数列求和的各种方法

1、数列求和的方法23教学目标1 熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法(1) 公式法等差数列的前n 项和公式Sn= na1 + .等比数列的前n 项和公式(I )当 q = 1 时,Sn= na1；Sn= . 常见的数列的前 n 项和：， ，等1+3+5+ +(21)=(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4) 倒序相加

2、法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式 可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(5) 错位相减法an - bn的前n项和，其中an和bn这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主要用于求分别是等差数列和等比数列(6) 并项求和法an= (1)nf(n) 类型，可采用两一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 项合并求解例如，Sn= 1002 992 + 982 972 + 22- 12= (100 + 99) + (98 + 97) + + (2 + 1) = 5 050.2. 常见的裂项公

3、式=;设等差数列an的公差为4,则=().数列求和题型 考点一 公式法求和1. (2016新课标全国I已知an是公差为3的等差数列，数列b n满足b1 = 1,b2=, anbn+1+bn+ 1 = nbn.(1) 求an的通项公式；(2) 求bn的前n项和.2. (2013 新课标全国n,17)已知等差数列an的公差不为零，a1 = 25,且a1 , a11, a13成等比数列.(1)求an的通项公式；求 a1 + a4+a7+ a3n 2.变式训练1. (2015 四川，16)设数列an(n = 1, 2, 3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn= 2an a1,且 a1, a2+1, a3

4、 成 等差数列 .(1) 求数列 an 的通项公式;(2) 设数列的前n项和为Tn,求Tn.2. (2014 福建，17)在等比数列an中，a2= 3, a5= 81.(1) 求 an;设bn= Iog3an，求数列bn的前n项和Sn.考点二 错位相减法1. (山东)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列，且(I)求数列的通项公式；(I)令求数列的前n项和Tn.2. (2015 天津，18)已知数列an满足 an+ 2= qan(q 为实数，且 qz 1) , n N*, a1 = 1, a2 = 2，且 a2 + a3， a3 a4， a4a5 成等差数列 .(1) 求 q 的值

5、和 an 的通项公式；(2) 设bn=, n N*,求数列bn的前n项和.变式训练1. (2014 江西，17)已知首项都是1 的两个数列an , bn(bn 丰 0, n N*)满足 anbn+ 1 an+ 1bn + 2bn1bn=0.cn =，求数列cn的通项公式；bn= 3n 1 ,求数列 an 的前 n 项和 Sn.(1) 令(2) 若2.(2014(1) 若-四川，19)设等差数列an的公差为d,点(an , bn)在函数f(x) = 2x的图象上(n N*). a1 = 2，点(a8 , 4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和Sn;若a1 = 1,18)设等差数列a

6、n的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1= a1, S10= 100.函数 f(x) 的图象在点 (a2 ， b2) 处的切线在 x 轴上的截距为 2，求数列的前 n 项和 Tn.3. (2015 湖北，b2= 2, q = d,(1) 求数列 an , bn 的通项公式；(2) 当d>1时，记cn =，求数列cn的前n项和Tn.4. (2015 山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn= 3n + 3.(1) 求an的通项公式；(2) 若数列bn满足anbn = Iog3an，求bn的前n项和Tn.5. (2015 浙江，17)已知数列an和bn满足 a

7、1 = 2, b1 = 1, an+ 1 = 2an(n N*) , b1+b2+b3+ bn =bn1 1(n N*).(1) 求 an 与 bn;记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.6.(2015 湖南，19)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1 = 1, a2= 2,且 an+ 2= 3SnSn+1 + 3, n N*.(1) 证明：an+ 2= 3an;(2) 求 Sn.考点三 分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列an中，a2= 4, a4+ a7= 15.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=+ n,求 b1 + b2 + b3+ b10 的值.2

8、. (2014 湖南，16)已知数列an的前n项和Sn=, n N*.(1) 求数列 an 的通项公式；设bn=+ ( 1)nan，求数列bn的前2n项和.变式训练1. (2014 北京，15)已知an是等差数列，满足a1= 3, a4= 12,数列bn满足b1 = 4, b4= 20,且bn an 为等比数列 .(1) 求数列 an 和 bn 的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .考点四 裂项相消法1. (2015 新课标全国I, 17)S n为数列an的前n项和.已知 an >0, a +2an= 4S n+ 3.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn =，求数列bn

