中考圆形综合题型考点分析

1、中考圆形综合题型考点分析15 / 23中考圆形综合题型考点分析（难度系数：）（难度系数：）（难度系数：）（难度系数：）（难度系数：）（难度系数：）（难度系数：） （难度系数：） （难度系数：） （难度系数：）主要考试知识点1、求特殊角度2、证明相等的角3、证明相似三角形4、证明相等线段5、证明线段乘积、比例关系6、求线段（或图形面积）比值7、求一些角度的三角函数值（实质上线段的比值）8、求特殊线段的长9、求图形面积10、求几何图形之间的函数解析式解题思路分析1、注意等角的使用（包括等弦、等弧、等弦心距的运用） 分析：特别要分析图中相等的角的关系，看图中有没有相等有弦、相等的弧、相等的弦心距等，

2、 还要注意有没有垂径定理的情况。通过分析找出图中相等的角，为以后寻找相似埋下伏笔。2、注意圆心角与圆周角的使用分析：对于圆心角和圆周角的 2 倍关系，一定要特别注意。已知圆心角度数就要寻找相应的圆 周角的度数；反之，已知圆周角的度数也要寻找相应的圆心角的度数。3、注意一些特殊角度的运用分析：图中一些特殊角度特别要引起注意，常见的如15、 30、 45、 60、 120、150等。这些角度都可以和直角组成特殊的直角三角形，从而解决问题。4、直径对直角的运用分析：一般直径常连接 90的圆周角，使图中出现直角三角形，便于思考。特别是配合一些特 殊角度（ 30、45、 60）使用，能使计算更为便捷。5

3、、垂径定理的运用 分析：对于直径上作垂线（或高） ，特别要注意垂径定理的运用。这样就会出现相等的弧，也会 产生相等的弦，进而出现相等的角。6、切线与直径的关系的运用 分析：说起切线，一定要连接接切点和圆，这样便会产生垂直，进而产生直角三角形，从而使 思考简化。7、全等三角形的运用分析：通过圆的对称性（轴对称、中心对称） 、垂径定理、切线长定理思考图中全等三角形8、相似三角形的运用 分析：俗话说： “圆内盛产相似” 。通过寻找相等的角，产生相似三角形，为成比例具备条件。 特别是要注意圆内四点共圆（蝴蝶形）产生的几组相似。寻找相等的角可以考虑：（ 1 ）、是否有相等的弧、弦、弦心距等（ 2）、是否

4、有弦切角（弦切角 = 其所夹的弧所对的圆周角）（ 3 ）、是否有四点共圆（对角互补，外角=内对角）（ 4 ）、两条相交弦产生的相似（圆幂定理 相交弦定理）（ 5 ）、切线和割线产生的相似（圆幂定理 切割线定理）（ 6 ）、两条割线产生的相似（圆幂定理 割线定理）9、射影定理的使用 分析：在圆内常出现直径上作高的情况，这样射影定理便可以直接运用了，省去了相似的步骤。 射影定理中的“知二求四”特别是在计算一些直径上的线段时非常方便。10、弦切角定理的使用分析：圆中有切线时，除了考虑垂直关系外，也要特别关注弦切角与圆周角的相等关系。使用 弦切角定理能够省去一些等量代换求角相等的步骤。11、切割线、割

5、线定理的使用（实质上也是相似三角形的推广）分析：对于圆中即有切线又有割线的情况，特别要考虑切割线、割线定理定理。这是计算圆中 线段中必不可少的方法之一。直接运用切割线定理、割线定理比使用相似来分析要节省思考时 间和空间。12、勾股定理的使用分析：当圆中出现垂直，特别是不与直径垂直的情况时（与直径垂直时常用垂径定理） ，常考虑 勾股定理的运用，结合一些特殊角度，能起到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的感觉， 在计算圆中线段的长中有非常重要的作用。13、连心线与公共弦的运用分析：当有两圆相交时，公共弦和连心线是必不可少的思考方向。这两条特殊线段包含着两种 特殊关系，即垂直又平分（位置关系：垂直

