人教版高中数学全套教案导学案第3章 空间向量与立体几何§32 立体几何中的向量方法

1、§3.2 立体几何中的向量方法 知识点一 用向量方法判定线面位置关系 (1)设a、b分别是l、l的方向向量，判断l、l的位置关系： 2211a(2,3，1)，b(6，9,3) a(5,0,2)，b(0,4,0) (2)设u、v分别是平面、的法向量，判断、的位置关系： 1?)， 1,2)，v(3,2u(1， 2u(0,3,0)，v(0，5,0) (3)设u是平面的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与的位置关系 u(2,2，1)，a(3,4,2) u(0,2，3)，a(0，8,12) 解 (1)a(2,3，1)，b(6，9,3)， 1b，ab，all. 21 3a(5,0,2)，b

2、(0,4,0)，a·b0，ab，ll. 211?，)， (3,2，vu(1，1,2)(2) 2u·v3210，uv，. 3 ，.v，uvu(0,3,0)，v(0，5,0)，u 5(3)u(2,2，1)，a(3,4,2)， u·a6820，ua，l?或l. u(0,2，3)，a(0，8,12)， 1a，ua，lu. 4 知识点二 利用向量方法证明平行问题 如图所示，在正方体ABCDABCD1 111中，M、N分别是CC、BC的中点求证：MN平面ABD. 1111证明 方法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD所在直线分别为x轴、y轴、1z轴建立空间直角坐标系，设

3、正方体的棱长为1，则可求得 11)，N (,1,1)， M (0,1， 22D(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1,1,0)， 111MN =（，0，）于是， 22 的法向量是BD 设平面A1n=（x，y，z）. n(x，y，z) x?z?0,?DB 0n·，得则?x?y?0,?取x1，得y1，z1.n(1，1，1) 11MN·n 又， (,0，)·(1，1，1)0 2211MNCCCB?N?CM?C = 方法二 11111 2211DA?DDA?D)?( 1111 22MNDA BD. AMN?平面，又11 MN平面ABD. 1 知识点三 利用向量方法证明垂

4、直问题 在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12. (1)求证：平面GEF平面PBC； (2)求证：EG是PG与BC的公垂线段 证明 (1)方法一 如图所示，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 令PAPBPC3，则 A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0) FGPA (3,0,0)， (3,0,0)，于是FGPA. FG，PA故 3而PA平面PBC，FG平面PBC， 又FG?平面EFG

5、，平面EFG平面PBC. 方法二 同方法一，建立空间直角坐标系，则 E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0) EGEF(0，1，1)， ，(0，11)，设平面EFG的法向量是n(x，y，z)， PAEF， ，n则有n y?z?0,?令y1，得z1，x0，即n(0,1，1) ?0,?z?y?x? PA. PBC的一个法向量而显然=（3，0，0）是平面PAPA = 0,n这样n· EFG的法向量互相垂直，即平面PBC的法向量与平面 PBC. 平面平面EFG BCPGEG? ，3，（1，1，0）3， =（0， =（1 ，1， ）12（ ），） = BCEGEGPG? ·

6、;， ·=1=31= 0，3 = 0 BC，PGEG，EG 的公垂线段. EG是PG与BC 利用向量方法求角知识点四 ，ABCD所成的角为60°ABCDABCD 四棱锥P中，PD平面，PA与平面2. ，在四边形ABCD中，DDAB90°AB4，CD1，AD 的坐标；P(1)建立适当的坐标系，并写出点B， 所成角的余弦值(2)求异面直线PA与BC 轴的正方向，zy轴，解 (1)如图所示，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x轴， xyz，建立空间直角坐标系D ，AB90°，4，CD1，AD2DDAB C(0,1,0)A(2,0,0)，B(2,4,0) 面

7、ABCD得PAD为PA与平面所成的角ABCD由PD. 60°PAD3 2，得2PD在RtPAD中，由AD3 )P(0,0,23BC?PA 0），(2,03，=（22，)， 2（ ）PA?BC13BCPA? ,cos= 13BCPA 13 所成角的余弦值为 与PABC 13 正方体ABEFDCEF中，M、N分别为AC、BF的中点(如图所示)，求平面MNA与平面MNB所成二面角的余弦值 解 取MN的中点G，连结BG，设正方体棱长为1. 方法一 AMN，BMN为等腰三角形， AGMN，BGMN. 为二面角的平面角或其补角AGB 6, AG=BG= 4GBAG,AB?AG?GB ，=，设 ，