9、的前n项和.2. (2011 新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a1 + 3a2 = 1, a = 9a2a6.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn = Iog3a1 + Iog3a2 + Iog3an，求数列的前 n 项和.3. (2015 安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1+ a4= 9, a2a3 = 8.(1) 求数列 an 的通项公式；设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.变式训练1. (2013 江西，16)正项数列an满足：a (2n 1)an 2n= 0.(1) 求数列 an 的通项公式 an；令bn =，求数

10、列bn的前n项和Tn.2. (2013 大纲全国，17)等差数列an中，a7= 4, a19 = 2a9.(1)求an的通项公式；设bn =，求数列bn的前n项和Sn.3. 在数列an中，a1= 1,当n > 2时，其前n项和Sn满足S= an.(1) 求 Sn 的表达式；(2) 设bn=，求bn的前n项和Tn.考点五 倒序相加法 已知函数f(x) = (x R). (1)证明：f(x) + f(1 x) =; (2)若 S= f() + f() + f()，则 S=变式训练1. 设 f(x)=，若S= f() + f() + f()，则 S=考点六 并项求和1. (2012 新课标，1

11、6)数列an满足 an+ 1 + ( 1)nan = 2n 1，则an的前 60 项和为2. (2014山东，19)在等差数列an中，已知公差 d= 2, a2是a1与a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=，记 Tn= b1 + b2 b3+ b4 + ( 1)nbn ,求 Tn.变式训练1. (2014 山东理，19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1, S2, S4成等比数列.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 令bn = ( 1)n 1,求数列bn的前n项和Tn.2.(2013(1) a3(2) S1湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，

12、Sn= ( 1)nan -, n N*,则: = ；+ S2+ S100=考点七1.(2011变式训练1.(2013 浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a1= 10,且a1 , 2a2 + 2, 5a3成等比数列. (1) 求 d， an； 若 dv 0,求 |a1| + |a2| + |a3| + |an|.数列 |an| 的前 n 项和问题北京，11)在等比数列an中，若a1 = , a4=- 4,则公比q =;|a1| + |a2| + |an|考点八 周期数列1.已知数列 后两项之和,A 2 008 B 变式训练2 008,2 009,1, - 2 008，- 2 009，这

13、个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前则这个数列的前 2 014 2 010 C 1 D 0项之和 S2 014 等于 ()1.(2012 福建)数列an的通项公式 A.1 006 B.2 012考点九 数列与不等式的应用1. (2014 新课标全国n,(1) 证明是等比数列,并求(2) 证明+ + + <.C.503an= ncos，其前n项和为Sn,贝U S2 012等于()D.017)已知数列an满足 a1 = 1, an+ 1 = 3an+ 1. an 的通项公式；2. (2015 浙江，20)已知数列an满足 a1=且 an+ 1 = ana(n N*).(1) 证明：1

14、 ww 2(n N*);(2) 设数列a的前n项和为Sn,证明：ww (n N*).3. (2013江西，理)正项数列an的前项和an满足：(1) 求数列an的通项公式an；(2) 令，数列bn的前项和为。证明：对于任意的，都有变式训练1. (2014 湖北，18)已知等差数列an满足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求n的最小值；若不存在,说明理由2. (2013 广东，19)设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a1 = 1,= an+ 1 n

15、2 n, n N*.(1) 求 a2 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；(3) 证明：对一切正整数 n,有+ + +3. (2013 天津，19)已知首项为的等比数列(1) 求数列 an 的通项公式；证明 Sn+w (n N*).4. (2014 广东，19)设各项均为正数的数列 =0, n N*.(1) 求 a1 的值；(2) 求数列 an 的通项公式；an的前n项和为Sn(n N*)，且2S2, S3, 4S4成等差数列.an的前 n 项和为 Sn,且 Sn满足 S (n2 +n 3)Sn 3(n2 + n)证明：对一切正整数n,有+ + + <答案考点一 公式法求和1. (2

16、016新课标全国I已知an是公差为3的等差数列，数列b n满足b1 = 1,b2=, anbn+1+bn+ 1 = nbn.(1) 求an的通项公式；(2) 求bn的前n项和.【答案】( I)( II) 考点：等差数列与等比数列17)已知等差数列an的公差不为零，a1 = 25,且a1 , a11, a13成等比数列.2. (2013 新课标全国n,a3n 2. d.(1) 求an的通项公式；(2) 求 a1 + a4 + a7+解(1)设an的公差为由题意，a= a1a13,即(a1 + 10d)2 = a1(a1 + 12d).于是 d(2a1 + 25d) = 0.又 a1 = 25,所