6、数量关系：平分） ，往往成为解题的入手点。14、余弦定理的使用（实质上是勾股定理的推广）分析：在计算圆中线段时，有时使用余弦定理比较方便，特别是知道两边和夹角，求第三边时 常用这种方法（不管夹角是否为直角） 。虽然余弦定理是勾股定理的推广，但是直接使用也能节 约思考的时间和空间（既使计算过程有些繁杂） 。只是余弦定理公式较为复杂而已（复习一下：2bc cos A ，注意：钝角的余弦值为负数）15、角平线成比例的运用（实质上也是相似三角形的推广）分析：圆中经常会出现相等的角，有时还会有角平分线。此时用角平分线成比例定理可以使 思考简化，在计算线段中收到意想不到的效果16、不规则面积的综合加减计算

7、分析：圆中经常会出一些图形面积的计算。有的可以直接求（常用的面积公式：底高 底高 2 对角线乘积的一半 上下底和的一半 高 中位线 高 两边与夹角正弦乘积2的一半 周长一半与内切圆半径之积 （圆面积为：r 边长的平方 长 宽水平宽度与竖直高度乘积的一半 等），有的只能间接求， 用其他图形的面积的和与差来计算。 如： 总面积部分面积，或几部分面积的和等。三、中考例题分析1、（2013年四川成都，27题10分）如图，O O的半径r 25，四边形ABCD内接圆O O ,AC BD于点H , P为CA延长线上的一点，且PDA ABD .（1）试判断PD与。O的位置关系，并说明理由：（2）若 tan A

8、DB 3，PA 4 3 3 AH，求 BD 的长；43（3）在（2）的条件下，求四边形 ABCD的面积.思路点拨:（1）实质上这就是弦切角定理的逆命题，但不能用弦切角定理来证明。只能用弦切角定理的 证明方法来证。连接 DO并延长交O O于E点，再连接 AE即产生Rt ADE。通过等 量代换于是PD丄DE即得证。（2） 通过分析Rt ADH中的正弦值，引入一个参数 k，得到AH、DH的值3k、4k，禾U用 PA和AH的比值，求出PA和AH的值（含k的代数式）。再用勾股定理求出 PD的值（含1k的代数式）。这样分析PD和DH的值，发现一个特殊角度（DH= PD）。再用弦切角2=圆周角求出/ DCB

9、的度数，从而分析出圆心角/ DOB的度数，又已知了半径，所以利 用勾股定理和特殊角度，可以求弦长（BD ）。（知识点梳理：圆内六组数量：直径（半径） 弦长 弦心距 圆心角 圆周角 弧长 任意知道两组数量， 就可以求 出其他数量）只是此题中圆心角的度数要通过圆外Rt PDH和弦切角来求得，可谓来之不易！（3） 显然利用对对角线乘积的一半可求出四边形ABCD的面积，转而全力求AC的长。由相似三角形可得 BH : HC=3 : 4。（ BH=BD DH ），于是可以用含k的代数式表示 HC，再 代入切割线定理表达式中可得含k的方程。解之求出 k值，从而求出AC的值，于是四边形ABCD的面积就求出了。

10、要点：对于引入一个参数 k的方法越来越重要！有了参数 k计算就简单了，而且通过图 中数量关系，最终也要求出参数的具体值。2、( 2012年四川成都，27题10分)如图，AB是O O的直径，弦 CD丄AB于H，过CD延长线上 一点E作OO的切线交AB的延长线于F.切点为G,连接AG交CD于K .(1) 求证：KE=GE ;(2) 若KG =KD?GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；(3) 在(2)的条件下，若 sinE= AK=|二f求FG的长.思路点拨:(1) 实质上是证等角。连接 BG是必须的！直径对直角！再以现弦切角等圆周角。又观察发 现两直角三角形相似，等量代换，等角证毕！(2