8、222GBGBAGAGAB·， 2 6666 22(cos. ()12)×× 4444 11 cos，故所求二面角的余弦值为 33 轴建立空间轴、y轴、z所在的直线分别为B为坐标原点，BA，BE，BCx方法二 以xyz 直角坐标系B1111M(0)， 则， )，N (,0， 2222111 中点G(，)， 442 ，B(0,0,0)，A(1,0,0) AGB为二面角的平面角或其补角由方法一知111111GAGB(，)， ，)，( 4442241?1GB?GA 8GBGA?=>=, , cos< 333GBGA?88 1 故所求二面角的余弦值为 3 建立

9、如方法二的坐标系，方法三?0,n?AM?1 ?0,?AN?n?1 11?0,?x?z? ?22 (1,1,1)即取n?111?0,y?x? ?2?2 1，1)同理可求得平面BMN的法向量n(1，2n?n?1121?,n，n cos21 33?3nn211故所求二面角的余弦值为 3 知识点五 用向量方法求空间的距离 已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离 解 如图所示，以C为原点，CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Cxyz. 由题意知C(0,0,0)，A(4,4,0)， B(4,0,0)，D(0,

10、4,0)，E(4,2,0)， F(2,4,0)，G(0,0,2) BEBF(2,4,0)(0,2,0)， BM 四点共面， 、FM、G、设向量E平面GEF，垂足为M，则BGBEBMBF ， yx，z+ y，使+ z = x故存在实数 ?BM ）2 4，0，4，0）+z（即0 = x（0，2，）+y（，2 ? .） ，2x+4y=（，2y2z4z GEBMBMEF，,BM平面GEF，得 由 GEBMBMEF0·，0， ·于是(?2y?4x,2x?4y,2z)?(4,2,?2)?0,? 即 ?(?2y?4z,2x?4y,2z)?(?2,2,0)?0,? 15?x?,? 110,

11、z?x?5?7?0,z?3y?2x?y?, 即 ，解得? 11?1,?y?zx?3?z?,? 11?226?BM, 4z,2x2y4y,2z)(? 111111? 622112222)?()()?BM | 11111111 112的距离为到平面BGEF即点 11 考题赏析 ) 安徽高考( ? ，ABCO如图所示，在四棱锥ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，4 为的中点OA，OA底面ABCD，OA2M AB与MD所成角的大小；(1)求异面直线 OCDB的距离求点(2)到平面轴建立平面直z、y、解 作AP所在直线为于点CDP.如图，分别以AB、AP、AOx 角坐标系 B(1,0,0)，A(0

12、,0,0)，222 ，0)，0)D (，P (0222 O(0,0,2)，M(0,0,1) MD所成角为，AB(1)设与AB (1,0,0)，22MD ，1) (22 MD?AB1? ? =cos2MDAG? ? 3?所成角的大小为 AB与MD3222OPOD?22? ）, （， ）， =（，2（）0,= 222 设平面OCD的法向量为n = ( x, y , z ),则 OPOD = 0. ·n ，=0·n ?20,?y?2z? ?2 得? 22?0,?y?2x?z? 22? 22d, 的距离为设点z=B，解得n = (0,4,到平面 OCD取).OB 上的投影的绝对值n

13、则d为.在向量nOB?2OB? , ， 2），d =（1，0 3n 2, 的距离为点B到平面OCD 3 ) 的一个单位法向量是( C(0,0,1)已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、，则平面ABC1 333333) ， ( ( B) ，A 333333 333333) ，(， D(C ，) ， 333333D 答案 AB 的一个法向量1,1,0)，是平面OAC(BCAC1,1) ，(0(1,0,1)，z) ，yABC的一个法向量为n(x设平面 0,?y?x? ?0,?z?x?令x1，则y1，z1 n(1,1,1) 333n?± (,单位法向量为：，) 333n2已知正方体ABCD

14、ABCD，E、F分别是正方形ABCD和ADDA的中心，1111111111则EF和CD所成的角是( ) A60° B45° C30° D90° 答案 B 3设l的方向向量a(1,2，2)，l的方向向量b(2,3，m)，若ll，则m( ) 21121 D3 2 C A1 B 2答案 B 解析 因ll，所以a·b0，则有1×(2)2×3(2)×m0， 212m624，即m2. 4若两个不同平面，的法向量分别为u(1,2，1)，v(3，6,3)，则( ) B A ，相交但不垂直 D以上均不正确CA 答案 . 3u，vu解