17、以 d = 0(舍去)，d= 2.故 an= 2n+ 27. 令 Sn=a1 + a4 + a7 + + a3n 2.由(1)知a3n 2= 6n + 31,故a3n 2是首项为25,公差为6的等差数列.从而 Sn= (a1 a3n 2) = ( 6n56) = 3n228n.变式训练1. (2015 四川，16)设数列an(n = 1, 2, 3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn= 2an a1,且 a1, a2+1, a3 成 等差数列 .(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设数列的前n项和为Tn,求Tn.解 (1)由已知 Sn= 2an a1,有 an = SnSn 1 = 2an

18、 2an 1(n >2)，即 an=2an1(n >2),从而 a2=2a1, a3=2a2= 4a1,又因为a1, a2 + 1, a3成等差数列，即 a1 + a3 = 2(a2 + 1),所以 a1 + 4a1 = 2(2a1 + 1)，解得 a1 = 2,所以,数列 an 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an= 2n.(2) 由(1) 得=,所以 Tn= + += = 1 .2. (2014 福建，17)在等比数列an中，a2= 3, a5= 81.(1) 求 an;(2) 设 bn= log3an ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn.解(1)设an的公比为q,

19、依题意得解得因此, an= 3n 1.(2) 因为 bn= log3an = n 1 ,所以数列bn的前n项和Sn=.考点二 错位相减法 1.(2015山东，理，18)已知数列 的前n项和Sn=3n2+8n,是等差数列，且(I)求数列的通项公式;(I)令求数列的前n项和Tn.答案】( I);( I) .(I)由(I)知, 又， 得，两式作差，得所以 考点：数列前 n 项和与第 n 项的关系;等差数列定义与通项公式;错位相减法2. (2015 天津，18)已知数列an满足 an+ 2= qan(q 为实数，且 qz 1) , n N*, a1 = 1, a2 = 2，且 a2 +a3，a3 a4

20、， a4a5 成等差数列 .(1)求 q 的值和 an 的通项公式;(2)设bn=, n N*,求数列bn的前n项和.(1) 由已知,有 (a3a4)(a2a3)=(a4a5)(a3a4),即 a4a2= a5 a3,所以 a2(q 1) = a3(q 1) ,又因为 qz 1 ,故 a3= a2= 2,由 a3= a1q,得 q= 2.当 n = 2k 1(k N*)时，an= a2k 1 = 2k 1 = 2;当 n= 2k(k N*) 时, an= a2k= 2k= 2.所以，an的通项公式为an = 由(1)得 bn= = , n N*.设bn的前n项和为Sn,则 Sn= 1 x +

21、2x + 3X + (n 1) x + nx,Sn= 1x + 2x + 3x+ (n 1) x + nx .上述两式相减得：= 2整理得, Sn= 4, n N*.所以,数列 bn 的前 n 项和为 4, n N*.变式训练1. (2014 江西，17)已知首项都是 1 的两个数列an , bn(bn 丰 0, n N*)满足 anbn+ 1 an+ 1bn + 2bn+ 1bn = 0.(1)令cn =，求数列cn的通项公式; 若bn = 3n 1，求数列an的前n项和Sn.解 (1)因为 anbn+ 1 an+ 1b n+2bn+ 1bn = 0, bn 0(n N*),所以= 2,即

22、cn+ 1 cn= 2.所以数列 cn 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列,故 cn=2n1.(2)由 bn = 3n 1 知 an = cnbn = (2n 1)3n 1,于是数列an的前 n 项和 Sn= 1x 30+ 3x 31 + 5x 32 + + (2n 1) x 3n 1,3Sn= 1 x 31 + 3x 32+ (2n 3) x 3n1 + (2n 1) 3n,相减得2Sn= 1 + 2 (31 +32+ 3n 1) (2n 1) 3n= 2 (2n 2)3n ,所以 Sn= (n 1)3n + 1.2. (2014 四川，19)设等差数列an的公差为d,点(an , b