11、) 看就知道由相似下手，连接GD又是必须的！(含KG 2=KD?GE的三角形)，从而等角 又产生了，再用等弧代换一下，于是内错角相等了，结论也就不言面明了。(3) 通过sinE得出sinC。从而得到Rt AHC三边的关系，引入一个参数 k。于是AH、CH、 AC均可以用含k的代数式表示。又(1)易知AC=CK，于是HK又能用含k的代数式 表示，勾股定理可求出 AK,从而确定参数 k的值。由射影定理求出 AB。由相似求出 AG的值。再利用“X ”形相似求出GE、KE的值。从而得到HE的值。再利用一次“X ” 型相似，求出 EF的值。二者之差即为 FG的值。(说明第三问多次利用相似， 可见难题用相

12、似是多么的正确！中间也利用了勾股定理和 射影定理。需要说明的是引入参数 k代入分析，最后再把引入的参数求出来的这种方法 在解题中越来越重要。)3、(2012年四川成都，27题10分)已知：如图，以矩形 ABCD勺对角线AC的中点O为圆心，OA长 为半径作O 0,0 O经过B、D两点，过点 B作BKL A C，垂足为K。过D作DH/ KB, DH分别与AC ABO 0及CB的延长线相交于点 E、F、G H.(1) 求证：AE=CK丄m1(2) 如果AB=a , ADda ( a为大于零的常数)，求BK的长：3(3) 若F是EG的中点，且 DE=6求O O的半径和GH的长.BC0y思路点拨:(1)

13、 全等即可。(2) 利用勾股定理求出斜边 AC,再利用射影定理可求出斜边上的高BK。(3) 由垂径定理可得：DE=GE=2EF=6，于是可分析出 EF=3。利用在 Rt AFD中由射影定理可求出AE的长，又在Rt ADC中由射影定理可求出 AC的长，也就是直径。(两次使用射影 定理)。然后由勾股定理可以分别求出DC、AF的长度，进而求出BF的长度。再次利用“X形相似求出HF的长度，减去 DF (和EF相等)即为HG的长。要点：第三问多次利用相似(射影定理其实也是相似的产物)和勾股定理求出相关的线段， 然后进行加减即可。4、( 2010年四川成都，27题10分)已知：如图， ABC内接于 圆O,

14、 AB为直径，弦CE AB 于F , C是弧AD的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于 点 P、Q .(1) 求证：P是ACQ的外心；3(2) 若 tan ABC -,CF 8,求 CQ 的长；4(3)求证:(FP PQ)2 FP?FG .思路点拨:(1) 证明P点是Rt ACQ斜边上的中点即可。关键是寻找角相等 有几段弧相等即可。(2) 解直角三角形可求出线段BF的长，射影定理再次登场，求出 的长。禾U用相似三角形( ACQACF)可求出CQ。(证明等腰三角形)。注意图中AF的长。勾股定理求出 AC(3)显然是典型的相似思路。通过(1 )问知道:FP+PQ=

15、CF，原式即化简为2CFFP FG ,2三线一条线，显然需要代换线段。射影定理又一次发挥功用。显然cf AF BF，这样原式再次化简为： FP FG AF BF。容易发现两三角形相似即可(厶 APFGBF)要点：多次利用射影定理和相似知识!5、( 2009年四川成都，27题10分)如图， Rt AB内接于O O, AC=BC/ BAC的平分线 AD与O0 交于点D,与BC交于点E,延长BD与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点，连结0G.(1) 判断0G与CD的位置关系，写出你的结论并证明；求证：AE=BF(3)若 OG DE 3(2, 2)，求O O 的面积。匚B思路点拨:(1)

16、用等腰三角形“三线合一”即可证明。(2) 用全等证明(Rt ACE和Rt BCF)(3) 显然是典型的相似思路。连接OD，易发现厶BDE和厶OGD相似。通过比例代换。则已知条件中的乘积式可换为 DG DB 3(2 J2)。再分析角平分线可得 DB=2DG于是求出了弦DB的长。知道弦长求半径。显然需要圆心角。ABC为等腰直角三角形。于是弦 DB所对42的圆心角为45的特殊角。作高即产生特殊直角三角形。 过D作DHL AB于 H。则DH=OH= r。2BH= r，于是代入 Rt DBH中(前面DB已求出)，用勾股定理列方程即可求出2十r （不必求出r)的值。代入圆形面积公式即可。要点：第三问较难，