15、析 因v 故.，AB2，CD1，C、Db，ACb，BDb，且b5已知a、是异面直线，A、Ba) a 与b所成的角是( 则 90° D45° C60° BA30° C 答案2CDCDCDCDCDACDBABAB ，·= |=（= 1·解析 设+，=|， +1?CDAB? =60=所以cos, 2CDAB l(2,0,4)，则异面直线，1)，b6若异面直线l、l的方向向量分别是a(0，2112) l与的夹角的余弦值等于( 2 5222? AC BD 555 52B 答案 5 ，与l的夹角为解析 设异面直线l21 ba?4?(?1)4? 则

16、cos 5?2ba?16?45l4,0,2)到直线l上，则点P(6,3,4)和直线l垂直，点A(2,0,2)在直线7已知向量n _的距离为 6136答案 ，61PA 的距P到直线l上， n与l垂直，所以点A =（6，0，0），因为点在直线l解析 PA?n 363661? 离为 61612224?63?8平面的法向量为(1,0，1)，平面的法向量为(0，1,1)，则平面与平面所 成二面角的大小为_ ?2或，答案 33解析 设n(1,0，1)，n(0，1,1) 211?1)?11)0?0?(?(1?则cos n，n21 222?2因平面与平面所成的角与nn，n相等或互补，所以与，n2211 3?2

17、所成的角为或 339已知四面体顶点A(2,3,1)、B(4,1，2)、C(6,3,7)和D(5，4,8)，则顶点D到平面ABC的距离为_ 答案 11 ）x,y,z（n =的一个法向量为ABC设平面 解析?0,AB?n? 则?0,AC?n? ?0,3)?(2,?2,?x,y,z? ? ?0,(4,0,6)x,y,z?,2xy?0,z?2y?32x? ?2?0,?4x?6z,xz? 3? 令x=1,2?AD 7),， =（77则n = (1,2, ，） 3 14?14?7nAD? 3773?11, 故所求距离为 37n4?41? 9 10如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱P

18、D平面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于F. (1)证明：PA平面BDE； (2)证明：PB平面DEF. 证明 (1)如图建立空间直角坐标系， 设DCa，ACBDG，连结EG，则 aaaa，)，G (，C(0，a,0)，E (0，0) a)A(a,0,0)，P(0,0， 2222aaEG?PA ）, ）a，0 =，（，于是a=（，0 22EGPA ，PAEG. = 2 ? 平面DEB.DEB.PA 又EG平面PA平面DEB. ?PB a),=(a, a, B(a,a,0),由得 (2)aaDE =（0, ,）又, 22 22aa?0,PBDE = · 22 PBD

19、E. EFD. 平面PB，DE=EEF，PBEF又 11如图所示，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60°. 所成角的大小；与CC(1)求DP 所成角的大小D与平面AAD(2)求DP 解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz. CC'DA ），0（1 ，= (0,0,1). 0 则，= . 连结BD,BD ,中 DD在平面BB H.于 BD延长DP交DHDHDA , 由已知 = (m,m,1) (m>0),= 60,设 DHDHDHDADADA ,|由 |cos·= | 2?12m 可得2m = 222DH ，解得

20、m =1)(，所以， 222 22 1?0?1?0? 222?'CCDH= 因为cos, (1) 21?2 CC'DH , 所以,= 45(2) . 与CC所成的角为45DP即 DC = (0,1,0). DD的一个法向量是(2)平面AA 221?1?0?0 2 22?DCDH= cos因为, 21?2 DCDH ,所以°= 60 . 30DD所成的角为可得DP与平面AA . °，PA=AD=2，BAD=6012. 如图，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD PBD平面PAC，平面 到平面PBD的距离;(1)求点A .PC的距离(2)求异面直线AB与轴建立

21、如图所示所在直线为x轴、y以AC、BD的交点为坐标原点，以AC、BD(1)解 ?3?，1，0，D（0，1，0），C（ ），0，0）0的空间直角坐标系，则A（3，0），B（0 ）.P（3，0，2 ）.=（1，y，z设平面PBD的一个法向量为n1113OPOB? 1，0，由n）， n.，可得n=（111 2 3OA ，0，0）1（，点A到平面PBD的距离）,=（ OA?n 1221?d, 7n1 13.如图所示，直三棱柱ABCABC中，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，111AC = 2a，BB = 3a，D为AC的中点，在线段AA上是否存在点F，使CF平面BDF？11111AF |；若不存在，请说明理由. 若存在，求出| 解 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz. ，BDFF，使CF平面假设存在点1 AAAF =（0，0，3a）=（0，0，3并设 =a）（0<<1）， 1 D为AC的中点， 11 22aa ,3a) ，D(22 2222aaaaDB( ,， 0)，,3a)(0,0,3a) (，12222 ?a)?