0)，c，又e，a28，b22.双曲线方程为1.11已知双曲线C：y21，P是C上的任意点(1)求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；(2)设点A的坐标为(3,0)，求|PA|的最小值解：(1)证明：设P(x1，y1)是双曲线上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是x2y0和x2y

14、0，点P(x1，y1)到两条渐近线的距离分别是和.它们的乘积是·.点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数(2)设P的坐标为(x，y)，则|PA|2(x3)2y2(x3)21(x)2.|x|2，当x时，|PA|2的最小值为，即|PA|的最小值为.12(文)已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且·2(其中O为原点)，求k的取值范围解：(1)设双曲线C2的方程为1，则a2413，c24，由a2b2c2，得b2

15、1，故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.x1x2y1y2x1x2(kx1)(kx2)(k21)x1x2k(x1x2)2.又·2，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23，由得k21，故k的取值范围为(1，)(，1)(理)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)(1)求双曲线C的方程；(2)若直线：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A(0，1)，求实数m的取值范围解：(1)设双曲线方程为1(a>0，b>0)由已知得a，c2.又a2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)联立整理得(13k2)x26km