课题平面几何图形面积的求解与应用二

1、课题平面几何图形面积的求解 与应用（二）作者: 日期:课题：平面几何图形面积的求解与应用（二）x教学目的：知识与技能：会应用函数思想表示几何图形的面积；已知面积（比）求函数关系式中的待定系数过程与方法：让学生经历观察、交流、计算等过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯和合作与交流的能力.情感态度与价值观：通过观察、交流、归纳等学习活动，感受合作交流的学习方式，增强学生学习数学的信心.教学重点与难点:重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变量的取值范围教学用具：直尺、多媒体教学内容:一、引入在平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数内容丰富、涉及的数学知识较多，是初中函数

2、的重要内容之一.特别是与函数图象有关的面积问题，已成为近年中考园中一支鲜艳的奇葩.下面举例说明.二、例题例1、如图1中正比例函数和反比例函数的图象相交于A、B两点，分别以A、B两点为圆心，画与 y轴相切的两个圆,若点A的坐标为（1,2）,求图中两个阴影面积的和分析：由反比例函数的对称性可求点B的坐标，可得两部分阴影图形和正好拼接为一个圆再由坐标轴与圆相切可求得两圆的半径，从而求得阴影的面积.解:VO A与y轴相切，且坐标为（1 ,2）, O A的半径等于1.又反比例函数函数关于原点中心对称点B坐标为（-1, -2 ）,两阴影的面积和为一个圆的面积5-412图-6设计意图：让学生认识到求解与反比

3、例函数图象有关的面积问题时，通常都要用到反比例函数图象关于原点中心对称这一特征.另外,体会数形结合思想是解决和函数有关问题的常用方法1例2、已知：如图，直线 y -x 2与x轴交于点 A,与y轴交于点B,点P （x, y）在直线y x 6上运动，且2x 0, y 0.求四边形AO BP的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围.分析：本题要求四边形 AOBP的面积S，可以用 CAP的面积与 0B P的面积之和来表示，还可以过P点作x轴或y轴的垂线，将这个不规则的四边形拆成一个梯形和一个直角三角形的和或差的方法来解决.求自变量x的取值范围时应注意结合函数图象思考解：解法一：连接 0

4、P1直线y -x 2与x轴、2 A(4,0),B(0,- 2).y轴分别交于点A、B,设 p(x,y),x 0,y0,SSjoBPSoAp-OB2-OA |y2112x 4(x 6) x 12.22x 0,y 0,即 x 60, x 6.解法二：设y-自变量x的取值范围是0 x 6.x 6 交 x 轴于 M6,0)，交 y 轴于 N (0,6)，则 S S MON Sbnp Sam p. JLJ解法三：作PGX轴于G则SS梯形pbogSi'iPGA -解法四：作PQy轴于Q则S S梯形 PQOA S PBQ .设计意图：通过解此题让学生体会在平面直角坐标系中遇上面积问题时,寻找解决问题

5、的突破口时经常要利用点的坐标所起的作用，方法多是采取“靠轴”分割图形求面积的方法.例3、已知直线y x 2与x轴、y轴分别交于点 A和点B,另一直线y kx b(k 0)经过点 C (1, 0)，且把 AO B分成两部分.(1)若 AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值;(2)若 AO B被分成的两部分面积比为1:5，求k和b的值.分析：直线y kx b与x轴的交点坐标是(£,0),与y轴的交点坐标是(0, b)，因此可得 A (2,0 ) ,B(0, 2) .(1)中 C是O A的中点.(如图)，因此可知B C将AOE分成的两部分面积相等，设直线BC的解析式为y kx 2,代入

6、点C的坐标即可；(2)中应注意对可能出现的情况进行分类讨论.解：(1)直线y x 2与x轴交点A (2 , 0),与y轴交点B(0 , 2),直线 BC经过 B( 0 ,2 ) , C (1, 0 ),b 2,k b 0.b 2,2.经过B、C两点的直线解析式为y 2x 2 .2所以 k 2,b2 .- SjoMC交于M (0, h),两部分面积比为(2 )设 yX 2 X2,可得6 h=2.3 M0,3 -经过点M作直线MN / OA,AB 于 N a,23S',OMCSf CAN .dLNa,2在直线3x 2上,y kxb经过0，1、C (1, 0)或 N 4,3 3、C(1, 0