23、n)在函数f(x) = 2x的图象上(n N*).(1) 若 a1= 2，点 (a8 ，4b7) 在函数 f(x) 的图象上，求数列 an 的前 n 项和 Sn； 若a1 = 1，函数f(x)的图象在点(a2 , b2)处的切线在x轴上的截距为2 ,求数列的前n项和Tn.解 (1)由已知得，b7= 2a7, b8 = 2a8= 4b7，有 2a8 = 4x 2a7 = 2a7 + 2.解得 d= a8 a7= 2.所以, Sn= na1 + d= 2n+ n(n 1)= n2 3n. 函数 f(x) = 2x 在(a2 , b2)处的切线方程为 y 2a2 = (2a2In 2)(x a2),

24、它在 x 轴上的截距为 a2 .由题意得, a2= 2,解得 a2= 2.所以 d = a2- a1= 1.从而 an=n, bn=2n.2Tn= + + + .因此，2Tn Tn= 1 + + + + = 2=所以，3.(2015b2= 2,q = d, S10= 100.湖北，18)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比为q,已知b1= a1,(1) 求数列 an , bn 的通项公式；当d>1时，记cn =，求数列cn的前n项和Tn.解 (1) 由题意有,解得或故或由 d>1，知 an = 2n 1, bn=2n1,故 cn =，于是 = + + + +

25、 + + +.-可得Tn= 2+ + + + =3-,故 Tn= 6 .4. (2015 山东，18)设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn= 3n + 3.(1) 求an的通项公式；(2) 若数列bn满足anbn = Iog3an，求bn的前n项和Tn.解 因为2Sn= 3n+ 3,所以 2a1 = 3 + 3,故 a1 = 3,当 n > 1 时，2Sn 1= 3n 1 + 3,此时 2an = 2Sn2Sn 1 = 3n 3n 1 = 2X 3n 1,即卩 an=3n 1,所以 an=(2) 因为 anbn= Iog3an ，所以 b1 =，当 n> 1 时，bn= 31 n

26、log33n 1 = (n 1) 31 n.所以 T1=b1=；当 n > 1 时，Tn=b1+ b2 + b3+ bn=+ (1 x 3 1 + 2 x 3 2+ + (n 1) x 31 n),所以 3Tn= 1 + (1 x 30+ 2x 3 1+ + (n 1) x 32 n),两式相减，得 2Tn=+ (30 + 3 1 + 3 2+ 32 n) (n 1) x 31 n=+ (n 1) x 31 n=,所以 Tn=,经检验, n= 1 时也适合.综上可得 Tn= .5. (2015 浙江，17)已知数列an和bn满足 a1 = 2, b1 = 1, an+ 1 = 2an(n

27、 N*) , b1 + b2+b3+ bn=bn + 1 1(n N*).(1) 求 an 与 bn；记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解 (1)由 a1 = 2, an+ 1 = 2an,得 an = 2n(n N*).由题意知：当 n= 1 时， b1 = b2 1 ，故 b2= 2.当nA 2时，bn=bn+ 1 bn,整理得=，所以 bn= n(n N*).(2) 由(1) 知anbn = n - 2n.因此 Tn=2+ 2 22+ 3 - 23+ n - 2n,2Tn= 22+ 2 - 23+ 3 - 24+ n - 2n+ 1,所以 Tn 2Tn= 2 +22+23+ 2nn

28、 2n+ 1.故 Tn=(n1)2n +1+ 2(n N*).6. (2015 湖南，19)设数列an的前 n 项和为 Sn,已知 a1 = 1, a2= 2,且 an+ 2= 3SnSn+1 + 3, n N*.(1) 证明： an+ 2= 3an；(2) 求 Sn.(1)证明由条件，对任意 n N*,有an+ 2= 3SnSn+ 1 + 3,因而对任意 n N*, nA2，有 an+ 1 = 3Sn 1 Sn+ 3.两式相减，得 an+ 2 an+ 1 = 3an an +1 ,即卩 an+ 2 = 3an, nA 2.又 a1 = 1, a2= 2，所以 a3 = 3S1 S2+ 3=

29、3a1 (a1 + a2) + 3 = 3a1,故对一切 n N*，an+ 2= 3an.解 由(1)知，an丰0,所以=3.于是数列a2n 1是首项a1 = 1,公比为3等比数列；数列a2n是首项a2= 2,公比为3的等比数列.因此a2n 1 = 3n 1, a2n = 2 x 3n 1.于是 S2n= a1 + a2+ a2n=(a1 +a3+ a2n 1) + (a2 + a4+ a2n)=(1 +3+ 3n 1) + 2(1 +3+ 3n 1)=3(1 + 3 + + 3n 1)=.从而 S2n1=S2na2n=2x3n1=(5 x 3n2 1).综上所述, Sn= 考点三 分组求和法

