协方差矩阵和相关矩阵

1、、协方差矩阵 变量说明:设 耳兀“也 为一组随机变量，这些随机变量构成随机向量x 羞“兀.每个随机变量有m个样本，则有样本矩阵M二岛疤严点J 由卫，扈丨 XiiX|2 . . X1mX21X2mM =Xn1 Xn 2 xnm其中耳同对应着每个随机向量x的样本向量，爲Q =12用对应着第随机单变量的所有样本值构成的向量。单随机变量间的协方差：K X随机变量之间的协方差可以表示为叼二进£-£兀）心-軌兀）根据已知的样本值可以得到协方差的估计值如下:1 W *1»可以进一步地简化为:1 «1 «W-乞加止乞瓯叨 2用 £-)3-111M=_

2、膏 %2血血£叫$协方差矩阵:精品资料f*厂 J"-丄盃1 M珥1 5刀MgC1L l12%m用I0-1C21 C22 %丄昭爲-IjWr2近血21 M爲- 一J为1 1 «=mm s-i*-im51 Cv2 '" Ca*'!1M1mLI,亠1=尽禺心久即心F-舄+凤隔斗煜+爲mm= -ZA-AA-Al(5)淞u1A = 一由 + A + +QJ其中 啟，从而得到了协方差矩阵表达式。如果所有样本的均值为一个零向量，则式（5）可以表达成:补充说明:1、协方差矩阵中的每一个元素是表示的随机向量X的不同分量之间的协方差，而不是不同样本之间的协方

3、差，如元素 Cj就是反映的随机变量 Xi, Xj的协方差。2、协方差是反映的变量之间的二阶统计特性，如果随机向量的不同分量之间的相关性很小,则所得的协方差矩阵几乎是一个对角矩阵。对于一些特殊的应用场合， 为了使随机向量的长精品资料度较小，可以采用主成分分析的方法，使变换之后的变量的协方差矩阵完全是一个对角矩阵，之后就可以舍弃一些能量较小的分量了（对角线上的元素反映的是方差，也就是交流能量）。3、 必须注意的是，这里所得到的式（5）和式（6）给出的只是随机向量协方差矩阵真实值的一个估计（即由所测的样本的值来表示的，随着样本取值的不同会发生变化），故而所得的协方差矩阵是依赖于采样样本的，并且样本的

4、数目越多， 样本在总体中的覆盖面越广，则所得的协方差矩阵越可靠。4、如同协方差和相关系数的关系一样，我们有时为了能够更直观地知道随机向量的不同分 量之间的相关性究竟有多大，还会引入相关系数矩阵。5、协方差作为描述 X和Y相关程度的量，在同一物理量纲之下有一定的作用，但同样的两 个量采用不同的量纲使它们的协方差在数值上表现出很大的差异。由此引入相关系数。p _ COV（x,y）二、相关矩阵（相关系数矩阵）相关系数：著名统计学家卡尔皮尔逊设计了统计指标一一相关系数。相关系数是用以反映变量之 间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相

5、乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性 相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。相关系数用r表示，它的基本公式（formula ）为：精品资料_兜刀2期一工浜刀直血2工2 _ （刀护丿77刀护_ （刀汗相关系数的值介于 -与+1之间，即-令<+1。其性质如下：当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。*当|r|=1时，表

6、示两变量为完全线性相关，即为函数关系。当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。 一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4 <|r|<0.7为显著性相关；0.7珥r|<1为高度线性相关。相关矩阵也叫相关系数矩阵，是由矩阵各列间的相关系数构成的。也就是说，相关矩阵第i行第j列的元素是原矩阵第i列和第j列的相关系数。3、协方差矩阵和相关矩阵的关系由二者的定义公式可知，经标准化的样本数据的协方差矩阵就是原始样本数据的相关矩阵。这里