初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题15全等三角形

1、专题 15 全等三角形阅读与思考两个几何图形的全等是指两个图形之间的一种关系，其中最基本的关系是两个图形的点的对应关系，以及对应边之间、对应角之间的相等关系全等三角形是研究三角形、四边形等图形性质的主要工具，是解决有关线段、角等问题的一个出发点，证明线段相等、线段和差相等、角相等、两直线位置关系等问题总要直接或间接用到全等三角形，我们把这种应用全等三角形来解决问题的方法称为全等三角形法我们实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但其中一个是由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确定对应元素善于在复杂的图形中发现、分

2、解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关会共边、公共角的以下两类基本图形：例题与求解例1】考查下列命题：全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；两边和其中一边上的高（或第三边上高）对应相等的两个三角形全等其中正确命题的个数有（）A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个（ 山东省竞赛试题）解题思路： 真命题给出证明，假命题举出一个反例例 2】如图，已知BD 、 CE 是 ABC 的高，点P 在 BD 的延长线上，BP AC，点Q 在 C

3、E 上， CQAB求证： （ 1） AP AQ； （ 2） AP AQ第十六届江苏省竞赛试题解题思路： （ 1 ）证明对应的两个三角形全等；（ 2）证明 PAQ 90°1例 3】如图，已知为AD 为 ABC 的中线，求证：AD< 1 （AB AC）2陕西省中考试题解题思路： 三角形三边关系定理是证明线段不等关系的基本工具，关键是设法将AB ， AC， AD2AD 入手 【 例 4】如图，已知AC BD， EA、 EB 分别平分CAB、DBA， CD 过点E求证：AB AC BD（ “ 希望杯 ” 邀请赛试题）解题思路： 本例是线段和差问题的证明，截长法（或补短法）是证明这类问题

4、的基本方法，即在AB 上截取 AF，使AF AC，以下只要证明FB BD 即可，于是将问题转化为证明两线段相等例 5】如图1， CD 是经过BCA顶点 C 的一条直线，CA CB， E， F 分别是直线CD 上两点，且BECCFA1）若直线CD 经过 BCA内部，且E， F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图2，若BCA 90°， 90°，则BECF， EFBE AF（填“>”、 “<”或“”） ；如图3，若0°<BCA< 180°，请添加一个关于与 BCA关系的条件，使中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论；系的合理猜想

5、（不要求证明）2）如图4，若直线CD 经过 BCA 的外部，BCA，请提出EF，BE、 AF 三条线段数量关BDAC图2图3图4台州市中考试题）2）可用归纳类解题思路： 对于，可用进行逆推，寻找BCECAF 应满足的条件对于（比方法提出猜想例 6】如图，在四边形ABCD 中，ACBBAD 105°，ABCADC 45°求证： CD AB天津市竞赛试题）解题思路：由已知易得CAB 30°，GAC 75°，DCA 60°，ACBDAC 180°，由特殊度数可联想到特殊三角形、共线点等能力训练1如图，在 ABC 中， C 90°，

6、A级BC 40， AD 是BAC 的平分线交BC 于 D，且DC DB 3EBEFAADCDDCABBCB2题第 4题DEEOB天津市中考试题E 在 ABC 外部，点F1AFEADCBABCADEDCEADCABCAED 在 BC 边上，CAFEDFC3， ACAABDAFDBD 3cm， CE 4cm5如图，点相交于 OAD 有如下四个结论：CE 和 BF3如图，ABE 和 ACF 分别是以ABC 的边OCA1题4如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点E，若 AC 平分 DABDBC 1 DAB； ABE 是等边三角形请写 2BB2如图， 在RtABC 中， BAC90&#

