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文档简介
1、快速口算法补数 第一章 预备概念1、补数和齐数若两数之和是10、100、1000、10n的乘方数(n是正整数),这两个数就互为补数。例如:4和6、88和12、455和545等就互为补数。看补数的方法:某数是几位数,它的补数也是几位数。若补数的有效数字前面有空位,用“0”补齐。互为补数的各对应位,末位相加为10,其余各位相加为9,两数之和,叫做它们的齐数。某数与其补数、齐数的关系如下:某数补数齐数齐数补数某数齐数某数补数如:齐数某数补数 补数半数10 2 8 4100 88 12 061000 998 002 0012、强数和填数位数相同,比某数的首位数字大1,后面带若干个零的数,叫某数的强数,
2、例如:317、369、383的强数是400。某数的强数与该数之差,叫做该数的填数,例如:389的填数是11等等。计算填数方法:首位不填,中间相加成9,末位相加成10。某数与其强、填数的关系如下:某数填数强数强数某数填数强数填数某数补、填数应用于珠算四则运算均较为简捷,特别是乘除法。下面分章节叙述。所以应养成心算凑整方法,求一数的补(填)数,就不必另行拨珠运算了。第二章 加减法第一节 无诀加减法在实际工作中,加减法应用最广泛,约占所有计算量的80%左右。同时,加减法又是乘除运算的基础,不掌握过硬的加减法,乘除运算就不可能达到既准又快的水平。加法的算式是:被加数加数和。被加数和加数可以交换位置,其
3、和不变。减法的算式是:被减数减数差。被减数和减数不可交换位置。加法和减法互为逆运算。补数加减法的理论依据是:“加原数=进1减补数”,“减原数=退1加补数”。其实质是将原数变成“10”,进行加减,用补数调整。一、加法珠算加法的特点是“补五进十”。上珠一颗作5,下珠一颗作1,下珠满5颗用上珠一颗代替。因此,在直接加减法的同时,有补五加法,算盘相邻两档,本档满10要向前档进1,因此,珠算是十进制加法。(一)一位数加法一位数加(减)法是最基本的运算,因为,计算多位数加(减)时,都要分解为一位数的加(减),所以,只要能熟练地掌握一位数的加(减),就能计算多位数的加(减)。珠算一位数加法,分为外珠够加和外
4、珠不够加两类:1、外珠够加类如:3+1,2+3,4+5,2+6。先分别在算盘上拨3、2、4、2靠梁,再分别把加数1、3、5、6在同档上拨入,得数分别为4、5、9、8。它们相加有一个共同的特点是:外珠(靠上下两边的珠)都比加数大,这叫同档相加看外珠,外 珠够加直接加入加数。2、外珠不够加类外珠不够加,就是外珠比加数小,直接加不进加数。这种情况就需要利用补数参与运算。如:47、85、96、38。先分别在算盘上拨被加数靠梁,它们的外珠都比加数小,无法拨入加数,于是就采取“加原数=进1减补数”这一规律来解决。这些加数的变码分别是:7103,5105,6104,8102。用这些加数的变码分别换出原式中的
5、加数,其形式变为:474103,858105,969104,383102。在算盘上计算时,先分别拨被加数4、8、9、3入盘,然后,分别拨加数7、5、6、8入盘时,因外珠小于加数,直接加不进加数,只好用十位进1,本位减加数的补数,即“进1减补数”加数入盘,得数分别为:11、13、15、11。再如:77,59,68,76。这些也是外珠小于加数,直接加不进加数,只好“进1减补数”。变码为777103,595101,686102,767104。在算盘上计算时,先分别拨被加数7、5、6、7入盘。先分别用“进1减补数”,拨加数7、9、8、6入盘,其和分别是14、14、14、13。这四道题的拨珠形式与上面四
6、道题的拨珠形式有所不同,在减补数时,都需要“减5加凑”来减,要反复练习,熟练掌握。凑即凑数,是指若两个一位数的和是5,(只有三对,1与4,2与3,0与5)这两个数互为凑数。如2与3凑成5,2是3的凑数,3也是2的凑数。利用补数作加法,是先进1后减补数,这样合乎珠算由左而右的拨珠方向,指路不迂回,能提高运算效率。上述加法运算的法则概括地说就是:同位相加看外珠,外珠够加加加数,外珠不够加进1减补数。(二)多位数加法多位数加法是利用补数进行运算,即逐位单独用这一位原数(加数)的补数去合10。如4972的各位补数分别是6、1、3、8(每位补数上下不能联合,是逐位单独动用)。因此,在多位数加法的运算过程
