人教选修1-1A-导数的概念(用)

1、导数的概念教学目的：1. 理解导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法 .2. 理解掌握开区间内的导数概念，会求一个函数的导数 .3. 理解函数在一点处可导，则函数在这点连续*教学重点：导数的定义与求导数的方法.教学难点：导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念, 从导数的定义归纳出求导数的方法.授课类型：新授课.课时安排：1课时-教 具：多媒体、实物投影仪* 教学过程：一、复习引入：1 .曲线的切线如图，设曲线c是函数y f(X)的图象，点P(x0,y0)是曲线c上一点*作割线PQ当点Q沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置 PT我们就把极限位置上的

2、直线PT,叫做曲线c在点P处的切线，2.确定曲线c在点P(X0, y。)处的切线斜率的方法:因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识， 只要求出切线的斜率就够了 设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ的极限位置上的直线PT是切线，所以割线PQ斜率的极限就是切线PQ的斜 率tan ,即tan =limlim f(x0x) f(x)>x 0 X x 0x3. 瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.4. 确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法：从t。到t0+A t，这段时间是 t.时间 t足够短，就是 t无限趋近于0.当 t T0时，

3、平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度瞬时速度 v lim V lim s(t0t) s(t0)t 0t 0、讲解新课:1. 导数的定义：设函数y f(x)在X Xo处附近有定义，当自变量在X Xo处有增量 x时，贝U函数y f(X)相应地有增量y f (xox) f(xo)，如果X o时，y与X的比丄(也叫函数的平均变化率)有极限即 亠无限趋近XX于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y f(x)在X Xo处的导数，记作X “，即 f/(Xo)啊 f(Xo: f(Xo) 注意：(1)函数应在点X0的附近有定义，否则导数不存在*(2)在定义导数的极限式中，X趋近于0可正、可负、但不为0,

4、而y可能 为o*(3)是函数y f(x)对自变量X在X范围内的平均变化率，它的几何意 X义是过曲线y f (x)上点(xo, f (xo)及点(xoX, f (xox)的割线斜率.导数f/(xo)limX)f(Xo)是函数y f(x)在点x。的处瞬时变X oX化率，它反映的函数yf(x)在点X0处变化的快慢程度它的几何意义是曲线y f(X)上点(x0, f (x0)处的切线的斜率*因此，如果f(X)在点X0可导,则曲线y f(X)在点(X0,f(X0)处的切线方程为f (Xo) f/(Xo)(x Xo).(5)导数是一个局部概念，它只与函数y f(x)在X0及其附近的函数值有关,X无关.在定义

5、式中，设X Xo X，贝U X X xo，当X趋近于0时，X趋近于X0，因此，导数的定义式可写成f/lim f(xo x) f(xo)lim f(x) f(Xo)X oXX XoX Xo 若极限lim_X)f(Xo)不存在，则称函数y f (X)在点Xo处不可X oX导*f(X0)有切线存在反之不(8)若f(x)在Xo可导，贝U曲线y f(x)在点(Xo,然，若曲线y f(x)在点(Xo, f (xo)有切线，函数y f (x)在Xo不一定可导,并且，若函数y f(x)在Xo不可导，曲线在点(X0, f(X0)也可能有切线.2. 导函数(导数):如果函数y f(X)在开区间(a,b)内的每点处

6、都有导数，此时对于每一个X (a, b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数fx),称这个函数/(x)为函数yf(X)在开区间内的导函数，简称导数,X 就是函数y f (x)在开区间也可记作 y/，即 f /(x) = y/ = limlim f(x x) f (x) X o X X o函数y f(x)在Xo处的导数y/xxo = f/(xob所以函数(a,b) (X (a,b)上导数fx)在x。处的函数值，即y y f (x)在Xo处的导数也记作(Xo)*注意：导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是 求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数

7、值.它们之间的关系是函数y f(X)在点Xo处的导数就是导函数fix)在点Xo的函数值*3. 可导：如果函数y f(X)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数 y f(X)在开区间(a,b)内可导*4. 可导与连续的关系：如果函数 y=f(x)在点Xo处可导，那么函数y=f(x) 在点Xo处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件， 而不是充分条件.从f(X)在Xo处可导的定义可以知道，f (X)在Xo处有定义，考察f(X)在Xo 处是否有极限，并且是否等于f(Xo).已知 f，(Xo)=limf(XoX) f(Xo)X oX令 X=Xo+ X，当 X7o 时，X7Xo

8、二 lim f (x)= lim f (xo+A x)= lim f (xo+ Ax) f (xo)+f(xo)X oX oX o=叽 C3 A g):lim X)_f"x" lim Ax + limf(X0)=f' (x。) 0+f(X0)=f(x。)X 0XX 0c f(x)在X0处连续.连续未必可导可通过反例说明，如xy=|x|=0在X0=O处0Tim y=lim ( x)=0，lim y=limx 0x 0x 0 x 0y=|x|在x=0处连续., y ,|x| |0|lim 丄= lim ' IIIx 0 x x 0x=0,二 lim y=0x 0