7、).k1解得b123,2;3;k2b22,2.点拨:C (1,0）恰为OA边的中点，为应用“三角形的中线平分面积”提供了条件，“等底同（等）高的两个三角形面积相等”，“平行线间距离处处相等”都是求解和面积相关问题常用的知识例4、已知 ABC中,AB AC 3, BAC 90,点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处.（1）如图1-1，若BD CD ,将三角板绕点 D逆时针旋转俩条直角边分别交 AB、AC于点E、点F，求出重叠部分的面积（直接写出结果）（2）如图1-2,若BD CD,将三角板绕点 D逆时针旋转，使一条直角边交 AB于点E、另一条直角边交 AB的延长线于点 F

8、,设AE X,两块三角板重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；x的取值范围.（3）若BD 2CD，将三角板绕点 D逆时针旋转，使一条直角边交 AC于点F ,另一条直角边交射线 AB于点E,设CF x（x 1），两块三角板重叠部分的面积为y,求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的代数式表示三角形的底和相应的高，另外第（3）问中条件“使一条直角边交AC于点F ,另一条直角边交射线AB于点E”应分两种情况分类讨论解：（1）S四边形aedf94 (2)如图1-3，过点D作D M丄AE于M/ ABAC 3,BAC 90 , BC5/2AB372./ BDCD , BD

9、BC3血.22yBE DM IbE BD sin 4522分析：解此题关键是用含有: 1 x 2, 2 x 3.AB” " Df/图1-31332(3 X)-3(3 x)(0 x 3). (1)如图1-4,连结AD,过D点分别作AB、 AC的垂线，垂足分别为 MN./ ABAC 3, BAC 90 , BC y/2AB 3罷.三、练习1.函数2 .求直线BDBDDC2CD,2/2, CD 罷.sinC 运易证 12./ DME= / DNF=90 DME s' DNF .ME DMFN DNCF x(x 1),ME 2FN 2(x3.直线y厲 1,DM BD sin B1).

10、ySi'iADESadf-(2x 1) 2-(3 x)1j22如图1-5,过D点作A C的垂线,垂足为N.yS：| ABCS)CDF91,-x 12 1x(2JLi2 22 231-x-(1x 2),y2291-x(2x 3).kx(k 0)与 y2x 4和直线2x 8交x轴,4 .如图，点B在直线y x面积为2，求点B的坐标.5.直线y内作等腰直角2.2|x 1(1 x 2).3).2的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴,垂足为 6则' B OC的面积为多少？x2x 6与y轴围成的三角形的面积.y轴于A、B,直线I过原点交A B于点。，分' AOB的面积为1上

11、，且点B在第四象限，点 A(2,0)、0(0, 0) , ABO的邑1与x轴,y轴分别交点A、B ,以线段AB为直角边在第一象限31AB C,AB=2, / BAC=90 度，点 P(a, )在第二象限， ABP面积与'A BC 面2积相等，求a的值.简要答案:1 : 3两部分，求直线l的解析式.1.12. 2523. y6x 或 yx34. （3，2）5. a四、总结本节课要求学生掌握两种基本技能:(1)会应用函数思想表示和求解几何图形的面积;(2)已知面积(比)求函数关系式中的待定系数.在教学中让学生经历观察、交流、计算等过程，多动手动脑动口，发表自己的见解,体会数形结合、分类讨论、和转化思想的数学思想建议例题由教师引导学生完成，练习题学生尽可能独立完成，必要时也可以小组合作完成，最后教师引导 学生进行归纳总结.五、课后反思与函数有关的面积问题是考查学生综合素质和能力的热点题型,它充分体现了数学解题中的数形结合思想，整体思想和转化例4中第(3 )问条思想，求解这类问题的重点是掌握分割几何图形求面积的方法，难点是求函数解析式中自变