7、中,逐位分别采用如同一位数的“进1减补数”。运算方法仍是“同位相加看外珠,外珠够加加加数,外珠不够加进1减补数。”如572938169545在算盘上先拨被加数5729入盘,再依次拨加数3816入盘,得数为9545。5、7、2、9同位相加看外珠:+3,千位外珠4,加3够加,加3;+10,百位外珠2,加8不够加;-2,前位进1,本位减补数2;+1,十位外珠7,加1够加,加1;+10,个位外珠0,加6不够加;-4,前位进1,本位减补数4。得数为9545。二、减法减法是加法的逆运算。加法的特点是:“补五进一”,减法的特点是“破五退一” 。它们在一切方面都是正反关系。(一)一位数减法一位数减法,分内珠够
8、减和内珠不够减两类:1、内珠够减类如:43、52、86、97,在算盘上先分别拨被减数4、5、8、9入盘,再分别在同档拨去减数3、2、6、7,得数分别是1、3、2、2。它们相减有一个共同特点是:内珠都比减数大,这叫同档相减看内珠,内珠够减直接减去减数。2、内珠不够减类内珠不够减,就是内珠比减数小,直接减不掉减数,于是就采取“减原数=退1加补数”这一规律来解决。这些减数的变码分别是:-7-103,-8-102,-9-101,-6-104。用这些减数的变码分别换出原式中的减数,变码式为:10710103,12812102,14914101,13613104。在算盘上先分别拨被减数10、12、14、1
9、3入盘,然后拨去减数7、8、9、6时,因同档内珠小于减数,直接减不掉减数,只好用十位退1,本位加减数的补数,即“退1加补数”,拨去减数,得数分别是3、4、5、7。后二题和前二题拨珠形式有所不同,在加补数时都需用“加5减凑”来加,要反复练习,熟练掌握。上述减法运算的法则概括地说:同位相减看内珠,内珠够减减减数,内珠不够减退1加补数。(二)多位数减法在多位数减法的运算过程中,逐位分别采用如同一位数的“退1加补数”。运算法则仍是“同位相减看内珠,内珠够减减减数,内珠不够减退1加补数”。如954538165729,在算盘上先拨被减数9545入盘,再依次拨去减数3816,得数为5729。9545同位相减
10、看内珠:3,千位内珠9,减3够减,减3;10,百位内珠为5,减8不够,前位退1;+2,本位加补数2;1,十位内珠为4,减1够减,减1;10,个位内珠为5,减6不够减,前位退1;+4,本位加补数4。第二节:脑珠结合加减法脑珠结合加减法,既能增强脑力,又能简化运算程序,减少大量的拨珠动作,提高运算速度。(一)简捷加法1、加1减补法口诀:“前加1,和必余,减补数,定无疑”。(此法适用于位数相同的加法)。例:3456+9989=13445(减少拨珠6次)算法:(1)3456前加1,得13456;(2)13456减去9989的补数0011,得13445。2、加齐减补法口诀:“齐先加,和必大,减补数,不会
11、差”。(此法适用于多位数字相加)例:19002+998=20000(减少拨珠5次)算法:(1)19002先加998的齐数1000得20002;(2)20002减去补数002得20000。3、取强减填法口诀:“先凑强,后减填”(此法适用于首位数字大于1的加数)。例:884+896=17 80(少拨珠3次)算法:(1)取896的强数900加上884,得1784;(2)1784减去896的填数4,得1780。4、一目三行连加弃九法先研究一目三行加法的进位规律。三行数字相加的进位规律有三种情况:一是有进2的,如6+8+9=23;二是有进1的,如5+3+7=15;三是有不进位的,如2+1+4=7。据研究
12、得出,三行数字组合有165种,其中111种是进1的(占总数的67%),有31种是进2的,有23种是不进位的。所以三行数字组合进1的可能性最大。为了省略各位上的和进1,减少拨珠量,我们可以利用补数原理,作一次性的进一,即先在首位加1个10的整数次幂,然后,再用中间各位减去9,末位减去10的方法。如三行六位数相加,首位加1,即增加100000,中间各位都减9,即减少了99990,末位减10,即增减相抵,正好轧平,原来的和不变。为了将竖列三个同位数之和计算方便一些,可假设有竖列三个同位数之和都进位一。这样就得出“首位进1”的普遍规律。若某竖列三个同位数之和大于或小于10,可分别通过加减来调整。计算中