9、lim山x x 0 xxx y=|x|在X0=O处不可导.5. 求函数y f (x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量 y f(x x)f(x).(2)(3)求平均变化率丄f(x X)f(x)xX取极限，得导数y/ = f (X) limx 0 X、讲解范例：例1求y=x2在点x=1处的导数.分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求 y，再求x最后求叽y解：Ay=(1+ AX)2 12=2Ax+( Ax)2，x2 x ( x)2 =2+Axxy lim = lim (2+ A x)=2. y T x=1=2.x 0 x x 0 注意：(Ax)2括号别忘了写.例2已知y= Jx，

10、求y .分析：求函数在一点的导数，与求函数在一个区间上的导数，方法是一样的, 也是三个步骤，只是把X0换成x.解: A y=x Tx，yxvx x vxlim址x 0x 丘、. x x x limFxx 0 x( x 丘)lim f.x。丘x Vx2丘点评：求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础, 求极限的一些基本方法不能忘掉.例 3 已知 y=x3 2x+1，求 y', y '| x=2.解: A y=(x+A x)3 2(x+A x)+1 (x3 2x+1)32233=x +3x A x+3x( A x) +( A x) 2x 2A x+1 x +2x

11、 1322=(A x) +3x( A x) +(3x 2) A xy22-=(A x) +3x A x+3x 2 x y' =lim -y = lim ( A x) 2+3x A x+3x2 2 =3x2 2.x 0 x x 0 方法一： y' =3x2 2,A y' |x=2=3X 22 2=10.方法二：A y=(2+ Ax)3 2(2+ Ax)+1 (23 2 - 2+1)=( Ax)3+6( Ax)2+10Axy =( A x) 2+6A x+10x二 y' | x=2= limx 0y = lim ( A x) 2+6 A x+10 =10. x X

12、-点评：如果题目中要求y'，那么求y' |x=2时用方法一简便， 如果只要求y' |x=2,用方法二比较简便,四、课堂练习：1 .求y=2x2+4x在点x=3处的导数.解: A y=2(3+ A x)2+4(3+ A x) (2 X 32+4X 3)=2( A x) 2+16A x，y=2A x+16xy = lim (2 Ax+16)=16，即 y' |x=3=16limx 0 x x 02.已知 y= Jx 4，求 y'解：Ay=Jx x 4 Jx 4 , xVx x4 Jx 4*Iya/xX 4 Px 4lim= limlimfx 0 x'

13、x x 4 V x 4x 0 x x 0=00 Jx X ； Jx 4 佔y'五、小结：这节课主要学习了导数的定义，以及求导数方法的三个步骤f(X0)=y 丨=li = limf(X0X)f(X0)'XX0X 0 X X 0X三个步骤：求函数的增量 Ay，求平均变化率一y，取极限f (X0)=xlim ，以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件 X 0 X八、课后作业：*1. 函数y=f(X)在X=X0处可导是它在X=X0处连续的A.充分不必要条件C.充要条件2. 在曲线y=2x2 1 则丄等于XA.4 A X+2A X2B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

14、 的图象上取一点(1, 1)及邻近一点(1 + Ax,1+ y),2B.4+2 A x C.4 A x+A xD.4+A x3. 若曲线y=f(x)在点(X0,f(X0)处的切线方程为2x+y 1=0，则A.f(X0)>0B.f' (X0)<0 C. f(X0)=0D.f(X0)不存在4. 已知命题p:函数y=f(X)的导函数是常数函数；命题q:函数y=f (X)是一次 函数，则命题P是命题q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件等于5. 设函数f(x)在X0处可导，则lim (x。h) f(X0 h)h 0C.2(0)等于 C.A.f

15、(xo)B.O6. 设 f (x)=x(1+| x|),则 f A.OB.17. 若曲线上每一点处的切线都平行于D. - 2f，(xo)-1x轴，则此曲线的函数必是D.不存在8. 曲线y=x3在点P (2, 8)处的切线方程是 9. 曲线f(x)=x2+3x在点A (2, 10)处的切线斜率k=_10. 两曲线y=x2+1与y=3x2在交点处的两切线的夹角为11. 设f (x)在点x处可导，a、b 为常数，则 lim f(x a x) f(x b x)=x 0X212.已知函数f(x)=ax bX 0，试确定a、b的值，使f (X)在x=0X 013-设 f(x)=m (x n),求 f' (1).(x n)14.利用导数的定义求函数 参考答案：1.A 2.B 3.B410.arctan 一34.B 5.C 6.By=|x|( x工0)的导数.7.11.( a+b)f' (x)常数函数 8. y=12x 16 9. 712.解：limx 0f(0 x) f(0)-limx 0(X)2 Xxlim ( A x+1)=1x 0lim f(0 X) f(0) = limX 0XX 0X)X才有f (X)在x=0处可导x若 bM