2024-2025学年高考数学一轮复习专题5.1任意角和蝗制及任意角的三角函数知识点讲解含解析

专题5.1随意角和弧度制及随意角的三角函数【考纲解读与核心素养】1.了解角、角度制与弧度制的概念，驾驭弧度与角度的换算.2.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义.3．本节涉及全部的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等.4.高考预料：（1）三角函数的定义；（2）扇形的面积、弧长及圆心角；（3）在大题中考查三角函数的定义，主要考查：一是干脆利用随意角三角函数的定义求其三角函数值；二是依据随意角三角函数的定义确定终边上一点的坐标．5.备考重点：(1)理解三角函数的定义；(2)驾驭扇形的弧长及面积计算公式.【学问清单】学问点1．象限角及终边相同的角1．（1）随意角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．2.弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝(eq\f(180α,π))°，n°＝n·eq\f(π,180)rad．学问点2．三角函数的定义1.随意角的三角函数定义：设α是一个随意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sinα＝y；（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cosα＝x；（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tanα＝eq\f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sinx，x∈R；余弦函数y＝cosx，x∈R；正切函数y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ（k∈Z）．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦学问点3．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝eq\f(l,r)，变形可得l＝|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．(2)扇形面积公式由圆心角为1rad的扇形面积为eq\f(πr2,2π)＝eq\f(1,2)r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为eq\f(l,r)rad，故其面积为S＝eq\f(l,r)×eq\f(r2,2)＝eq\f(1,2)lr，将l＝|α|r代入上式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2，此公式称为扇形面积公式．(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示名称角度制弧度制弧长公式l＝eq\f(nπr,180)l＝__|α|r__扇形面积公式S＝eq\f(nπr2,360)S＝eq\f(|α|,2)r2＝eq\f(1,2)lr留意事项r是扇形的半径，n是圆心角的角度数r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长【典例剖析】高频考点一象限角及终边相同的角【典例1】（2024·乐陵市第一中学高三专题练习）假如，那么与终边相同的角可以表示为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，与终边相同的角可以表示为．故选B．【规律方法】象限角的两种推断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并依据象限角的定义干脆推断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限推断已知角是第几象限角．【变式探究】若角是其次象限角，试确定，的终边所在位置．【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.【解析】∵角是其次象限角，∴，（1），∴角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．（2），当时，∴，∴的终边在第一象限．当时，∴，∴的终边在第三象限．综上所述，的终边在第一象限或第三象限．【总结提升】象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示(1)象限角：象限角集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}其次象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}(2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}终边落在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}终边落在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}终边落在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}高频考点二三角函数的定义【典例2】已知角的终边过点,且，则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意可知，，，是第三象限角，可得，即，解得，故选B.【典例3】已知角的终边落在直线y＝2x上，求sinα、cosα、tanα的值．【答案】【解析】当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，得sinα＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(2,1)＝2．当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝eq\r(－12＋－22)＝eq\r(5)，得：sinα＝eq\f(－2,\r(5))＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(－1,\r(5))＝－eq\f(\r(5),5)，tanα＝eq\f(－2,－1)＝2．【典例4】（2011·江西高考真题（文））已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.【答案】-8【解析】依据正弦值为负数，推断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角.=【规律方法】1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可干脆写出角α的三角函数值．【变式探究】1.（浙江省嘉兴市第一中学期中）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由三角函数的定义可得．故选B．2.已知角的终边在射线上，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题得在第四象限,且，所以故答案为：A.【总结提升】(1)已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．②留意到角的终边为射线，所以应分两种状况处理，取射线上随意一点坐标(a，b)，则对应角的正弦值sinα＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，余弦值cosα＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，正切值tanα＝eq\f(a,b)．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要依据问题的实际状况对参数进行分类探讨．高频考点三：三角函数值的符号判定【典例5】已知且，则角的终边所在的象限是A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，所以终边在其次象限，应选答案B.【典例6】确定下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)sineq\f(7π,8)·taneq\f(7π,8)；(3)cos6·tan6．【答案】【解析】先确定角所在象限，进而确定各式的符号．(1)∵105°、230°分别为其次、第三象限角，∴sin105°>0，cos230°<0．于是sin105°·cos230°<0．(2)∵eq\f(π,2)<eq\f(7π,8)<π，∴eq\f(7π,8)是其次象限角，则sineq\f(7π,8)>0，taneq\f(7π,8)<0．∴sineq\f(7π,8)·taneq\f(7π,8)<0．(3)∵eq\f(3π,2)<6<2π，∴6是第四象限角．∴cos6>0，tan6<0，则cos6·tan6<0．【总结提升】判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再依据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．假如角不能确定所在象限，那就要进行分类探讨求解．【变式探究】1.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3] B．(－2,3)C．[－2,3) D．[－2,3]【答案】A【解析】∵，∴角的终边落在其次象限或y轴的正半轴上．∴∴.故选A.2.(1)推断下列各式的符号：①sin3·cos4·tan5；②α是其次象限角，sinα·cosα．(2)若cosθ<0且sinθ>0，则eq\f(θ,2)是第()象限角．A．一 B．三C．一或三 D．随意象限角【答案】（1）①正，②负；（2）C【解析】(1)①eq\f(π,2)<3<π，π<4<eq\f(3π,2)，eq\f(3π,2)<5<2π，∴sin3>0，cos4<0，tan5<0，∴sin3·cos4·tan5>0．②∵α是其次象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴sinαcosα<0．(2)由cosθ<0且sinθ>0，知θ是其次象限角，所以eq\f(θ,2)是第一或三象限角．高频考点四：扇形的弧长及面积公式

【典例7】（2024·湖北高考模拟（理））《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的阅历公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.依据上述阅历公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与依据上述阅历公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米.（其中，）A．15B．16C．17D．18【答案】B【解析】因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，因此依据阅历公式计算出弧田的面积为，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，因此两者之差为，选B.【典例8】（2024·河南高考模拟（理））已知圆与直线相切于，点同时从点动身，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（）A． B．C． D．先，再，最终【答案】A【解析】如图所示，因为直线与圆相切，所以，所以扇形的面积为，,因为，所以扇形AOQ的面积,即，所以，【典例9】已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【答案】r=10cm,θ＝＝2rad,100cm2【解析】设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.(0<r<20)∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100．∴当半径r＝10cm时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，此时θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2(rad)．【总结提升】1.(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝eq\f(1,2)lr，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l＝eq\f(nπr,180)，扇形面积S＝eq\f(nπr2,360)，此时n为角度，它们之间有着必定的联系．(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要留意合理应用圆心角所在的三角形．2.当扇形周长肯定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S转化为r的函数，函数思想、转化为方程的思想是解决数学问题的常用思想．【变式探究】1.（2024·甘肃高三月考（理））若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不行能等于()A．5B．2C．3