2016年清华大学自主招生暨领军计划数学试题-历年自主招生考试数学试题大全

1、2016年清华大学自主招生暨领军计划试题1 1 .已知函数f(x) (x2a)ex有最小值，则函数g(x) x22x a的零点个数为()A A .0B B.1C C.2D D.取决于a的值【答案】C C【解析】注意f/(x) exg(x)，答案 C C.2.2.已知ABC的三个内角 代B,C所对的边为a, b,c.下列条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有( )A A.a 1,b2, c ZB B .A 150, asi nA csi nC、2asi nC bsin BC C .cos A si n BcosC cos(B C) cosBsi nC 0,C 60D D .a 3,b1, A 6

2、00【答案】ADAD .【解析】对于选项魚 由=fa-bcz + zx -0igxyzcf则X,T,2是关于F的方程一岂百叩 e 等号显然可以取到.雌顷A;B都对.因7*5(x + v2= 1 -z)22) = 2(1 -z2),所以一严注1,尊号显瞪可次取到“故选项C错误.1313.已知x, y,z R, x/ 2 2 2y z 1, x y z1，则下列结论正确的有(A A .xyz的最大值为02C C.z的最大值为-3【答案】ABDABD4xyz的最大值为-271z的最小值为-3=0的三个根-令/(二一F - G贝闲用耳数可得/(0) = 0膚=弓心严11c V5 1A A .B B .

3、C C . .- -222【答案】CDCD取得.答案 CDCD .1616.从正 20162016 边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）1; （2）两条相交直线上各取一点M , N，使得| MN |b k为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆1818.关于x, y的不定方程x2165 2y的正整数解的组数为（）【解因为|z|1FZ|1，故互|z| 1，等号分别当z2 2A A .6552B B.4536C C.3528D D.2016【答案】C C【解析】从 20162016 的约数中去掉 1 1 , 2 2，其余的约数均可作为正多边形的边数构成正多边形，这样的

4、正多边形有2016个，因此所求的正多边形的个数就是k和 10081008.考虑到2016 25327，因此所求正多边形的个数为.设从 20162016 个顶点中选出 k k 个20162016 的所有约数之和减去 20162016(12 4 8 1632)(13 9)(17)201610083528.答案 C C.1717.已知椭圆2当1(a b 0)与直线l1: y b12: y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线,2分别交|1,|2于M , N两点.【答B B.3.3.5【解1设点P（x0，y0），可得M（x021y0,X041 12y0),NJy。,1；X01尹），故意| MN |1

5、22a2忖04y0为定值，所以了血,.,：2，答案:C C.说明：（1 1）若将两条直线的方程改为ykx，则2【答案】B B【解析】方程两边同时模爲可得丘三因2】不能被3整除，故X1不能被3整除，所以=l(mOd3),故2口1血也刃，所以$为偶如 可设丁 =2砍涣乏时“则有(2W-XX2+A) =615 = 3x5x41,解博曽答案；B.V - 12.1919因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c, (ba)c, c(ab), b(ca),等等不同的次序记n个实数相乘时不同的次序有In种，则()A A I

6、22B B.I312C C.I496D D I5120【答案】B B【解析】根据卡特兰数的定义，可得|ncn 1An1c21n12n! (n 1)!C2n11答案：ABAB n关于卡特兰数的相关知识见卡特兰数一一计数映射方法的伟大胜利2020甲乙丙丁 4 4 个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4 4 个人相互比赛的胜率如表所示：r甲Q.3o.a0.A乙07O,G DMA A07O.-i.o.sT T0.2Q.G0表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.30.3，乙击败丁的概率是 0.40.4 那么甲刻冠军的概率是

7、【答案】0.1650.165【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5 0.3 0.5 0.8) 0.1652121 在正三棱锥P ABC中，ABC的边长为 1 1 设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y则lim y.x【答案】2【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为？22222如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 1,中心为O, BF1BC,A1E2-A1A，则四面体OEBF466【答案】196【解析】如图，VEBF1VO EBFEBF21 1 1 -VEGBF166BCCiBi丄9622 2 3 3.0(X)

8、2n1(1sin2nx)dx【答案】【解析】根据题意，有20(x2424.实数2x, y满足(x【答案】【解析】根据题意，有因此所求最大值为 1 1.甘/*12* AjXn 12n2n 12n)(1 sin x)dx x (1 sin x)dx2 24x y，贝U xy的最大值为.3(x y ) 4x2、3,22,24x y (x2、22 2 2y ),于是x11，等号当x y-时取得,22525.x, y,z均为非负实数，满足(x I)222(t 1)(Z3)22724y z的最大值与最小值分别为J223【答案】/32【解析】 由柯西不等式可知，当且仅当(X, y,z)1(1, ,0)时，x

9、 y23z取到最大值 .根据题意，有2x2y2z2x 2y 3z134是13(x y z)23(x y z)y,解得x y z4y z的最小值当（x, yz）(0,0,亠）时取得，为亠2 22626. 若O为ABC内一点,满足SAOB:SBOC: SCOA4:3:2，设AOABAC,则【解析】根据奔驰定理，有2727.已知复数z cos2【答案】【解析】根据题意，有sin ， 贝U2z2zz2z 2z25. . 5cos i sin33,40的实部与虚部均为不小于 1 1 的正数， 则在复平面中,10 z端点P运动所形成的图形的面积为 2828.已知z为非零复数,z所对应的向量OP的【答案】2

10、003100.3300A、B10【解析】x yi(x, yR），由于4040z厶1上110,10,40 x140 y1, 22y x y如图，弓形面积为1,100( sin )663于是所示求面积为2(100-3100，四边形100)(100.3ABCD的面积为2(10310) 10100.3100. .100)2003100、.33003sin4xsin 2xsin xsin x2929.若tan4x则3cos8xcos4xcos4xcos2xcos 2 x cosxcosx【答案】3【解析】 根据题意，有sin 4xsin 2xsin xsin xcos8xcos4xcos4xcos2xc

11、os 2 x cos x cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan 2x) (tan2x tanx) tan x tan8x ,3.3030 将 1616 个数：4 4 个 1 1 , 4 4 个 2 2, 4 4 个 3 3, 4 4 个 4 4 填入一个4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法.【答案】441000441000【解析】首先确定偶数的位墨有多少种选择-第一行两个偶数有借种迭择.下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶類设为由 4情形一：若口3位于同一丘 它们的位置有吕种选择，此时乘忖的四个偶数所埴的位蛊唯一确定情形二若口上位于不同的行，它们的位啟有6种选择此时乘吓的四个偶数所壇的位趕有2种迭择- 所仪偶数的不是位S数为= 因此，总=441000 .3131设A是集合1,2,3, ,14的子集，从A中任取 3 3 个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A中元素个数的最大值