高中数学一轮复习 第5讲 曲线与方程

1、第5讲 曲线与方程随堂演练巩固1.方程的曲线是( ) A.两个点B.一个圆 C.一条直线和一个圆D.两条射线和一个圆 【答案】 D 【解析】 若由原方程直接得x+y-2=0或会误选C. 以上解法忽视了定义域的限制,因此不符合轨迹的纯粹性.事实上,直线x+y-2=0上的点并不都适合该曲线(必须在圆上或圆外才行). 2.一动点M在圆上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点Q的轨迹方程是( ) A.B. C.D. 【答案】 C 【解析】 设Q(x,y)是轨迹上任意一点,相应地设. 依题意,得 即 代入得 即. 3.已知与关于y轴对称,且则点P(x,y)的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】 易知Q(-

2、x,y),由得即点P的轨迹方程为. 4.已知B为线段MN上一点,|MN|=6,|BN|=2,过B作与MN相切,分别过M、N作的切线交于P点,则P点的轨迹是 . 【答案】 【解析】 以MN所在的直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴,O为坐标原点,建立坐标系,如图 设MP、NP分别与相切于D、E两点. 则有|PM|-|PN|=|MD|-|NE|=|MB|-|BN|=2,且|MN|>2. 所以P点的轨迹是以M、N为焦点,2a=2,2c=6的双曲线的右支(顶点除外). 由a=1,c=3知. 所以双曲线的方程为.5.已知曲线O为顶点,A,B为曲线上两动点,且满足.若于点M,求点M的轨迹方程. 【解】

3、 设M(x 当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b. 由得. 由及y=kx+b消去y得 所以. 由及y=kx+b消去x得所以. 由得 所以. 故y=kx+b=k(x-4p). 将代入y=k(x-4p),得). 当直线AB的斜率不存在时,可得点M的坐标为(4p,0),满足上式. 故点M的轨迹方程为. 课后作业夯基1.已知两个定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 ( ) A.B.C.D. 【答案】 B 【解析】 设P(x,y),则由题意得,整理得即4,所以轨迹是一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,其围成的图形的

4、面积等于4. 2.已知|=3,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为原点则动点P的轨迹方程是( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 设y),则由|=3得又因为由得因此将其代入得. 3.已知动圆P与定圆C:相外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程为 ( ) A.B. C.D. 【答案】 C 【解析】 由于动圆P与定圆C:相外切,又与定直线l:x=1相切,所以动圆的圆心P到点(-2,0)的距离比到直线l:x=1的距离大1,从而动圆的圆心P到点(-2,0)的距离与到直线l:x=2的距离相等,由抛物线的定义知动圆的圆心P的轨迹为抛物线,其方程为-8x. 4.方程当0<

5、a<1时表示一封闭曲线,那么原点( ) A.在曲线外B.在曲线上 C.在曲线内D.与曲线的位置不确定 【答案】 A 【解析】 方程可化为表示以(-a,-1)为圆心为半径的圆.原点到圆心的距离等于大于原点在曲线外. 5.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足,则点P的轨迹是( ) A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 【答案】 D 【解析】 又(-2-x)(3-x)6,化简得. 6.已知动圆P与圆外切,又与直线x-2=0相切,则动圆圆心P点的轨迹方程为( ) A.B. C.D. 【答案】 B 【解析】 设点P(x,y),由题意可得整理,得. 7.方程所表示的曲线是 . 【答

6、案】 x=1或x 【解析】 由方程可得 或 即x或x=1. 方程表示的曲线是直线x=1和射线x+y-1=0(). 8.经过点A(3,4)的一条动直线与x轴和y轴分别交于Q、R点,过Q、R点分别作两坐标轴的平行线交于P(x,y)点,则点P的轨迹方程是 . 【答案】 xy 【解析】 如图,设动点P的坐标为(x,y),由题意,知Q(x,0),R(0,y). A、Q、R三点共线, xy. P点的轨迹方程为xy. 9.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线、若交x轴于点交y轴于点B,则线段AB的中点M的轨迹方程是 . 【答案】 x+2y-5=0 【解析】 设点M的坐标为(x,y),根据M是A、B的中

7、点得A、B两点的坐标分别为(2x,0),(0,2y). 又P(2,4), . . 即-2(2x-2)-4(2y-4)=0. 整理可得x+2y-5=0. 适合题意的点M的轨迹方程为x+2y-5=0.10.如图所示,线段AB与CD互相垂直平分于点O,|AB|=2a(a>0),|CD|=2b(b>0),动点P满足|PA|PB|=|PC|PD|,求动点P的轨迹方程. 【解】 以O为坐标原点,直线AB、CD分别为x轴、y轴建立坐标系. 设P(x,y)是曲线上的任意一点, 则A(-a,0),B(a,0),C(0,-b),D(0,b), 由题意知,|PA|PB|=|PC|PD|, . 化简,得. 11.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且. 当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程. 【解】 设M(a,0),P(0,b),动点N(x,y),则. . 且.上述两式消去a,b,得. 动点N的轨迹方程为. 拓展延伸12.在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和,求点P的轨迹C. 【解】 设点P的坐标为(x,y),则d=+3|x-2|. 由题设