13、间各位时,因已提前进位一,本应先减去10,然后,再加上大于10的数,但后边的各位还要进位一,所以中间各位减去9,就等于减去10,这样就得出“中间各位减去9”的结论。若中间各位和大于或小于9,也通过加减来调整。计算末位时,因提前进位一,后边不再进位,应从末位和中减去10,余几加几。根据上述推理,得出弃九法的运算方法是:1、计算首位时,三个数字相加之和再加1,就是提前进位1。如和数是6拨入7,和数是14就拨入15,和数是23就拨入24。2、计算中间各位时,三个数字相加之和等于或大于9的,将9弃去,只加和数弃9后的余数。如和数是14就加5,和数是23就加14,若三个数字之和小于9的,则减去它与9的差
14、数。如和数是6就减3。在实际运算时,中间各位的同位三个数中有一个是9或两个之和是9,可以把这个9舍去,余几就在本位上加几。如同位三个数8、9、6,可直接加上14;4、5、7可直接加上7。3、在计算末位时,三个数相加之和等于或大于10的,将10弃去,只加弃10后的余数。如和数是13即加3,和数是24即加14,若三个数字相加之和小于 10的,则减它与10的差额。如和数是7即减3。把上述弃九法的运算法则概括地说就是:首和进1拨入,中和弃九加余,末和弃十加余,欠弃拨去差数。例如:1259.63615.492940.13850.14304.70613.03-6583.12在算盘上计算形式:1259.63
15、615.492940.13-+4首位(千位)和是3,后位进1,加4;+8百位弃九余8,加8;+1 十位弃九余1,加1;+5个位数弃九余5,加5;+2十分位弃九余2,加2;+5末位(百分位)弃十余5,加5。三行之和为4815.25。850.14304.70613.03-+18首位和是17,后位进1,加18;-3十位欠弃九,减差数3;-2个位欠充九,减差数2;-1十分位欠弃九,减差数1;-3末位欠弃十,减差数3,累加和为6583.12。上述弃九法也适应于一目二行连加。一目四行、五行连加,用“弃双九法”。其运算法则可概括为:首和进二拨入,中弃双九加余,末弃双十加余,欠弃拨去差数。举例略。(二)简捷减
16、法1、减齐加补法口诀“齐先减,差必短。补再加,理当然”。例:3832994=2838(少拨4次)算法:(1)3832先减去1000得2832;(2)2832加上994的补数006,得2838。2、倒减变向法口诀:“小减大不难,空借首位前。借那要还那,随借要随还。借债没还清,补数变答案。如还清所借,梁珠为答案。”(此法适用于加减算法中,开始或中途发生减数小于被减数的混合运算)。例:9998199991001116388879165818893000(1)99981999910001(十万位借1,20000加上1,借债没还补数变答案,梁珠为89999);(2)1001110(借债还清,梁珠为答案)
17、;(3)16381648;(4)88797231(万位借1,9000加121,补数变答案,梁珠为2769);(5)16588889(同上);(6)+118893000(万位借1还清,梁珠为答案)。上述六笔混合运算的倒减法,减少了4次清盘和4次重新布数,提高了效率一倍。3、一目三行连减弃九法减法是加法的逆运算。一目三行也可以应用弃九法,只要三行合并后将加改作减或减改作加就行。其运算法则可概括为:首和进一拨去,中和弃九减余,欠弃拨入差数。如:4 9 1 3 53 4 7 29 5 0 66 3 9 42 1 6 01 4 0 34 2 3 5-2 1 9 6 5在盘上计算形式,拨被减数49135入
18、盘。3 4 7 29 5 0 6 第一组(够弃减余)6 3 9 4-19首位和18,后位进1,减去19;3百位弃九余3,减去3;7十位弃九余7,减去7;2末位弃十余2,减去2。得数为29763。2 1 6 01 4 0 3 第二组(欠弃加差)4 2 3 5-8首位和7,后位进1减去8;+2百位弃九欠2,加差数2;0十位弃九,为0;+2末位弃十欠2,加差数2。得数为21965。第三章 :补数乘法一、运算原理我们用9作乘数,研究以下19乘以9的内在关系。9的补数是1,齐数是10。1×91×(101)101×1,1作被乘数可看作减乘数补数1倍;2×92