7、176;，ABAC，分别过B，C 作经过点A的直线的垂线BDBA123F DD 到 AB 的距离是5，则点第 5题第 6题第 7题6 如图， ABC 中， C 90°，AC BC， AD 平分 CAB 交 BC 于 D， DE AB 于 E 若 AB 6cm，则 DEB 的周长为（A 5cmB 6cmC 7cmD 8cm7如图，从下列四个条件：BC B'C；AC AC；ACAB CB；AB AB 中，任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成的正确命题的个数是（A1 个B 2个C 3 个D 4个北京市东城区中考试题）8如图1，在锐角ABC 中，ADBC于D，BEAC 于

8、E，AD 与 BE 交于F，且BFAC1）求证：ED 平分FEC；2）如图2，若ABC 中， C 为钝角，其他条件不变，（ 1）中结论是否仍然成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明9在等腰Rt AOB 和等腰Rt DOC 中， AOB DOC 90°，连 AD， M 为 AD 中点，连OM1）如图1 ，请写出OM 与 BC 的关系，并说明理由；2）将图1 中的 COD 旋转至图2 的位置，其他条件不变，（ 1 ）中结论是否成立？请说明理由O10如图，已知1 2， EF AD 于 P，交 BC 延长线于M天津市竞赛试题）求证：M1 ( ACB B) 11 如图，已知 ABC 中

9、，A60°，BE，CD 分别平分ABC，ACB，P 为BE，CD 的交点求证： BD CE BC12如图，已知点且 CE CA1）求证：AD 为等腰直角 ABC 内一点，CAD CBD 15°， E 为 AD 延长线上的一点，DE 平分BDC；2）若点M 在 DE 上，且DC DM ，求证：ME BDB级1在ABC 中，高 AD 和 BE 交于 H 点，且 BH AC，则ABC（ 武汉市竞赛试题）2在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，若AB 5， AC 3，则AD 的取值范围是“ 希望杯 ” 竞赛试题）3如图，在ABC 中， AB> AC， AD 是角平分线，

10、P 是 AD 上任意一点，在AB AC 与 BP PC两式中，较大的一个是4如图，已知ABCD，ACDB，AD 与 BC 交于O，AEBC 于E，DF BC 于F，那么图中全等的三角形有（）A 5 对B 6 对C 7 对D 8 对5如图，AD 是 ABC 的中线，E， F 分别在AB， AC 上，且 DE DF，则（）B BE CF EFA BE CF> EFCBE CF< EFD BE CF 与的大小关系不确定第十五届江苏省竞赛试题)角(6如果两个三角形的两条边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的A相等B 不相等C互余D. 互补或相等北京市竞赛试题)7如图

11、，在ABE 和 ACD 中，给出以下四个论断：AB AC；AD AE；AM AN； ADDC， AE BE 以其中三个论断为题设，填入下面的 “已知” 栏中， 一个论断为结论，填入下面的 “求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程求证：8如图，在四边形ABCD 中， AC 平分BAD，过C 作 CE AB 于 E，并且荆州市中考试题ABC ADC 的度数上海市竞赛试题)小符合什么条件时，有9在四边形ABCDAB a， AD 6，且BC DC，对角线AC 平分BAD，问a与 b的大BD 180°，请画出图形并证明你的结论河北省竞赛试题)10如图，在ABC 中，ABC 60

12、6;， AD， CE：分别平分BAC，ACB求证：AC AE CD11如图，在Rt ABC 中， B 90°， AP， CQ 分别平分BAC，BCA AP 交 CQ 于 I，连PQ求证：S IAC 为定值S四边形ACPQ12在ABC 中， ACB 90 °，AC BC，直线MN经过点C，且AD 丄E1）当直线MN 绕点 C 旋转到图1 的位置时，求证：DE AD BE；2）当直线MN 绕点 C 旋转到图2 的位置时，求证：DE AD BE；3）当直线MN 绕点 C 旋转到图3 的位置时，试问：DE， AD， BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明海口市中考试题）图2MBN图3AD13 CD 是经过BCA 顶点C 的一条直线，CA CB， E， F 分别是直线CD 上两点，且BECCFA1）若直线CD 经过 BCA内部，且E， F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图1 ，若BCA 90