2012年福建省高一数学竞赛试题-参考答案

1、2012年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月13日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1已知集合，则( )A B C D【答案】 C 【解答】由条件知，。2已知直线，与函数的图象交于、两点，与函数的图象交于、两点，则直线与（ ）A相交，且交点在第一象限 B相交，且交点在第二象限C相交，且交点在第四象限 D相交，且交点在坐标原点【答案】 D 【解答】由条件知，、。所以，直线方程为；直线方程为。由此可得，两直线相交，且交点在坐标原点。3已知集合，如果存在实数，使得对任意正数，都存在，使得，则称为集合的“聚点”。给出下列四个集合：； 。其中以0为“聚点”的

2、集合有（ ）A、 B、 C、 D、【答案】 A 【解答】对于集合，若取，则不存在，使得；对于，若取，则不存在，使得（只要的正数均可）。显然，、符合要求。4已知四面体四个顶点的坐标分别为、，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）A B C D【答案】 D 【解答】取中点，则由条件知，。所以，就是直线与平面所成的角。又，因此，。5已知，是两个不相等的正数，且满足条件，则的最大值为（ ）（符号表示不超过的最大整数）A4 B3 C2 D1【答案】 B 【解答】由知，。由，为正数知，。又由知，由此解得，。所以，。又，当，即、是方程的两根时（容易验证该方程有两个不相同的正根），。因此，的最大值为3。6函数的最

3、大值为（ ）A B C D【答案】 D 【解答】由柯西不等式知，。当且仅当，即时等号成立。所以，的最大值为。另解：易知，设，则。因此，的最大值为。二、填空题（每小题6分，共36分）7已知过点的直线交轴正半轴于点，交直线：于点，且，则直线在轴上的截距为 。【答案】 7【解答】 由知，点的纵坐标为1，点的坐标为。因此，直线即直线的方程为。所以，直线在轴上的截距为7。8若关于的不等式在区间上有解，则的最大值为 。【答案】 【解答】 依题意，不等式，即在区间上有解。由于在区间上为减函数，其最大值为。所以，的最大值为。9在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为 。【答案】 【解答】由，知，。又，因此，

4、所以，。取中点，则，是三棱锥外接球的球心。所以，三棱锥外接球半径，其表面积。10三个半径都是2的圆，其圆心分别为、，直线斜率为，且过点。若、位于直线某一侧的部分的面积和等于位于直线另一侧的部分的面积和。则 。【答案】 2 【解答】由条件知，直线将面积分成相等的两部分，因此，、位于直线某一侧的部分的面积和等于位于直线另一侧的部分的面积和。所以，直线过、的中点。11已知函数，则方程在区间内所有实根的和为 。 【答案】 45【解答】设，则时，。 函数（）的图象与直线有且只有1个横坐标为1的交点， 方程在区间上仅有一个实根。又时， 方程在区间上仅有一个实根；在区间上仅有一个实根；，在区间上仅有一个实根

5、；在区间上仅有一个实根。 方程在区间内所有实根的和为。12符号表示不超过的最大整数，符号表示的小数部分，即。若实数满足，则的最小值为 。【答案】 【解答】依题意有，设，。则。所以，。又当时，符合要求。时，所以，不符合要求。所以，的最小值，即的最小值为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13已知在区间上的最小值为。（1）求的表达式；（2）当时，求在区间上的最大值。【解答】（1）当，即时，在区间上的最小值为；当，即时，在区间上的最小值为；当，即时，在区间上的最小值为。 （2）由知，或。所以， 所以，在区间上的最大值为。 14已知圆：，点、，（1）若，且直

6、线被圆截得的弦长为4，求的值；（2）若，为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值（），求的值。【解答】（1） ，且， 直线的方程为，即。 直线被圆截得的弦长为4，且圆心到直线的距离为， 圆半径，即，。 （2）设为圆上任意一点，则由条件知，即， 由点为圆上任意一点知，方程表示的轨迹与圆是同一条曲线。 所以，。所以，。由知，结合为正整数知，因此，。所以，。 15对任意的正整数，以及任意个互不相同的正整数，若不等式恒成立，求整数的最小值。【解答】 ， 若，则有 与要求不符。 。 当时，由，为个互不相同的正整数知， 。 当时，不等式对任意个互不相同的正整数，恒成立。 整数的最小值为2。

7、 16如图，、为圆的两条切线，、为切点，为圆的割线，、为割线与圆的交点。过作直线交于点、交于点，且。求证：。 第16题图【解答】 如图，作于，联结、，则为的中点。在中，由，为的中点，知。 。 、四点共圆， ，从而、四点共圆。 。 、为圆的两条切线，且， 、四点共圆（都在以为直径的圆上）。 第16题答题图 。 由、知， 。 17在直角坐标平面内有2012个点，记这2012个点组成的点集为，已知点集中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合。证明：在点集中，存在、两点，使得以为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形内（不包括边界）至少含有点集中的402个点。【解答】设是点集中纵坐标最大的点，是点集中纵

8、坐标最小的点，是点集中横坐标最大的点，是点集中横坐标最小的点。则点集被四条直线、所形成的矩形所覆盖。记此矩形为矩形。 记以线段为对角线，且边与坐标轴平行或重合的矩形为，矩形内（不包括边界）含有点集中的点的个数为。（1）若、四点中有重合的情形。由于点集中任何两点的连线与坐标轴既不平行也不重合，因此，点与点不重合，点与点不重合。 若、重合为2个不同的点。由对称性，不妨设与重合、与重合，则显然矩形符合要求。若、重合为3个不同的点。由对称性不妨设与重合，则矩形被三个小矩形、所覆盖，因此，点集也被三个小矩形、所覆盖。因此，即、中至少有一个不小于670，从而符合条件的点、存在。由、知，当、四点中有重合情形时，结论成立。（