30、1. (2015 福建，17)在等差数列an中，a2= 4, a4+ a7= 15.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设 bn=+ n,求 b1 + b2 + b3+ b10 的值.解 (1) 设等差数列 an 的公差为 d，由已知得解得所以 an=a1+ (n 1)d = n+ 2.由(1)可得bn=2n+n,所以 b1 + b2+ b3+ b10 = (2 + 1) + (22 + 2) + (23 + 3) + (210 + 10)=(2 +22 +23+ 210) + (1 + 2 + 3 + 10)=+=(211 2) + 55=211 + 53= 2 101.2. (2014

31、湖南，16)已知数列an的前n项和Sn=, n N*.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn=+ ( 一 1)nan ,求数列 bn 的前 2n 项和 .解 (1) 当 n= 1 时, a1=S1=1；当 n A 2 时，an = Sn一 Sn 1 = = n.故数列 an 的通项公式为 an= n. 由(1)知，bn= 2n + ( 1)nn.记数列bn的前 2n项和为 T2n,则 T2n= (21 +22+ 22n) + ( 1 + 2 3 + 4 + 2n).记 A= 21+22+ 22n, B= 1 + 2 3+ 4 + 2n,贝UA=22n+12，B= ( 1+ 2) +

32、 ( 3+ 4) + (2n 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n= A+ B= 22n+ 1 + n 2.变式训练1. (2014 北京，15)已知an是等差数列，满足a1= 3, a4= 12,数列bn满足b1 = 4, b4= 20,且bn an 为等比数列 .(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 求数列 bn 的前 n 项和 .解(1)设等差数列an的公差为d,由题意得d= = = 3.所以 an=a1+ (n 1)d = 3n(n = 1, 2,).设等比数列bn an的公比为q,由题意得q3= 8，解得 q= 2.所以 bnan=(b1a1)qn1=2n

33、1.从而 bn=3n+2n1(n = 1, 2，). 由(1)知 bn = 3n+2n1(n = 1, 2,).数列3n的前n项和为n(n + 1)，数列2n 1的前n项和为1 x= 2n 1.所以，数列bn的前n项和为n(n + 1) +2n 1.考点四 裂项相消法1. (2015 新课标全国I,17)S n为数列an的前n项和.已知 an >0, a +2an= 4S n+ 3.(1) 求an的通项公式；(2) 设bn =，求数列bn的前n项和.解 (1)由 a +2an= 4Sn+ 3,可知 a + 2an+ 1 = 4Sn+ 1 + 3.可得 a 一 a+ 2(an + 1 一

34、an) = 4an+ 1，即2(an +1+an)= aa=(an+1+ an)(an +1an).由于 an>0,可得 an+ 1 - an= 2.又 a+ 2a1= 4a1+ 3,解得 a1 =一 1( 舍去 ) , a1 = 3.所以 an 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an= 2n+1.(2) 由 an= 2n+ 1 可知bn=设数列bn的前n项和为Tn,则Tn= b1 + b2+ bn2. (2011 新课标全国，17)等比数列an的各项均为正数，且2a1 + 3a2 = 1, a = 9a2a6.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 设 bn = Io

35、g3a1 + Iog3a2 + Iog3an，求数列的前 n 项和.解 (1) 设数列 an 的公比为 q.由 a = 9a2a6,得 a = 9a,所以 q2= .由条件可知q>0,故q=.由 2a13a2=1 得 2a13a1q=1,所以 a1 = .故数列 an 的通项公式为 an= .bn = log3a1 + log3a2 + log3an=(1 +2+ n)故= 2( ) ，2n 项和为 .18） 已知数列 an 是递增的等比数列,且 a1a4= 9, a2a3= 8.所以数列的前3. (2015 安徽，(1) 求数列 an 的通项公式；设Sn为数列an的前n项和，bn=，求

