(完整版)线性代数试卷及答案

1、«线性代数A »试题(A卷)试卷类别：闭卷考试时间：120分钟考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：题号一一三四五六七总分得分阅卷人一.单项选择题(每小题 3分，共30分)1 .设A经过初等行变换变为 B,则( B ).(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵 A,B的秩)。(A)r(A)r(B);(B)r(A) r(B);(C)r(A)r(B);(D)无法判定r(A)与r(B)之间的关系。2 .设A为n (n 2)阶方阵且|A| 0,则(C )。(A) A中有一一行元素全为零；(B)A有两行(列)元素对应成比例；(C) A中必有一行为其余行的线性组合；(D)A的任一行为其

2、余行的线性组合。3 .设A, B是n阶矩阵(n 2), AB O ,则下列结论一定正确的是 ：( D )(A) A O或 B O;(B) B的每个行向量都是齐次线性方程组AX =0的解.(C) BA 0;(D) R(A) R(B) n.4 .下列不是n维向量组 1, 2,., s线性无关的充分必要条件是( A )(A) 存在一组不全为零的数 ki,k2,., ks使得ki i k2 2ks s 0 ;第i页共 6页(B)不存在一组不全为零的数k1,k2,.,ks使得k 1k2 2ks s O(C)1, 2,.的秩等于s；(D)1,2,.中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5.设n阶矩阵(n3

3、)(A)1；(B)6.四阶行列式a100b4(A) Qa2a3a4b2a30bMb3b4 ；b100a4若矩阵A的秩为(C)(D)的值等于(B)a1a2 a3 a4hb2b3b4；(C)(a© bb)(a3a4 b3b4)；(D)(a2a3 b2b3)(da4 bh).7.设A为四阶矩阵且|a|b，则A的伴随矩阵*A的行列式为( C )。(A) b；(B) b2；(C).3b ;(D) b428.设A为n阶矩阵满足A 3AInO, In为n阶单位矩阵，则A1(A) In；(B) A 3In；(C) A 3In；(D) 3A In9.设A, B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是(C

4、 )。(A) A与B的秩相同;(B) A与B的特征值相同;(C) A与B的特征矩阵相同;(D) A与B的行列式相同;第 7页共 6页10.设A为n阶矩阵，则A以0为特征值是|A| 0的（D）。（A） 充分非必要条件；（B） 必要非充分条件;（C） 既非充分又非必要条件；（D） 充分必要条件；.填空题（每小题 3分，共18分）0 0 0 40 0 4 31 .计算行列式O0 4 3 24 3 2 12.100 101 0 40 0172 3 10 05 6 0 0 18 9 0 1 03.二次型 f (x1,x2, x3)x1x2x2x3 x3x1对应的对称矩阵为4.已知 1(0,0,1),2

5、（济孝,0）,3（¥,享,0）是欧氏空间？3的一组标准正交基,则向量（1,1,1*这组基下的坐标为 7415.已知矩阵 A 471的特征值为 1 3(二重)，2 12,则x44 x3, 12 24 36.设1, 2, 3均为3维列向量，记矩阵 A 1, 2, 3 , B ( 12,1 3 2 9 3)。如果 | A | 1 ,则 | B | 。2 3121三.(8 分)A 1 20 , B 1 0 , AX B ,求 X。1 0331四.(10 分)设向量组 1(1,1,2,3)T,2 (1, 1,1,1/ ,3 (1,3,3,5)T,4 (4, 2,5,6)5( 3, 1, 5,

6、7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。X1X2PX32五.(12分)讨论线，f方程组X1PX2X31解的情况，并在有无穷多解时求其解PX1X2X31124六.（14分）设A22 2 , （1）、求出A的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵T ,42 1使得T 1AT为对角矩阵。七.（8分）对任意的矩阵 A,证明：（1） A A为对称矩阵,A AT为反对称矩阵;（2） A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数A»参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分）12345678910BCDABDCCCD二、填空题（每小题3分，共18

7、分）256;2、4、1,反0 ；5、4；三.解：因为矩阵A的行列式不为零可利用下列初等行变换的方法:106分）276、 2 。3、01212120121212，0所以XA 1B14四.解:对向量组101, 2 ,3,4,5）3,4,1, 2 , 3, 4, 5 = 24,（8分），则A可逆，因此X1B.为了求A1B,2727141014108分）5作如下的初等行变换可得:无关组为5分）第 6页共6页32 12，413 2，52 110 分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换:第 12 页共 6 页21p1230p11p32p0022pp4 2p

8、1(1)与增广矩阵的秩均为pp101 0,且(2(21pp)( pp)(p1)1)2p0时 , 即 p3,此时方程组有唯一解.（( 4分)1,且 p2时 , 系数矩阵5 分）(2)p1时, 系 数 矩 阵 的 秩 为 1, 增 广 矩 阵 的 秩 为 2, 此 时 方 程 组 无6 分）解.(3)p2时 , 此时方程组有无穷多组解方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为故原方程组与下列方程组同解x1x2令x3它对应的齐次线性方程组x31x310, 可得上述非齐次线性方程组的一个特解8分）x1x21,1,0)T;x30 的基础解系含有一个元素, 令x30X31,可得1 （i,i,iT为该齐次线性方程

9、组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系.（12 分）此时原方程组的通解为 ko 0 ki 1,这里ko,ki为任意常数（1） 由于 A 的特征多项式1I I A| 2424一一一2一22（3）（6）21第 16页共 6页故A的特征值为13 （二重特征值），363分）42 4 X,13 时，由（I A）X O,即： 212 X242 4 X3基础解系为1 1,2,0t, 2 1,0,1T ,故属于特征值13的所有特征向量为k1 1 k2 2,匕*2不全为零的任意常数。 （6分）524X10282x20得基425x306的所有特征向量为 k3 3, k3当3 6时，由（3I A）X O ,即：础解系为3 2,1,2T ,故属于特征值2为非零的任意常数。-（8分）化 可 得：22, 11 5, |,11, 155化 得 ：（2）将1, 2 正 交11 1,2,0T,O再 将 其 单 位4x5152x5 x 5 T,1533单位化得:12分)1, 2, 3 是征向量，令.552 551T2 百132 3是一个正交矩阵，且1AT(14 分)七.证明：（1）因为（AAT)TAT(AT)TAT,因此A AT为对称矩阵。(2分)同理