19、5;(101)202×1,2作被乘数可看作减乘数补数2倍;3×93×(101)303×1,3作被乘数可看作减乘数补数3倍;4×94×(101)404×1,4作被乘数可看作减乘数补数4倍;5×95×(101)505×1,5作被乘数可看作减乘数补数5倍;6×96×(101)606×1,6作被乘数可看作减乘数补数6倍;7×97×(101)707×1,7作被乘数可看作减乘数补数7倍;8×98×(101)808×1,
20、8作被乘数可看作减乘数补数8倍;9×99×(101)909×1,9作被乘数可看作减乘数补数9倍。二、基本算规(一)口诀法从上一小节中,我们看出,被乘数1、2、3、4、5、6、7、8、9的运算规律,列表如下,作为口诀(注:学“一口清法”的人,应用此口诀法)。表1:小数组 中数组 大数组1 由下位减乘数补数的1倍 4 由下位减乘数补数的4倍 7 由下位减乘数补数的7倍2 由下位减乘数补数的2倍 5 由下位减乘数补数的5倍 8 由下位减乘数补数的8倍3 由下位减乘数补数的3倍 6 由下位减乘数补数的6倍 9 由下位减乘数补数的9倍假若会“1、2、5法”口算的人,可运用1
21、、2、5加几遍;4、5、6折半看,7、8、9当十算的人,可采用下表,进行计算:表2:小数组 中数组 大数组1 由下位减乘数补数1次 4 本位减补数半数下位加补数一次 7 本位减补数一次下位加补数三次2 由下位减乘数补数2次 5 本位减补数一半 8 本位减补数一次下位加补数二次3 由下位减乘数补数3次 6 本位减补数一半下位减补数一次 9 本位减补数一次下位加补数一次以上9个算规,由下列例题详解(本教材中口诀用表1法。)例1:123×889109347(补数111)图一:111 123直拨乘数补数111在算盘左边,被乘数123在右边图二:111 122667个位3,在下位减3×
22、;111成为12.2667图三:111 120447十位2,在下位减2×111成为1.20447图四:111 109347百位1,在下位减1×111成为109347,即为积例2:456×889405384图一:111 456直拨乘数补数111在左边,456在右边图二:111 455334个位6在下位减6×111成为45.5334图三:111 448784十位5,在下位减5×111成为4.48784图四:111 405384百位4,在下位减4×111成为405384即积例3:789×889701421图一:111 789直拨乘
23、数补数111在算盘左边,被乘数789在右边图二:111 788001个位9,下位减去 9×111成为78.8001图三:111 779121十位8,下位减去8×111成为7.79121图四:111 701421百位7,下位减去7×111成为701421注:1,图式可改成珠算图式;2,凡被乘数乘以乘数的补数,无进位从被乘数本位的下位减,有进位从本位减。以上是补数算法中算规的基本方法口诀法,用此方法可以算对任何题,我把它称作补数算法的第1种方法。(二)逐位减补数法逐位减补数法是否正确,下面我们用例题来加以证明:例:789×889789×(10001
24、11)789000789×111即789000789×111(减9×111,即减999;减80×111,即减8880;减700×111即减77700)可看作在789000中减去999,再减8880,再减77700,得数即701421。这和我们在盘式中(个位9,下位减999,十位8,下位减888,百位7,下位减777)得数完全一致,证明此口诀法准确无误。然而,虽无误,亦有缺陷,对于一般例题,可用此法,但对于特殊例题:如99999×99999,1998×778,27×964等,还有没有更快更完善的方法呢?答案是肯定的,