36、数列bn的前n项和Tn. 解 (1)由题设知 a1 a4= a2 a3= 8.又 a1+ a4= 9. 可解得或 ( 舍去 ).由 a4= a1q3 得公比 q= 2，故 an= a1qn 1 = 2n 1.(2) Sn = 2n 1，又 bn=，所以 Tn=b1+ b2+ + bn= + += =1 .变式训练1. (2013 江西，16)正项数列an满足：a (2n 1)an 2n= 0.(1) 求数列 an 的通项公式 an；令bn =，求数列bn的前n项和Tn.解 (1) 由 a (2n 1)an 2n= 0，得(an 2n )(a n + 1) = 0.由于 an 是正项数列，所以

37、an= 2n.(2) 由 an= 2n， bn=，贝 bn=， Tn=2. （2013 大纲全国，17）等差数列an中，a7= 4, a19 = 2a9. （1） 求 an 的通项公式；设bn =，求数列bn的前n项和Sn.解（1）设等差数列an的公差为d,贝yan= a1 + (n 1)d.由得解得 a1 = 1 , d= . an 的通项公式为 an= .(2) V bn= = = , Sn= + +=.3. 在数列an中，a1= 1,当n > 2时，其前n项和Sn满足S= an.求 Sn 的表达式；设bn=，求bn的前n项和Tn.(1)(2)1）可求得（ 2）答案考点五 倒序相加法

38、1.已知函数 f(x) = (x R).证明：f(x) + f(1 x)=; 变式训练1.设 f(x) =,若 S=f() +f() + f() ,则 S= 考点六 并项求和1.（2012 新课标，16）数列an满足 an+ 1 + （ 1）nan = 2n 1，则an的前 60 项和为理科解析当 n= 2k 时，a2k + 1 + a2k = 4k 1，当 n = 2k 1 时，a2k a2k 1 = 4k 3, a2k +1 + a2k1 = 2,. a2k +3 + a2k + 1 = 2, a2k 1 = a2k + 3, a1 = a5= a61.二a1 + a2+ a3+ a60=

39、 (a2+ a3) + (a4 + a5) + (a60 + a61) = 3 + 7 +11+ + (2 x 60 1) = 30X 61 = 1 830.答案 1 830文科解析 an+ 1+ ( 1) nan = 2n 1,a2=1+a1, a3=2a1, a4=7a1, a5=a1,a6= 9+ a1 ， a7= 2 a1 ， a8= 15 a1 ，a9= a1 ，a10= 17+ a1 ， a11 = 2 a1 ，a12= 23 a1 ，a57=a1，a58= 113+ a1，a59= 2 a1，a60= 119 a1， a1 + a2+ + a60= (a1 + a2 + a3 +

40、 a4) + (a5 + a6+ a7+ a8) + (a57 + a58 + a59 + a60) =10 + 26 + 42+ 234= 1 830.答案 D2. (2014山东，19)在等差数列an中，已知公差 d= 2, a2是a1与a4的等比中项.(1) 求数列an的通项公式；(2) 设匕门=,记 Tn= b1 + b2 b3+ b4 + ( 1)nbn ,求 Tn.解 (1) 由题意知 (a1 + d)2 = a1(a1 + 3d) ，即(a1 + 2)2 = a1(a1 + 6),解得 a1 = 2.所以数列 an 的通项公式为 an= 2n.(2) 由题意知 bn= a= n(

41、n + 1).所以 Tn= 1 X 2 + 2X 3 3X4 + + ( 1)nn X (n + 1).因为 bn+1bn=2(n+1)，可得当 n 为偶数时，Tn= ( b1+ b2) + ( b3+ b4) + ( bn 1 + bn)=4 + 8 + 12+ 2n当 n 为奇数时,Tn= Tn1+ (bn)= n(n + 1) 所以 Tn=变式训练 1.(2014 山东理，19)已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且S1, S2, S4成等比数列.(1) 求数列 an 的通项公式；令bn = ( 1)n 1,求数列bn的前n项和Tn.解因为S1= a1,S2= 2a1 + x 2

42、= 2a1 + 2,S4= 4a1 + x 2= 4a1 + 12 ,由题意得 (2a12)2=a1(4a1 12),解得 a1 = 1 ,所以 an= 2n 1.(2)bn = ( 1)n 1=(1)n1=(1)n1.当 n 为偶数时,Tn=+= 1=当 n 为奇数时,Tn=一所以 Tn=2.(2013湖南，15)设Sn为数列an的前n项和，Sn= ( 1)nan , n N*,则:(1)a3(2)S1+ S2+ S100=解析 Sn= ( 1)nan .当 n = 3 时，a1 + a2+ a3 = a3 ，当 n= 4 时, a1 + a2+ a3+ a4= a4,a1 + a2 + a

