(完整版)现代控制理论试卷答案与解析

1、现代控制理论现代控制理论试卷作业图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流Y 0101 R1R2 R1*R2 u和电容C上的电压X2为状态变Y2 X2 2 R R2 R1 R2 2 R1 R2量，电容C上的电压X2为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）+UI F LX12解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立 变量。以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：iL x1,uc x2,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：R2c x2 x2 Lx10Rl(xl C x2) L x1 u 0从上述两式可解出xi ,x2 ,即可得到状

2、态空间表达式如下:xiR1R2(Ri R2)Lx2Ri(Ri R2)CRi(R, R2)Lx,ix2(Ri R2)CR2(Ri R2)L ui(Ri R2)Cyi = y20iRi R2Rixi +x20R2uRiR2、考虑下列系统:(a)给出这个系统状态变量的实现；(b)可以选出参数K (或a)的某个值，使得这个实现或者丧失能控 性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：(a)模拟结构图如下：x3 - x1x2 ax33321y 二 Xx2则可得系统的状态空间表达式：?xx 30 k x11x200kx21u?2313ax30&Xy 2 3 130 x2x3(b)因为3A 02.3001

3、3Ab302.3所以：当a1时,又因为:CACA2CCACA2所以：当k32A2b0232Ab A2b0013该系统不能控；当13 023130302. 32 326 2k.31时,该系统能控。综上可知：当a302. 3001300132k 3k. 3 2k ak130k. 30k2k ak00(a 1) k1时，该系统不能观；当k1时,该系统能观。1时或k 0且a 1时，该系统既不能控也不能观。三、已知系统x Ax的状态转移矩阵为:e t 00At e_ 2t2t0(1 2t)e 4te2t_0 te (1 2t)e(1)试确定矩阵A,并验证eAt确为上式。(2)已知A求eAt,以下采用三种

4、方法计算eAt,并对计算结果进行讨解：（1）利用书上P53状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有（t） A （t） （t）A 即 deAtAeAt eAtAdt当 t=0 时 （0） I1（0） It e?A (0)(t)t o 00002t2te 2t(4 4t) e 2t (4 8t)2t _2te (2t 1) 4te验证eAt：（利用P59的公式（2-24）来验证）00_ 2 44 (1)(2)1解得：122, 31,有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理,非重根部分的ai仍按公式（2-23）计算a00a11a2112 1211233，t1t3t1 2t4te 2t234te2

5、t4e 2t344e1 e t 11 1 eAt 2e a01a1A a2A所以：（t） eAt100(2te 2t3e 2t 4e t) 0100011002t2tt(te 2t e 2t e t) 0 12160 4410(3te2t4e2t 4et)0401et002t2t0(1 2t)e 2t 4te2t2t0 te 2t (1 2t)e 2t01 u1y12 1 x1S2 ： X22x2 U2y2X2四、有两个能控能观的单输入一单输出系统:?01Si ： X134（1）按图把Si、S2串联，针对xX1 X2推导状态方程。(2)判断以上系统的能控性和能观性。(3)把串联系统的连接顺序颠

6、倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。(3)讨论。Ci xiAi、BiUiyi(4)求Si、S2及串联系统的传递函数矩阵，并对(2)和 解：(i)XiX2A2X2B2U2A2X2B2YA2X2B2Ci Xi所以X2B2CiXiA2x2因而y2C2X2XiX2AiB2 cl0A2XiX2Biu 0得状态方程:(2)A=b=AbA2b4i94所以AbA2brank(M )4i944i90所以该系统不能控。002 122104014 41201124401CA 0 0 1 34210一 2一一一CA21232C0所以 NCA2C A21rank (N) 3 所以该系统是能观的(3)y2C2 x

7、2X1A1x1B1u1A1X1B1C2 x2y1C1x11)=叼1IK 4 % G4 ' g 1X2A2x2B2uA1B1C2xB20A20100Ab 3410002 10100A2b34110022所以 M b Ab A2brank (M ) 3所以此时该系统能控。CA 22CA23114C而N CACA21211rank (N)所以此时该系统不能观。(4) w.s)Y1(s)C(sIUi(s)A)1B4ss 2当6、S2按照（2）的连接方式串联时,w(s)w1(s)w2 (s)当&、S2按照（2）的连接方式串联时,w(s)w2 (s)w1 (s)1s2 4s 31由上边的传

8、递函数结果可知,当子系统串联时,颠倒其先后次序,4s 3虽然传递sw2(s)迫- U 2(s) s 4s 3函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、试求下列系统的能控性分解及能观性分解:100 x 0 u Ax buy 111 x cx解：（a）能控性分解：A 010 , b 014 3112Ab 011412112Ab 01001433014所以 M b Ab A2b0 00138rank(M ) 2 ,故I构造非奇异矩阵01 0RC0 0 11 3 0 RC1 ARC RC1bu3 0 1110 0 0010 1042142 00101y 1110013(b)能观性分解：;系统不

