5计数原理 中等难度 讲义

1、计数原理 解读 1、基本计数原理 （1）加法原理 m种不同的方法，分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有n1mm种不同的方法那么完成这件事共类办法中有，在第种方法，在第二类办法中有nn2有 种不同的方法.又称加法原理 （2）乘法原理 m种不同的个子步骤，做第一个步骤有分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n1mm种不同的方法那么完成这，做第方法，做第二个步骤有个步骤有种不同方法，nn2件事共有 种不同的方法又称乘法原理 （3）加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，

2、即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用 探究 今天我们先来研究解决计数问题的两种最基本、最重要的方法： 首先，我们大家一起来研究以下两个问题 问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车一天中，火车有3班，汽车有 2班那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 进一步思考以下几个问题： 问题剖析 问题1 要完成什么事 完成这个事情有几类方 每类方案能否独立完成这件事 每类方案

3、中分别有几种不同的方 完成这件事情共有多少种不同的方法m类方案中有1分类加法计数原理：完成一件事有两类不同的方案，在第n种不同的方法，那么完成这件事共有N=+ 种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法。 问题2：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 学生口答，进一步思考以下几个问题： 问题剖析 问题2 我们要做的一件事情是什么 完成这个事情需要分几步 每步中的任一方法能否独立完成这件事情 每步方法中分别有几种不同的方法 完成这件事情共有多少种不同的方法 m种不同的方步有1完成一件事需要

4、两个步骤，做第：分步乘法计数原理nnm?N?种不同的方法，做第2步有那么完成这件事共有种不同的方法. . 法 类的情形）（引导学生得出推广到三类甚至n种不同种不同的方法，做第步有2步有完成一件事需要三个步骤，做第1mm21m 种不同的方法，的方法，做第3步有那么完成这件事共有多少种不同的方法？3步有种不同的方法，完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有做第2mm21m有成.的方法那么完这件事共同种步第方同种不的法做n有不nm?mN?m?. 种不同的方法n12 理解分步乘法计数原理：分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，

5、只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事. 总结归纳两个原理的区别和联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 区别 小结： 遇到计数问题首先考虑什么？ 两个原理的区别和联系 教师总结：本节课主要介绍了两个基本原理，解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类 ，无论是分类、分步，关键是做到不重不漏。 归纳总结 1、基本计数原理 （1）加法原理 m种不同的方法，类办法，在第一类办法中有分类计数原理：做一件事，完成它有n1mm种不同的方法那么完成这件事类办法中有种方法，在第在第二类办法中有nn2N?m?m?m种不同的方法又称加法原理 共有n12 ）

6、乘法原理（2 m种不同的分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有n1mm种不同的方法那么完成方法，做第二个步骤有个步骤有种不同方法，做第nn2?m?mN?m种不同的方法又称乘法原理 这件事共有n21（3）加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正

7、确地灵活加以应用 典例精讲 一选择题（共13小题） 1（2018春?湖州期末）某班六位学生参演一个文艺节目，分别饰演其中的6个不同角色，其中1号角色只能由小丁或小军出演，6号角色不能由小丁出演，则不同的角色分配方案有（ ） A192种B288种C240种D216种 所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求全国期末）本周日有52（2017秋?所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择2每位同学可以从中任选1所或） 没有一所是相同的，则不同的选法共有（ BA330种420种C510种D600种 化学、萍乡期末）春?在某省改革方案中，要求每位高中生必须在物理、（32018门参加等级考3门理科，生物、政治、

8、历史、地理6门（33门文科）中选择门理科，那么小丁同学的选科试小丁同学理科成绩较好，决定至少选择2） 方案有（ B9种A8种C10种D11种 ，每（2017?秋昌平区期末）四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场）4分比赛结束后发现没有分，负者得场比赛胜者得301分，平局双方各得足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数）是（ BA01C2D3 5（2018春?琼海校级期末）现有4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词（如图）涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数为（ ） 144C108DA27B54 ABC与三棱柱PABC6（2018?南开区一模）如图所示的

9、几何体是由一个三棱锥CB种不同颜色对这个几何体的表面涂色（底面ABC组合而成，现用3A111111） ，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ 不涂色） 种3612种DBA6种9种C 表示，表示一个两位数，十位数和个位数分别用a，b7（2017?百色模拟） 的两位） = × ）=1+2+31×2=9，则满足f（+）记f（ =a+b3ab，如f）数的个数为（ 7DA15B13C9 每人给另外两人”三个人之间写信，为“三角恋写法?20178（春南昌期末）定义“，若五个人”ab，d，c之一写一封信，且任意两个人不会彼此给对方写信三角恋写中的每个人都恰给其余四人中的某一个人写

10、了一封信，则不出现e“） ”法写法的写信情况的种数为（ 1014DCB704A8641004 9（2017?衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A150B180C200D280 条轨道上，若10（2017春?辛集市校级月考）有5列火车停在某车站并行的5列火车的停车方51B不能停在第道上，则快车A不能停在第3道上，货车） 法共有（ B72种C120种DA78种96种 四科D，名分别参加（2017?平罗县校级一模）从5名学生中选出4A，BC，11）竞赛，其中甲不能参

11、加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（ B48C72D24A120 盆、5春（2017?沙坪坝区校级期中）有盆互不相同的玫瑰花，2其中黄玫瑰12盆白玫瑰不能相邻，盆，1现把它们摆放成一排，2要求红玫瑰白玫瑰2盆、） 5则这盆玫瑰花的不同摆放种数是（ BA72C12120D36 3厦门校级期中）老师有同样的作文练习?春（1320162本，同样的英语练习）每位学生4本送给4本，从中取出位学生，1（则不同的送法共有 本， B10种A4种C18种D20种 二填空题（共5小题） 14（2018春?无锡期末）有甲、乙、丙三项不同任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从5人中选派4人承担这三项任务

12、，不同的选法共有 种（用数字作答） 15（2018春?重庆期末）在重庆东北部有五个区县如图，请你用4种不同的颜色为每个区县涂色，要求相邻区县不同色，共有 种不同的涂法（用具 体数字作答） 每所学校为学生体检，名护士被分配到名医生和93（162018春?湖南期末）3种 名护士，不同的分配方法共有所学校分配1名医生和3 6CB的A42018（春?泰州期末）如图，用种不同的颜色给三棱柱ABC17111个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同的颜色，种 则不同的作色方法共有 18（2018春?江阴市校级期中）马路上有10盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不

13、能熄灭相邻的两盏灯，那么熄灯方法共有 种 三解答题（共4小题） 19（2017春?锡山区校级期中）平面内有9个点，其中有4个点共线，其它无任何三点共线； （1）过任意两点作直线，有多少条？ （2）能确定多少条射线？ （3）能确定多少个不同的圆？ 20（2017春?翠峦区校级月考）有一项活动，需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加 （1）若只需一人参加，有多少种不同方法？ （2）若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同选法？ （3）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同选法？ 21（2017春?阜宁县校级期中）4个男同学和3个女同学站成一排 （1）甲乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的