25、从以下几节中,我们再共同探讨快速法。首先,再从以上例题中,往下演变,引申出两种补数方法:加补减齐法和加填减强法。例1:789000789×111789000(1000211)×1117890001000×111211×111789000211×111111000,即789000211×111(在盘式上9的下位加1×111,8的下位加1×111,7的下位加2×111)后再在首位减111000得数701421,得数也是正确的,即加补减齐法。例2:789000789×111789000(80011)&
26、#215;1117890008880011×11178900011×111(9的下位加1×111,8的下位加1×111,7的下位减<71>×111,即88800)701421,得数也是正确的,即加填减强法。从而得出逐位减补数法中的加补减齐法和加填减强法,应用到乘法例题中,都是适用的,用那种方法参与运算要由具体数据来定,总之要做到化繁为简,达到“快”和“准”的目的,不要适得其反,这是我们科学速算的原则。(三)一般公式法前面提到,如:27×964、1998×778、999992应怎样计算,才会更为快捷
27、、方便。根据以上原理,笔者研究出补数乘法的一般公式法,暂定为魏氏公式法:(1)设被乘数的最末一位数的补数为a,乘数的补数为b,那么在被乘数的末位的下位加a×b(a×b有进位者,要进到本位);(2)设被乘数去掉尾数后的数为n,那么应从被乘数首位的下位减去(n1)×b。注意(n1)×b有进位,从首位减,b前有0位,有几个零应移档向后几位再减,就是:先从尾后加a×b,再在次档减(n1)×b,这就是补数乘法的一般公式法。利用此公式可以解决以下类别的数乘以任意数的快速计算 问题:1、被乘数是两位数的例题;2、被乘数是两位以上的数时,n1等于齐数
28、或强数的例题。如:例1:27×96426028(补数036)(1)先在被乘数个位7的下位加上(a×b),即3×036108,得27.108;(2)再从被乘数的次高档7的本位减去(n1)×b,即(21)×036,得26028,即是积数。例2:19998×77815558444(补数222)(1)先在被乘数个位8的下位加上(a×b)即2×222,得19998.444;(2)再从被乘数的次高档减去(n1)×b即(19991)×222,得15558444,即得积。注:实际上,(n1)×b比原数
29、少了10倍,把(n1)再扩大10倍后,就是实际需要减的数。如例2:第1步尾下加上444后,可看作19998444;达到千万位;(19991)×222×104440000,达到百万位;从19998444中减去444000015558444。以上2例为加填减强法。例3:9999929999800001(补数为00001)(1) 先在99999的尾数后加00001,得99999.00001;(2) 再在99999的首位减00001;得9999800001;即积。因(n1)×b有进位,所以从首位减。本例为加补减齐法。利用此一般公式,可以套用任何一道乘法算题,本公式都是正确
30、的。但我们可以从中看出,对于(n1)等于齐数或强数的例题,实在是简单而又简单,但对于一般的例题,它并不完全显示优越性,实在是一般公式,却适用于特殊情况。那么,在一般情况下呢?(四)、补满法补满法就是把被乘数联成一个整体,被乘数的个位按(10x)补加补数,中间几位一律按(9x)补加补数,差几就补几个补数。补到首位时,首位数是x,就从次高位减去(x1)×b的乘积,分两种情况,如下例:1、加补减齐法例1:9897965×7787700616770。(补数222)(1) 被乘数个位5加补数半数222的一半111成为:989796.611;(2) 十位6在6的下位加三次补数666成为
31、98979.7277;(3) 百位9不补;(4) 千位7下位加两次补数444,成为989.841677;(5) 万位9不补;(6) 十万位8下位加一次补数222成为9.92061677;(7) 百万位9不补;(8) 从百万位减一次补数222得积:7700616770。2、加填减强法:例2:789×789622521(补数211)(1) 个位9在下位加上(109)×211成为78.9211;(2) 十位8,在下位加上(98)×211成为7.91321;(3) 百位7,在7的本位减去(71)×2111688(有进位,从本位减)成为622521,即积。以上介绍
