双曲线及其标准方程(1)

1、双曲线及其标准方程 （1）福建师大附中苏诗圣教学目标：理解双曲线的定义，明确焦点、焦距的意义；能根据定义，按求 曲线方程的步骤导出双曲线的标准方程， 并能熟练写出两类标准 方程； 培养学生分析问题能力和抽象概括能力。 学会用辩证的观 点从椭圆的定义到双曲线定义的“变化”中认识其“不变”性， 并从中发现数学曲线的简洁美和对称美， 培养学生学习数学的兴 趣。教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程（ 解决办法：通过一个简单实验得出双曲线，再通过设问给出 双曲线的定义；对于双曲线的标准方程通过比较加深认识教学难点：双曲线的标准方程的推导 （解决办法：引导学生完成，提醒学生与椭圆标准方程的推导 类比

2、）教学方法：启发式数学实验 7 双曲线的定义7 例与练1、教学过程：复习椭圆的定义及标准方程 7 新知探索 7双曲线 7 展示现实生活中的双曲线7 对定义的思考 7 双曲线标准方程的推导7 课堂小结 7 作业 7 研究性学习一、复习引入：前面我们已经学习了椭圆的有关知识， 请同学们回忆一下椭圆的定义。 问题 1：椭圆的定义是什么？（板书）平面内与两定点 Fi、F2的距离的和等于常数（大于|FiF2|）的点的 轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做焦距。二、新知探索 思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么这样 点是否存在？若存在，轨迹会什么？2、实物拉链演示

3、：双曲线的形成（请同学参与协助画图） （取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边的长度相等，现将 其中的一边剪掉一段（长为2a），两端点分别固定在黑板的两个定点 F1、F2上，把粉笔放在拉链关上，随着拉链的逐渐拉开或闭合，粉笔就画出了一条曲线。)思考如何改请同学们观察在变化中哪些量在变化，哪些量不变。 进作图工具？3、对双曲线有了初步的认识，现实生活中的双曲线的实物图(古代建筑、现代建筑、冷却塔、北京市区交通图)，这些古今中外与双曲线有关的图片给人一种对称、简洁、流畅的美的享受。那么，如何 给双曲线一个科学的定义呢？4、(请同学回答)双曲线的定义：平面内与两定点Fi、F2的距离的差的绝对Fi、

4、F2值是常数(大于零且小于|FiF2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距.(1) 定义中“平面内”起到什么作用？如果没有这个条件，点的轨迹将变为一个立体图形。(2) 将定义中的“绝对值”去掉，动点的轨迹是什么？双曲线的一支，双曲线有两支，丢掉任意一支都是不完整的。 将定义中的常数改为零，动点的轨迹是什么？“小于”改为“等于”，动点的轨迹是什么?FiF2的中垂线。(4) 将定义中的“小于”改为“大于”，动点的轨迹是什么?两条射线。(5) 将定义中的动点的轨迹是什么?|FiF2| ” 去掉,不存在。“小于(6) 将定义中的分类讨论电脑演示(用几何画板制

5、作课件)以上6种情形，在上述基础上，引导学生再 次理解双曲线的定义。2、双曲线标准方程的推导请同学现在我们可以用类似于求椭圆标准方程的方法求双曲线的标准方程， 们思考回忆椭圆标准方程的推导方法，随后引导学生自己推导。(1) 建系设点取过焦点Fi、F2的直线为x轴，线段FiF2的垂直平分线为y轴(如图2-24) 建立直角坐标系.F曾雷设M(x, y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c >0),F1那么Fi、F2的坐标分别是(-C , 0)、(C , 0).又设点M与 Fi、F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2) 点的集合由定义可知，双曲线就是集合P=M|MFi|-|MF 2|=

6、2a=M|MF i|-|MF 2|= ± 2a.(3) 代数方程+ I 亚 I卡一八汽 J(K + c)2 +5? J(if+y2 = ± 2a.(4) 化简方程将这个方程移项，两边平方得：(£ + 护=4+ (;: Y尸 +y<cx+a双曲线标准方程中，a>0, b> 0,但a不一定大于b; 2=± aJ(x c)2y2化简整理得：(c 2-a 2)x 2-a 2y2=a2(c 2-a2).由双曲线定义，2c>2a>0 即c>a>0,所以c2-a2>0. 设 c2-a 2=b2(b > 0)，代入上

7、式得：b2x2-a2y2=a2b2.2 x2 a2yEt 1(a 0,b 0)b这就是双曲线的标准方程.(从以上推导过程中可知，曲线上的每一点的坐 标都满足方程。若以FiF2所在的直线为y轴，FiF2的中垂线为x轴建立直角坐标系，只须将2 2方程中的X、y对调即得务 1a2 b2(1)2 x2 a2 y b1(a0,b0)表示焦点在0)、F2 (c，0)，这里c2=a2+b2。22y2x21(a0,b0)表示焦点在ab-C)、冃(0,c)，这里2 2 , 2 c =a +b。两种标准方程的比较(引导学生归纳)：X轴上的双曲线，焦点是Fi(-c ,y轴上的双曲线，焦点是Fi(O,2L 1 (2)

8、 2y2-7x2= -142是（2，例2（书P105例1）:已知双曲线两个焦点F1（-5,0） 、F2（5,0），双曲线上一点P到F1、F2的距离差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程。分析：（1） “定位”中心是否在原点，焦点在哪个轴上，以便确定是哪个标准方程；（2） “定量”双曲线的标准方程中有两个参数，必须有两个相互独立的条件来确定 a和b ；c=5， 2a=6，所以 b2=c2-a2=52-3 2=42.0)是(0，3)因此，所求方程是梦率X2例3：（书P107练习2）已知方程21表示焦点在x轴上的双曲线，求m的取值范围。分析：（2-m）>0 且（m+1）>0得-1<

9、m<22变式一：已知方程一2 m1表示双曲线,求m的取值范围。分析：(2-m)(m+1)>0得-1<m<22变式二：已知方程一x2 m1表示焦点在y轴上的双曲线，求 m的取值范围和焦点坐标。 分析：(m1) (m 2) 2m 1隹占为八、八、/ J（0, J2m 1）变式三：上述方程是否可以表示椭圆和圆？分析：2-m>0 且 m+1>0 得-1<m<2時为椭圆。当 2-m=m+1>0时得m=l时，表示圆。四、小结双曲线与椭圆的联系与区别 （图表）。五、 布置作业P 108 1、2、3六、思考题：将作业第一题改为 “ ABC 边的两个端点是 B（a，0）和C（-a，0），另两边所在直线的斜率之积为常数k”，求顶点A的轨迹。七、研究性问题：平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹是什么？1、可以进行理论研究2、可以利用电脑进行研究3、可以利用文曲星自编 BASIC语言进行研究4、进行合作探究，相互学习和交流。c >0 .平面上任意一点设两定点分别为 A（ -C, 0 ）、B （ c , 0 ）,P （ X , y ）到两定点的距离的积为a ,则J（x C）2 y2 J（xV X2 c2 Ja2 4x2c2.点的轨迹为两个分离的封闭图形，如图1所点的轨迹为两个相切的封闭图形，在原点相切，如图2