9、能控。3 0,所以Rc11 001CA 1CA2121010_ _ _10 0 0 1 x4 3 13 010 u001 11 1 0C 11 1121110101430841 1010414830 101 0 0 0 u010 1现代控制理论C111所以 NCA23 2C A247 4rank(N) 2 3所以该系统不能观。构造非奇异矩阵：1117 31311RC474,所以 RC4/3130001001RC1 ARC RC1bu111121 7 31 3147 4 010 4 31 3 0 001 1430012 31 3014 3 7 3 0 4 u31217 31 31y 11 1 4

10、； 31/30 1 0 0六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。(1) x(2)系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解:x1x2X2X1 x2原点Xe=0是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函-13 -现代控制理论数，即v( x) x：2 x2v(x) 2x1 xi 2x2 X22x1x2c ,、-22x2( x1 x2)2x2当 x10 , x2 0时，v(x) 0 ;当x10 , x2 0 时，v(x) 0 ,因此 v(x)为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。 另选一个李雅普诺夫函数，例如：/ 、 1 /v(x) 2 (

11、x12x122x2=x1x2121Xix2i o为正定，而v(x)(x1x2)(x1x2)c,22、2x1 x1 x2 x2(x1 x2)为负定的，且当x，有V(x)即该系统在原点处是大范围渐进稳定。(2)闭(3)环系统的状态方程为其齐次方程为xiX2x2xi显然，原点为系统的唯一的平衡状态,选李雅普夫函数v(x) x12x220v(x) 2x1 x1 2x2 x2 2(x1 x2 x1x2) 0可见，v(x)在任意x 0的值均保持为0,而v(x)保持为常数22v( x) x1 x2 c这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，vc为半径的圆。这时系统为李雅普诺夫的稳定，但在经典控制理论中，

12、这种情况属于不稳定，这的自由解是 一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量5%和峰值时间tp 5s。现代控制理论Y(s)U111(s 6)(s 2) s1 s3""8s"""12s解：传递函数W(s) 又因为二阶系统单位阶跃响应中:MP expd)100t p根据题意要求通过上式解答：n5%和 tp p5s0.6841 21 50.861因此设计后的极点分别为：s1 0s2(j12)n0.6j0.63s3(j . 12)n0.6j0.63可直接写出因为传递函数w(

13、s)没有零极点对消现象，所以原系统能控而且能观 它的能控标准I型实现。0100. x001x0u08121y 1 0 0 x其闭环系统结构图如下：y加入状态反馈阵K ko ki k2 ,其系统结构如下图:而闭环系统特征多项式为f( )detI (AbK)3(12 k2)2(8ki)( ko)根据极点值，得期望特征多项式：f ( )(0.6j0.63)(0.6 j0.63)31.22 0.757比较f()和f*()各对应项系数，可得：ko 0ki 7.243k2 10.8即 K 0 7.243 10.8八、系统的状态方程 如下：x x u, x10，性能指标泛函1J(u) 1 o(x2 u2)d

14、t分两种情况求最优控制：u(1)对u没有约束 u(t) 0.3解：(1)原问题为自由终端状态，因而 (1) 0o1 C C由哈密尔顿函数H L f 1(x2 u2)(2又因为-g- =0u u *所以 u (t)(t)又沿最优轨迹线满足正则方程：H x x u xHgHxxxx边界条件 x(0)10,(1)0通过上式联合解答： *_ 2t _ _ 2tx (t) 0.1e9.9e(t)0.1( 2 1)e 2t 9.9( 2 1)e(2)由极小值原理，u (t)与(t)符号有关，取u (t)x u)2t0.3sgn (t)sgn (t)表示(t)的符号，t 1,0,取 u (t) 0在0,1区

15、间，(t) 0,取 u(t) 0.3。下图表示求解结果。九、试综述最有控制理论的内容及方法， 分析比较二次型性能指标泛 函与经典控制理论的性能指标。1 .内容：现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理 论以线性代数和微分方程为主要数学工具， 以状态空间法为基础，分析和设计控 制系统。所谓状态空间法，本质上是一种时域分析方法，它不仅描述了系统的外 部特性，而且揭示了系统的内部状态和性能。现代控制理论分析和综合系统的目 标是在揭示其内在规律的基础上，实现系统在某种意义上的最优化，同时使控制 系统的结构不再限于单

16、纯的闭环形式，现代控制理论的主要内容包括如下五个分 支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。2 .方法：现代控制理论的方法本质是一种时域方法，它是建立在状态变量描述方法基 础上的，它着眼于系统的状态，能更完全的表达系统的动力学性质， 在解决最优 控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。3 .分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标：性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。现代控制理论的二次型指标泛函的意义： 花费尽量少的控制能量，使系统的 输出尽可能地跟随期望输出变化。常见的二次型性能指标分两类：线性调节器和 线性伺服器。Xo假定状态方程：x(t) A(t)x(t) B(t)u(t), x(to)寻求最优控制u(t),使性能指标达到极小值J 1xT(tf)Sx(tf)； XTQ(t)