32、的三种方法:口诀法、公式法、补满法都是通用的,套任何一道算题,得数都是一样,归纳起来,也只有两类:口诀法:即逐位减补数法,从个位到首位逐位减去;公式法:即补满法,先补后减法,从个位按10补 满,中间按9补满,补完后,从首位(x1)×b,一次性减去多加的数即得积。用那种方法好呢?这个要灵活掌握,非靠多算多练,方能熟能生巧,做到举一反三、触类旁通。一道例题中,有时用一种,有时用两种,有时也可用三种方法。例如:分节运算法:例1:8979021×6685997986028(补数332)(1) 被乘数个位1,下减一次补数332,成为897902.0668;(2) 被乘数十位2,下减二
33、次补数664,成为89790.14028;(3) 百位“0”不动;(4) 被乘数千位9下位加一次补数332,成为897.9346028;(5) 被乘数万位7下位加二次补数664,成为85986028;(6) 被乘数十万位9不动;(7) 被乘数百万位8下位加补数一次332,成为9317986028;(8) 再从首位减去一次补数为积数5997986028;例2:12100998×881064887824(补数12)(1) 个位8,下位加补数二次24(加a×b)减(n1)×b从百位减去(991)×12。这是998这一节。成为1210087824;(2) 千位、
34、万位零不动;(3) 十万、百万、千万按口诀法规运算即:a、十万位下位减补数一次成为12088887824 ;b、百万位下位减补数两次成为1184887824;c、千万位下位减补数一次得积1064887824。例3:9995995009990004999999×9999980011、乘法个位9的下位加001,成为999.001(公式法);2、乘数首位9的本位减001,成为998001。998001×9999970029991、在1的下位减去001,成为998.00999(口诀法);2、十位、百位零不动;3、千位8,在下位加002,成为998.02999(公式法);4、从首位9
35、减去001,成为997002999(公式法)。997002999×9999960059960011、被乘数个位9的下位加001,成为997002999.001(公式法);2、从被乘数千位2的下位减003,成为99700.2996001(公式法);3、万位,十万位零不动;4、从百万位7的下位加003,成为997.005996001(公式法);5、从首位9减去001,成为996005996001(公式法);996005996001×9999950099900049991、从1的下位减去001,成为996005996000.999(公式法);2、十位、百位零不动;3、千位6,下位
36、加004,成为996005996004999(补满法);4、百万位5,下位减006,成为996005.990004999(补满法);5、千万位、亿位零不动;6、十亿位6,下加004,成为996009990004999(公式法);7、从首位减001,成为995009990004999(公式法)。三、“1、2、5”一位数乘法在补数乘法中运用在实际运算中,0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、这十个数字是以各种形式出现的,会出现各种形式的算式,比如:168752这种算式,用补数算法应用补满法中加填减强法进行运算,这就出现了补加补数5、2 、1、3后减2倍补数的形式,而乘数的补数较为复杂(83125),这就要求我们掌握一种新的方法:一位数乘多位数的方法,“1、2、5”法对于初学者则是一种既简便又好学的方法。以下简单介绍之:(1)“1”的运算方法,用“1”去乘任何一个数,其值不变;(2)“2”的运算方法,“2”就是要求计算者,能一眼看出任意一个数的2倍是多少。其口诀是:掌握二倍并不难,算盘横梁分界线;首位有5暗记1,左下右上斜着看;梁上没珠加倍算,连续积数一次完。例:567895×21135790按照以上口诀方法,把以上数即可分解为:05、05、15、25、35、45六次。为了加快看数的速度,看2倍5的时候,不要看作10,而
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