43、3 =，由知 a3= .(2) Sn= ( 1)nan 当 n 为奇数时，两式相减得 an + 1 = an + 1 + an +, an =当 n 为偶数时，两式相减得 an+ 1 = an+ 1 an+.即 an= 2an+ 1 + =,故 an=.Sn= S1+ S2+ S100= 答案(1) (2)考点七1.(2011数列 |an| 的前 n 项和问题北京，11）在等比数列an中，若a1 = , a4= 4,则公比q =;|a1| + |a2| + |an|解析. |a1|答案变式训练1.(2013 浙江，19)在公差为d的等差数列an中，已知a1= 10,且a1 , 2a2 + 2,

44、 5a3成等比数列.(1) 求 d， an； 若 dv 0,求 |a1| + |a2| + |a3| + |an|.解 (1)由题意得 5a3 a1 = (2a2 + 2)2 ,即 d2 3d 4= 0.故 d= 1 或 d= 4， an = n+ 11, n N*或 an= 4n+ 6, n N*.(2) 设数列 an 的前 n 项和为 Sn， dv 0，由(1)得 d= 1,q3= = 8,. q= 2,贝U an=x ( 2)n 1,+ |a2| + |a3| + |a n| =+ 1 + 2+ 2n 2 = = 2n 1 . 2 2n 1 |a1| +|a2| +|a3| + |an|

45、当nA 12时，|a1| +|a2| +|a3| + |an| 综上所述： |a1| +|a2| +|a3|an= n+ 11,则当 nw 11 时, = Sn= n2+ n.=Sn+ 2S11= n2 n+ 110,+ + |an|考点八 周期数列1.已知数列 后两项之和，A 2 008 B 答案 B 变式训练1.（2012 福建）数列an的通项公式A.1 006B.2 012C.5032 008,2 009,1, 2 008， 2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前则这个数列的前 2 014 2 010 C 1 D 0项之和 S2 014 等于 （）an= ncos，其

46、前n项和为Sn,贝U S2 012等于（）D.0考点九 数列与不等式的应用1. (2014 新课标全国n, 17)已知数列an满足a1 = 1, an+ 1 = 3an+ 1.(1) 证明是等比数列,并求 an 的通项公式；(2) 证明+ + + <.证明 (1) 由 an1= 3an1 得 an1= 3又 a1 =,所以是首项为,公比为 3 的等比数列.an + =，因此an的通项公式为 an=.(2) 由(1) 知= .因为当n> 1时，3n 1 >2X 3n 1，所以w .于是+ + + 1 + += <.所以+ + + <.2. (2015 浙江，20)已

47、知数列an满足 a1=且 an+ 1 = ana(n N*).(1) 证明：1 ww 2(n N*);(2) 设数列a的前n项和为Sn,证明：ww (n N*).证明 (1) 由题意得 an1 an= aw 0,即 an+ 1 wan,故 anw .由 an=(1an1)an1 得an = (1 an 1)(1 an 2)(1 a1)a1 >0.由0V anw得= 1 , 2 ,即 1ww 2(2、)由题意得a = anan+1,所以 Sn= a1 -an+1 由=和 1ww 2得1 ww 2,所以 nww 2n,因此w an+ 1 w (n N*).由得ww (n N*).3. (20

48、13江西，理)正项数列an的前项和an满足：(1) 求数列an的通项公式an；(2) 令，数列bn的前项和为。证明：对于任意的，都有变式训练 1.(2014 湖北，18)已知等差数列an满足：a1 = 2,且a1, a2, a5成等比数列.(1) 求数列 an 的通项公式；(2) 记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得Sn>60n+ 800?若存在，求n的最小值；若不存在,说明理由.解 (1)设数列an的公差为d，依题意，2, 2+ d, 2 + 4d成等比数列，故有(2 + d)2 = 2(2 + 4d), 化简得d2- 4d= 0,解得d= 0或d = 4.当 d = 0 时，an= 2;当 d = 4 时，an= 2 + (n 1) 4 = 4n-2,从而得数列an的通项公式为an= 2或