17、用相似是必须的！到了求出弦DB和它所对的圆心角时，由于用常规手法(垂径定理)作高，会产生22.5的非特殊角，无法下手。所以需另外作高，保留45的角，产生特殊直角三角形来分析！当然你如果能记得22.5的三角函数值，其实更为简单！6、(2008年四川成都，27题10分)如图，已知O O的半径为2，以O O的弦AB为直径作O M，点 C是O O优弧AB上的一个动点(不与点 A、点B重合)连结AC、BC,分别与O M相交于点D、点E,连结DE.若AB=2 3(1)求/ C的度数；(2 )求DE的长；AD(3)如果记tan/ABC=y , 一 =x ( 0x3),那么在点C的运动过程中，试用含 x的代数

18、式表示DCy.思路点拨:(1) 是一个常规题：知道半径和弦长求圆周角(圆心角)。垂径定理即可解决。(2) 由割线定理可得相似( CDE CBA ),关键CE : CA的值，图中有直径，连接 AE产生 直角三角形是必须的。/ C已求出，于是 Rt ACE是特殊的直角三角形，它们的比值就容 易求出。于是 DE : AB的比值也就确定了， DE能求出。AE(3) y是一个比值：，AE在Rt ACE中，显然与 AD、DC有关，BE在CB边上，由前面BE相似可得BC与CD、CE有关，关键是如何理清这些错综复杂的关系。为了便于理解，不妨设CE=2，则可求出 AC的值为4,则AE=2 . 3。又设X 3，则

19、CD=3 , CB=6，则BE=4。AE于是 竺就可以求出了。通过分析知道：CE这条线段在解题中的桥梁作用，不妨设CE= m ,BEAD则AE、AC都可用含m的代数式表示。利用=x，求出CD的含m、X的代数式，再用DC相似CD 匹表示出BC的代数式(含m、X),进而求出BE的代数式(含m、X )。于 CB ABAE是yA 就可以求出来约去 m，就能用含x的代数式表示y 了。BE要点：对于较复杂的第三问，不妨先设一个好计算的数，代入计算后，找出思路和方法，然后再用字母分析！这是解决难题的一种比较常见的思考方向！7、( 2007年四川成都，27题10分)如图，A是以BC为直径的O O上一点，AD

20、BC于点D , 过点B作O O的切线，与CA的延长线相交于点 E, G是AD的中点，连结 CG并延长与BE相交 于点F，延长AF与CB的延长线相交于点 P .(1) 求证：BF EF ;(2) 求证：PA是O O的切线；(3 )若FG BF，且O O的半径长为 3、2，求bd和FG的长度.思路点拨:(1) 易知AD / BE，立刻联想到“ A ”形相似，由成比例的线段代换即可( AG=DG )(2) 有直径，连接 AB是必须的！同时连接 OA也是必须的！连接 OF证厶OBFOAF ( SSS) 即可！(3) 分析已知条件可知： AFG是等腰三角形。作底边上的高是常见的思路！这样会产生“X”相似

21、。通过AG=DG和“三线合一”可求出相似三角形的相似比，从而求出BD的长。再用射影定理求出 AD。再由中点求出 DG。再使用一次相似(Rt CDGs Rt CBF)求出BF , 即为FG。要点：第三问作高产生相似，多次使用射影定理和相似知识。& (2006年四川成都，27题10分)已知：如图，O O与O A相交于C, D两点，A O分别是两 圆的圆心， ABC内接于O O ,弦CD交AB于点G，交O O的直径AE于点F，连结BD .(1) 求证： ACGDBG ;(2) 求证：AC 2 AG AB(3 )若0 A , O o的直径分别为 6.5 , 15，且CG:CD 1:4，求AB和BD的长

22、.BE思路点拨:(1) 常规解法：寻找角相等即可！图中有很多同弧所对的圆周角相等。(2) 注意两圆相交，连心线垂直公共弦，同时使用垂径定理即可得：弧AC=弧AD ,(这种隐含 条件特别重要！)易得/ ACG= / CBA，于是有了相似，比例线段一转换即得证！(3) 直径上作高。射影定理是必须的！由射影定理可求出CF。进而求出CD。再由已知条件中的1 : 4可求出CG、FG、DG。再由勾股定理可求出 AF。通过AF和FG可得/ BAE是特殊角! 于是知道直径(AE和圆周角/ BAE )求弦AB就容易多了！再利用(1 )中的相似，可求出 BD的长。要点：第三问多次利用射影定理、勾股定理和相似求出相

23、关线段。最后回归常规钥匙方法！ 对于圆中线段1： 4的这种情形，是出题的热点方向，要特别注意！( 07年、12年也有)9、( 2005年四川成都，27题10分)如图，已知O O是厶ABC的外接圆，AB是O O的直径, D是AB延长线上一点，AE丄DC交DC的延长线于点E,且AC平分/ EAB。求证：DE是O O的切线；若A吐6, AE=竺，求BD和 BC的长。5思路点拨:(1) 连接OC是必须的！证 OC/ AE或/ OCE=90 或/ OCD=90 都可以。(2) 易发现Rt OCDs Rt AED、Rt ABC s Rt ACE 利用比例线段即可求出 OD和AC,进 一步就可以求出 BD和

24、BC 了！四、经典圆形综合题点拨1、如图，已知 AB为O O的直径，过O O上的点C的切线交 AB的延长线于点 E, AD丄EC于点D 且交O O于点F，连接BC, CF , AC.(1) 求证：BC= CF ;(2) 若 AD = 6, DE = 8,求 BE 的长;(3) 求证：AF + 2DF = AB .2、已知，AB是O O的直径，点 P在弧AB上（不含点 A、B）,把厶AOP沿0P对折，点A的对应 点C恰好落在O 0 上.（1 ）当P、C都在AB上方时（如图1）,判断P0与BC的位置关系（只回答结果）；（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2） , （ 1）中结论还成立吗？证明

25、你的结论；（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD丄直线AP于D，且CD是O 0的切线，证明:AB = 4PD .BpB3、如图，等圆O Oi和O 02相交于A、B两点，O Oi经过O 02的圆心，顺次连接 A、Oi、B、O2.(1) 求证：四边形AO1BO2是菱形；(2) 过直径AC的端点C作O Oi的切线CE交AB的延长线于E,连接CO2交AE于D，求证：CE= 2DO2； (3 )在(2 )的条件下，若 SAO2D = 1,求SA O2DB的值.A中考圆形综合题型考点分析4、在厶ABC中，分别以AB、AC为直径在厶ABC外作半圆Oi和半圆02,其中0i和02分别为两个 半圆的

26、圆心.F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.(1) 如图 1,连接 OiF, OiD, DF , O2F , O2E, EF，证明： DOiFF02E;(2) 如图2,过点A分别作半圆Oi和半圆02的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连接 PQ,若/ ACB = 90 DB = 5, CE = 3,求线段 PQ 的长；(3) 如图3,过点A作半圆02的切线，交CE的延长线于点 Q,过点Q作直线FA的垂线，交BD 的延长线于点P,连接PA.求证：FA是半圆Oi的切线.E图iPQ图2PQ图3i5 / 23中考圆形综合题型考点分析5、如图，在半径为 2的扇形AOB中，/

27、 AOB = 90点C是AB上的一个动点(不与点 A、B重合)，OD丄BC , OE丄AC,垂足分别为 D、E.(1 )当BC= 1时，求线段OD的长；(2) 在厶DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说 明理由；(3) 设BD =、 DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域.24 / 23AcDB6、如图，O O的半径为6，线段AB与O O相交于点C、D, AC = 4，/ BOD = Z A, OB与O O相交于点 E,设 OA = x, CD = y.(1 )求BD的长；(2) 求y关于x的函数关系式，并写出定义域;(3) 当CE丄OD时，求AO的长.7、如图，在 AB